OU * = ,__

or, pour que cette valeur fût comprise entre o et — i, il faudrait

d'abord que ., fût égal à />, plus une fraction. Il faudrait

donc que B — q fût plus petit que l'unité, ce qui exigerait que B fût égal à q 9 plus une fraction; d'où l'on voit que q elp devraient être respectivement égaux aux deux premiers termes de la période qui répond à B, ou aux deux derniers de la période qui répond à A;

de sorte que, contrairement à l'hypothèse, la valeur x = p H —

serait immédiatement périodique. On prouverait, par un raisonnement analogue, que les périodes ne sauraient être précéd/. 1 d'un plus grand nombre de termes n'en faisant pas partie.

Lors donc que l'on traitera une équation numérique par la méthode de Lagrange, on sera sûr qu'il n'y a point de racines périodiques à espérer lant qu'on ne rencontrera pas une transformée ayant au moins une racine positive plus grande que l'unité, et une autre comprise entre o et — i ; et si, en effet, la racine que Ton poursuit doit être périodique, ce sera tout au plus à cette transformée que les périodes commenceront.

Si l'une des racines d'une équation du second degré est non seulement immédiatement périodique, mais encore symétrique, c'est-à-dire si les termes de la période sont égaux à égale distance des extrêmes, on aura B=À; de sorte que ces deux racines

-T — seront A et — ^ ; l'équation sera donc

A**— (A»— i)jp — A «o.

Réciproqucment y toute équation du second degré de la forme

ax* — bx — a=©

aura ses racines à la fois immédiatement périodiques et symétriques. En effet, en mettant tour à lour pour x l'infini et — i, on obtient des résultats positifs, tandis qu'en faisant x = i et x = o, on obtient des résultats négatifs; d'où l'on voit d'abord que cette équation a une racine positive plus grande que l'unité et une racine négative comprise entre o et — 1, et qu'ainsi ces racines sont immédiatement périodiques ; de plus, cette équation ne change

pas en y changeant x en ; d'où il suit que, si À est une de ses

racines, l'autre sera — ^ » et qu'ainsi, dans ce cas, B = À.

Appliquons ces généralités à l'équation du second degré

3x*— i6jp-hi8 sso;

on lui trouve d'abord une racine positive comprise entre 3 et 4; en posant

on obtient la transformée

dont la forme nous apprend que les valeurs de y sont à la fois immédiatement périodiques et symétriques; en effet, en posant lour à tour

on obtient les transformées

i* 1 - 4* .— 3 = o, 3f« — 4f — » = o, 3««— a« — 3 = o. L'identité entre les équations en u et en y prouve que la valeur

positive de y et l

sa valeur négative sera donc

Ics deux valeurs de x seront donc

dont la dernière, en vertu de la formule connue

devient