RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES
M. Legendre a le premier remarqué que, lorsqu'une équation algébrique éiait mise sous la forme
où <%x est une fonction de x qui croît constamment en même temps que x, il élait facile de trouver la racine de cette équation immédiatement plus petite qu'un nombre donné a 9 si fa < a, et la racine immédiatement plus grande que a 9 si ya> a.
Pour le démontrer, on construit la courbe y = <fx et la droite y = x. Soit prise une abscisse = a, et supposons, pour Gxer les idées, oa > a, je dis qu'il sera aisé d'obtenir la racine immédiatement supérieure A a. En effet, les racines de l'équation ç x = x ne sont que les abscisses des points d'intersection de la droite et de la courbe, et il est clair que l'on s'approchera du point le plus voisin d'intersection en substituant 4 l'abscisse a l'abscisse tça. On aura une valeur plus approchée encore en prenant çy a, ).
puis ç^ç a 9 et ainsi de suite. I
Çoit Fx = o une équation donnée du degré /t, et Fx = X — Y, X et Y n'ayant que des termes positifs. Legendre met successive- ' '
ment l'équation sous ces deux formes :
V(t' *"*"VW
les deux fonctions tfx et tyx sont toujours, comme on voit, l'une plus grande, l'autre plus petite que x. Ainsi, à l'aide de ces deux fonctions, on pourra avoir les deux racines de l'équation les plus approchées d'un nombre donné a, l'une en plus et l'autre en moins.
(•) Bulletin de» Science» mathématique» de II. Fénissac, t. XIII, p. (i) (année i83o, cahier de juin). ( J, Lioumu.)
Mais cette méthode a l'inconvénient d'exiger, à chaque opération, l'extraction d'une racine /i 1 *"*. Voici deux formes plus commodes. Cherchons un nombre k tel que la fonction
Fx
croisse avec x y quand x> 1. (Il suffit, en effet, de savoir trouver les racines d'une équation qui sont plus grandes que l'unité.) Nous aurons, pour la condition proposée,
d X ~ Y ■"*-— "dx~ >0 ' ° ub,en | - &*•+* + li^Ti >°>
or on a identiquement
nX- *X'>o f »Y-.rY'>©;
il suffit donc de poser
«X — *X 9 ^ k**+i <' P° ur *>■•
et il suffit, pour cela, de prendre pour k la valeur de la fonction /iX — xX', relative à jt = i. ^v
On trouvera de même un nombre h tel que la fonction
croîtra avec x f quand x sera > i , en changeant Y en X.
Ainsi, l'équation donnée pourra se mettre sous l'une des formes
Far F*
qui sont toutes deux rationnelles et donnent pour la résolution une méthode facile»
- tt-
se*
