DÉMONSTRATION ' J

n'en THÉORÈME SUR LES FRACTIONS CONTINUES PÉRIODIQUES (■).

On sait que si, par la méthode de Lagrange, on développe en fraction continue une des racines d'une équation du second degré, cette fraction continue sera périodique, et qu'il en sera encore de même de Tune des racines d'une équation de degré quelconque, si cette racine est racine d'un facteur rationnel du second degré du premier membre de la proposée, auquel cas cette équation aura* tout au moins, une autre racine qui sera également périodique. Dans l'un et dans l'autre cas, la fraction continue pourra d'ailleurs être immédiatement périodique ou ne l'être pas immé-

(•) Tome XIX des Annale» de MathémaHauêt de If. Gergoaae, page «94 (1838-1829). Gatois cuit alors éleva aa collège bon is-lc*Sraad. (J. Uourau.) E. G. f

dialemenl ; mais, lorsque celle dernière circonstance aura lieu, il j aura du moins une des transformées dont une des racines sera immédiatement périodique.

Or, lorsqu'une équation a deux racines périodiques répondant à un même facteur rationnel du second degré, et que Tune d'elles est immédiatement périodique, il existe entre ces deux racines une relation assez singulière qui parait n'avoir pas encore été remarquée, et qui peut être exprimée par le théorème suivant :

TuÉoafcME. — Si une des racines d'une équation de degré quelconque est une fraction continue immédiatement périodique, cette équation aura nécessairement une autre racine également périodique que Von obtiendra en divisant l'unité négative par cette même fraction continue périodique, écrite dans un ordre inverse.

Démonstration. — Pour fixer les idées, ne prenons que des périodes de quatre termes ; car la marche uniforme du calcul prouve qu'il en serait de même si nous en admettions un plus grand nombre y^it une des racines d'une équation de degré quel* conque exprimée comme il suit :

l'équation du second degré, à laquelle appartiendra cette racine, et qui contiendra conséquemment sa corrélative, sera

or, on lire de là successivement

6h !__= : — - : — - bz—c-*

*-* e+— - ï 6+-JL- rf + .-i-

e+ : r rf+ î

c'est-à-dire

bLh

c'est donc toujours là l'équation du second degré qui donne V.» deux racines dont il s'agit; mais, en mettant continuellement pour x % dans son second membre, ce même second membre, qui en est, en effet, la valeur, elle donne

c'est donc là l'autre valeur de x, donnée par cette équation, valeur qui, comme l'on voit, est égale à — i divisé par la première écrite dans un ordre inverse.

Dans ce qui précède, nous avons supposé que la racine proposée était plus grande que l'unité; mais, si Ton avait

on en conclurait, pour une des valeurs de - »

l'autre valeur de -i\ P*»t donc, par ce qui précède.

d'où Ton conclurait, pour l'autre valeur de x,

»-*-. ri

ce qui rentre exactement dans notre théorème»

Soit A une fraction continue immédiatement périodique quelconque, et soit B la fraction continue qu'on en déduit en renversant la période; on voit que, si Tune des racines d'une équation

est x z=z A, elle aura nécessairement une autre racine x = — «; or, si À est un nombre positif plus grand que l'unité, — j? sera I

négatif et compris entre o et — i ; et, à l'inverse, si A est un |

nombre négatif compris entre o et — i , — j? sera un nombre positif plus grand que l'unité. Ainsi, lorsque l'une des racines d'une J équation du second degré est une fraction continue immédiatement périodique, plus grande que l'unité, l'autre est nécessairement comprise entre o cl — i ; et réciproquement, si l'une d'elles est comprise en ire o et — 1, l'autre sera nécessairement positive et plus grande que l'unité.

t-On peut prouver que, réciproquement, si l'une des deux racines d'une équation du second degré est positive et plus grande que l'unité, et que l'autre soit comprise entre o et — i , ces racines seront exprimables en fractions continues immédiatement périodiques. En eflet, soit toujours A une fraction continue immédiatement périodique quelconque, positive cl plus grande que l'unité, et B la fraction continue immédiatement périodique qu'on en déduit, en renversant la période, laquelle sera aussi, comme elle, positive et plus grande que l'unité. La première des racines de la proposée ne pourra être de la forme

* = P + Ti>

car alors, en vertu de notre théorème, la seconde devrait être

x= an = <t — B;

or a — B ne saurait être compris entre o et i qu'autant que la partie entière de B serait égale à />, auquel cas la première valeur serait immédiatement périodique. On ne pourrait avoir davantage,

pour la première valeur de x y x = p-i » car alors l'autre

serait

jr =/>-+-