PROPOSITION VII

Problème. — Quel est le groupe d'une équation irréductible tl % un degré premier /i, so lubie par radicaux?

D'après la proposition précédente, le plus petit groupe possible, avant celui qui n'a qu'une seule permutation, contiendra n permutations. Or, un groupe de permutations d'un nombre premier n de lettres ne peut se réduire à n permutations, à moins que Tune de ces permutations ne se déduise de l'autre par une substitution circulaire de Tordre n. (Voir le Mémoire de M. Cauchy, Journal de l'École Polytechnique, XVII e cahier.) Ainsi, Pavantdernier groupe sera

• • • » *«— ii

*«-tt

'•-If

*Èt

. • . , dPjt-1,

*ït

*«-tt

jr 9 , x,, x 3 , . . . , x A «i étant les racines.

Maintenant, le groupe qni précédera immédiatement celui-ci dans Tord* lis décompositions devra se composer d'un certain nombre de groupes ayant tous les mêmes substitutions que celui-ci. Or, j'observe que ces substitutions peuvent s'exprimer ainsi (faisons, en général, x - = x #f x„ + i = X|, . ..; il est clair que chacune des substitutions du groupe (G) s'obtient en mettant partout à la place de x* f xa+~, c étant une constante).

Considérons l'un quelconque des groupes semblables au groupe (G). D'après le théorème II, il devra s'obtenir en opérant partout dans ce groupe une même substitution; par exemple, en mettant partout dans le groupe (G), à la place de x*, x/^, /étant une certaine fonction.

Les substitutions de ces nouveaux groupes devant être les mêmes que celles du groupe (G), on devra avoir

C étant indépendant de k.

Donc

/(* -+- me) «/(*) -f- m C.

Si c = i , k -s o, on trouvera

f(m) = am-hb,

ou bien

a cl b étant des constantes.

Donc, le groupe qui précède immédiatement le groupe (G) ne devra contenir que des substitutions telles que

et ne contiendra pas, par conséquent, d'autre substitution circulaire que celle du groupe (G).

On raisonnera sur ce groupe comme sur le précédent, el il s'ensuivra que le premier groupe dans l'ordre des décompositions, c'est-à-dire le groupe actuel de l'équation, ne peut contenir que des substitutions de la forme

Donc, si une équation irréductible de degré premier est soluble par radicaux, le groupe de cette équation ne saurait contenir que des substitutions de la forme

a et b étant des constantes.

Réciproquement, si cette condition a lieu, je dis que l'équation sera soluble par radicaux. Considérons, en effet, les fonctions

(xt-H *x t -+- a* x% -•-...•+• »*-• J?ji-| )* =s Xg , (jr t -*- W..+ * f *u« + . . .+• a*" 1 x (- . I)4i »)« = X a t f

a étant une racine a 4 *"* de l'unité, a une racine primitive de n.

Il est clair que toute fonction invariable par les substitutions circulaires des quantités X fl , X«, X«t, . . • sera, dans ce cas, immédiatement connue. Donc, on pourra trouver X t , X*, X*», . . . , par la méthode de M. Gauss pour les équations binômes. Donc,, etc.

Ainsi, pour qu'une équation irréductible de degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que toute fonction invariable par les substitutions

soit rationnellement connue.

Ainsi, la fonction

devra, quel que soit X, être connue.

H faut donc et il suffit que l'équation qui donne cette fonction des racines admette, quel que soit X, une valeur rationnelle.

Si l'équation proposée a tous ses coefficients rationnels, l'équation auxiliaire qui donne cette fonction les aura tous aussi, et il suffira de reconnaître si cette équation auxiliaire du degré i.a.3 ... (n — a) a ou non une racine rationnelle, ce que l'on sait faire.

C'est là le moyen qu'il faudrait employer dans la pratique. Mais nous allons présenter le théorème sous une autre forme.

PROPOSITION VIIL

Théorème. — Pour qu'une équation irréductible de degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que deux quelconques des racines étant connues, les autres fen déduisent rationnellement*

Premièrement, il le faut, car la substitution

ne laissant jamais deux lettres k la même place, il est clair qu'en adjoignant deux racines k l'équation, par la proposition IV, son groupe devra se réduire k une seule permutation.

En second lieu, cela suffit; car, dans ce cas, aucune substitution du groupe ne laissera deux lettres aux mêmes places. Par conséquent, le groupe contiendra tout au plus n(/i — i) permutations. Donc, il ne contiendra qu'une seule substitution circulaire (sans quoi il j aurait au moins n* permutations). Donc, toute substitution du groupe, x* 9 x/ ky devra satisfaire à la condition

Donc, etc.

Le théorème est donc démontré.