LA THÉORIE DES NOMBRES

Quand on convient de regarder comme nulles toutes les quantités qui, dans les calculs algébriques, se trouvent multipliées par un nombre premier donné p f et qu'on cherche, dans cette convention, les solutions d'une équation algébrique Fx = o, ce que M. Gauss désigne par la notation Fx s o v on n'a coutume de considérer que les solutions entières de ces sortes de questions* Ayant été conduit par des recherches particulières à considérer les solutions incommensurables, je suis parvenu à quelques résultats que je crois nouveaux.

Soit une pareille équation ou congru en ce, Fx = o, dp le module. Supposons d'abord, pour plus de simplicité, que la congruence' en question n'admette aucun facteur con.mensurable, c'est-à-dire qu'on ne puisse pas trouver trois fonctions fx, ^x 9

y 'x telles que

o x . {* x =s Fa? -*- p .£ x.

Dans ce cas, la congruence n'admettra donc aucune racine entière, ni même aucune racine incommensurable de degré inférieur. Il faut donc regarder les racines de cette congruence comme des espèces de symboles imaginaires, puisqu'elles ne satisfont pas aux questions des nombres entiers, symboles dont l'emploi, dans le calcul, sera souvent aussi utile que celui de l'imaginaire ^— i dans l'analyse ordinaire.

C'est la classification de ces imaginaires, et leur réduction au plus petit nombre possible, qui va nous occuper.

Appelons i l'une des racines de la congruence Fx = o, que nous supposerons du degré v.

Considérons l'expression générale

(•) Bulletin de* Sciences mathématique* de II. Férussue, 1. XIII, p. 4*8 (année i83o, cahier de juin); avec la note suivante : « Ce Mémoire fait partie des recherches de M. Giloit sur la théorie des permutations ci des équations algébriques. • ( J. LtoUTiLLt.)

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où a 9 a %f a Sj . . . , a* f représentent des nombres entiers. En donnant à ces nombres toutes les valeurs, l'expression (A) en acquiert />*, qui jouissent, ainsi que je vais le faire voir, des .mêmes propriétés que les nombres naturels dans la théorie des ré*ic v "» des puissances.

Ne prenons des expressions (À) que les p y — i valeurs où a, "i> <**» •••* <**-• ne sont pas toutes nulles : soit ai Tune de ces expressions*

Si Ton élève successivement a çox puissances a% 3 e , . . . , on aura une suite de quantités de même forme [parce que toute fonction de i peut se réduire au (v — i)**"* degré]. Donc on devra avoir a" = i, n étant un certain nombre; soit n le plus petit nombre qui soit tel que Ton ait «"= i. On aura un ensemble de n expressions, toutes différentes entre elles,

Multiplions ces n quantités par une autre expression 6 de la même forme. Nous obtiendrons encore un nouveau groupe de quantités toutes différentes des premières et différentes entre elles. Si les quantités (A) ne sont pas épuisées, on multipliera encore les puissances de a par une nouvelle expression y, et ainsi de suite. On voit donc que le nombre n divisera nécessairement le nombre total des quantités (A). Ce nombre étant p* — i, on voit que n divise />* — i . De là suit encore que Ton aura

a**- 1 = i, ou biea a** as a.

Ensuite on prouvera, comme dans la théorie des nombres, qu'il y a des racines primitives ai pour lesquelles on ait précisément /»* — i = /i, et qui reproduisent par conséquent, par l'élévation aux puissances, toute la suite des antres racines.

Et Tune quelconque de ces racines primitives ne dépendra que d'une congruence du degré v, congruence irréductible, sans quoi l'équation en t*ne le serait pas non plus, parce que les racines de la congruence en i sont toutes des puissances de la racine primitive.

On voit ici cette conséquence remarquable que toutes les quan* tilés algébriques qui peuvent s? présenter dans la théorie sont racines d'équations de la forme

Celle proposition, énoncée algébriquement, est celle-ci : Étant donnés une fonction Vx et an nombre premier p t on peut poser

fx.Fx ««#»•— j? -i- p^* t

fx et ?x éunt des fonctions entières, tontes les fois qae la congraence Fx = o (mod. p) sera irréductible*

Si Ton veut avoir tontes les racines d v ane pareille congruence au moyen d'une seule, il suffit d'observer que Ton a généralement

et que, par conséquent, Tune des racines étant x, les antres

seront

Il s'agit maintenant de faire voir que, réciproquement a ce que nous venons de dire, les racines de l'équation ou de la congruence x** = x dépendront toutes d'une seule congruence du degré v.

Soit en effet i une racine d'une congruence irréductible et telle que toutes les racines de la congruence x** = x soient fonctions rationnelles de i (Il est clair qu'ici, comme dans les équations ordinaires, cette propriété a lieu) (*)•

(") De ce que les racines de la congrue ace irréductible de degré v sont exprimées par la saile

4?, Xt , «Cf • • • f Jfr p

oo aarait tort de conclure que ces racines soient toujours des quantités exprimables par radicaux. Voici un exemple du contraire : La congruence irréductible

j?*-»-«-+-i = o (mod a) donne

qui se rédoit à

;(«od»)t formule qui n'apprend rien.

(■) La proposition générale dont il s'agit ici pent s'énoncer ainsi : Éunt donnée une équation algébrique, on pourra trouver une fonction rationnelle t de toutes ses racines, de telle sorte que, réciproquement, chacune des racines s'exprime rationnellement en 9. Ce théorème était connu d'Abel, ainsi qu'on pent le voir par la première Partie du Mémoire qne ce célèbre géomètre a laissé sur les fonctions elliptiques.

II est d 9 abord évident que le degré ji de la congracncc en i ne saurait être plu* petit que v, sans quoi la congruence

aurait toutes ses racines communes avec la congruence

JT**- 1 — ISO,

ce qui est absurde, puisque la congruence (v) n'a pas de racines égales, comme on le voit en prenant la dérivée du premier membre. Je dis maintenant que ji ne peut non plus être > v. En effet, s'il en était ainsi, toutes les racines de la congruence

devraient dépendre rationnellement de celles de la congruence

Mais il est aisé de voir que, si Ton a

toute fonction rationnelle h = fi donnera encore (/,y - /(*•) « /*, d'où hr « A.

Donc toutes les racines de la congruence x^=x lui seraient communes avec l'équation xf* = x, ce qui est absurde.

Nous savons donc enfin que toutes les racines de l'équation ou congruence x**=x dépendent nécessairement d'une seule congruence irréductible de degré v.

Maintenant, pour avoir cette congruence irréductible d'où dépendent les racines de la congruence xP* = x y la méthode la plus générale sera de délivrer d'abord cette congruence de tous les facteurs communs qu'elle pourrait avoir avec des congruences de degré inférieur et de la forme

On obtiendra ainsi une congruence qui devra se partager en congruences irréductibles de degré v. Et, comme on sait exprimer toutes les racines de chacune de ces congruences irréductibles au

mojen d'une seule, il sera aise de les obtenir toutes par la méthode de M. Gauss.

Le plus souvent, cependant, il sera aisé de trouver parle tâtonnement une congruence irréductible d'un degré donné v, et Ton doit en déduire toutes les autres.

Soient, pour exemple, p = 7, v = 3. Cherchons les racines de la congruence

(1) x^wo^mod 7).

J'observe que la congruence

(a) i»=i(mod 7 )

étant irréductible, et du degré 3, toutes les racines de la congruence (1) dépendent rationnellement de celles de la congruence (a), en sorte que toutes les racines de (1) sont de la forme

(3) a H-a,*-h«r,i* ou bien a -t- a, {/â -t- « t {/j.

Il faut maintenant trouver une racine primitive, c'est-à-dire une forme de l'expression (3) qui, élevée à toutes les puissances, donne toutes les racines de la congruence

**•-! = 1 , savoir **.*».it = 1 ( mod 7),

et nous n'avons besoin pour cela que d'avoir une racine primitive de chaque congruence

*is| f *•"-*!, *»*■!.

La racine primitive de la première est — 1 ; celles dcx ,, -i = o sont données par les équations

en sorte que 1 est une racine primitive de x ft = 1.

Il ne reste qu'à trouver une racine de x %% — 1 = o, ou plutôt de

*••— 1 jr — 1 •

et essayons pour cela si l'on ne peut pas satisfaire & la question

en posant simplement x = a 4- <* t i, an lien de <i + <ii i H- a t i*i nous devrons avoir

ce qui, en développant par la formule de Newton, et réduisant les puissances de a, de a, et de i, par les formules

se réduit &

3[a — a*af -h (a»a| -♦- a*a\)i*) = i t

d\>u t en séparant,

3a — 3a*a|=i, a'af -+-a*af = o.

Ces deux dernières équations sont satisfaites en posant a= — i • *?i =±= i . Donc

est une racine primitive dcx fl =i. Nous avons trouvé plus haut, pour racines primitives de x*= i et de x**= i, les valeurs — i et f ; il ne reste plus qu'à multiplier entre elles les trois quantités

et le produit i — t* sera une racine primitive de la congruence

Donc ici l'expression * — i* jouit de la propriété que, en l'élevant à toutes les puissances, on obtiendra 7' — 1 expressions différentes et de la forme

a -t- ail -ha, i*.

Si nous voulons avoir la congruence de moindre degré d'où dépend notre racine primitive, il faut éliminer 1 entre les deux équations

On obtient ainsi

^-t + laO.

Il sera convenable de prendre pour baie des imaginaires et de représenter par 1 la racine de cette équation, en sorte que

(!) i>— iH-aso,

et l'on aura toutes les imaginaires de la forme

en élevant i à toutes les puissances et réduisant par l'équation (*).

Le principal avantage de la nouvelle théorie que nous venons d'exposer est de ramener les congruences & la propriété (si utile dans les équations ordinaires), d'admettre précisément autant de racines qu'il y a d'unités dans l'ordre de leur degré.

La méthode pour avoir toutes ces racines sera très simple. Premièrement! on pourra toujours préparer la congruence donnée Fx = o de manière qu'elle n'ait plus de racines égales, ou 9 en d'autres termes* qu'elle n'ait plus de facteur commun avec F'x = o, et le nipyen de le faire est évidemment le même que pour les équations ordinaires.

Ensuite, pour avoir les solutions entières, il sufGra, ainsi que M. Libri parait en avoir fait le premier la remarque, de chercher le plus grand facteur commun a Fx = o et & x*~* = t.

Si maintenant on veut avoir les solutions imaginaires du second degré, on cherchera le plus grand facteur commun a Fx = o et à x''~'= i, et, en général, les solutions de l'ordre v seront données par le plus grand commun diviseur & Fx = o et à

Ccst surtout dans la théorie des permutations, où l'on a sans cesse besoin de varier la forme des indices, que la considération des racines imaginaires des congruences paraît indispensable. Elle donne un moyen simple et facile de reconnaître dans quel cas une équation primitive est soluble par radicaux, comme je vais essayer d'en donner en deux mots une idée.

Soit une équation algébrique fx = o, de degré p y \ supposons que les p* racines soient désignées par x*, en donnant a l'indice k les p* valeurs déterminées par la congruence kr* = k (mod /»)•

Prenons une fonction quelconque rationnelle V des p* racines x«. Transformons cette fonction en substituant partout à l'indice k l'indice (ak + 6 y, a, 6, r étant des constantes arbitraires satisfaisant aux conditions de ***-■ = i f b'*=b(modp) et de r entier.

En donnant aux constantes a, 6, r toutes les valeurs dont elles sont susceptibles, on obtiendra en tout />*(/>*— i)v manières de

permuter les racines entre elles par des substitutions de la forme [x*, x^A+ijf'], et la fonction V admettra en général par ces substitutions />*(/>*— i)v formes différentes.

Admettons maintenant que l'équation proposée fx = o soit telle que toute fonction des racines, invariable par les />*(/>*— i)v permutations que nous venons de construire! ait pour cela même une valeur numérique rationnelle.

On remarque que, dans ces circonstances! l'équation fx = o sera soluble par radicaux, et, pour parvenir à cette conséquence, il suffît d'observer que la valeur substituée & k % dans chaque indice, peut se mettre sous les trois formes

(ak + bY= !«(* + 6")K = *'kr+ **« a'(k + b')r.

Les personnes habituées à la théorie des équations le verront sans peine.

Celte remarque aurait peu d'importance si je n'étais parvenu! démontrer que, réciproquement, une équation primitive ne saurait être soluble par radicaux, à moins de satisfaire aux conditions que je viens d'énoncer. (J'excepte les équations du neuvième et du vingt-cinquième degré.)

Ainsi, pour chaque nombre de la forme />*, on pourra former un groupe de permutations tel, que toute fonction des racines invariable par ces permutations devra admettre une valeur rationnelle quand l'équation de degré p* sera primitive et soluble par radicaux.

D'ailleurs, il n'y a que les équations d'un pareil degré />* qui soient à la fois primitives et solubles par radicaux.

Le théorème général que je viens d'énoncer précise et développe les conditions que j'avais données dans le Bulletin du mois d'avril. Il indique le moyen de former une fonction des racines dont la valeur sera rationnelle, toutes les fois que l'équation primitive de degré p y sera soluble par radicaux, et mène, par conséquent, aux caractères de résolubilité de ces équations, par des calculs sinon praticables, du moins qui sont possibles en théorie.

Il est è remarquer que, dans le cas où v = i, les diverses valeurs de k ne sont autre chose que la suite des nombres entiers. Les

substitutions de la forme (x*, *«*+*) seront an nombre de

La fonction qnî, dans le cas des équations solubles par radicaux, doit avoir nne valeur rationnelle, dépendra, en général, d'une équation de degré i. a. 3. ..(/> — a), a laquelle il faudra, par conséquent, appliquer la méthode des racines rationnelles.