X' II ^ G ^ H R

\ */ air* m cosa cos/S cosy'

On a ainsi entre les angles a, /3, 7 deux relations qui, jointes à Téquation

cos^ a + fos^ )S + cos^y = i ,

déterminent les directions des déplacements pour lesquels Tonde plane normale à la droite qui fait avec les axes les angles /, m. n se propage sans altération.

Ces directions peuvent s'obtenir d'une manière très-simple par la considération d'une surface du second degré. Soit en effet

Lr2+ My2+ Nz2+ aPy^-f ^Qxz+ aRary = 1

l'équation d'une surface du second degré ayant pour centre l'origine. En désignant par a, /S, 7 les angles que fait avec les axes des coordonnées l'un des axes de symétrie de cette surface, on a, comme on

sait,

ILcosa-^Rcosj3-hQcos7 RcosaH-Mcosj84-Pcos7 cos a cos B Qcosa4-Pcos/3H-Ncos7 ^ COS7 '

S étant l'inverse du carré du demi-axe parallèle à la direction

Les relations (iîî) deviennent identiques aux relations (ii)sî l'on pose

L = (4, + A)cos2/+(iiî, + F)cos2m + (e + E)cos2|t, M=^(4, + F)cos2/ + (in, + B)cos2|w + (G + n)ros2w, i\ = (,Jt + E)cos2/+(i)î, + D)cos2m+(G+G)cos«», P-= •^Dcoswcos w, Q= 'îE cos/ cos W, \ R== *iF cos /cos m,

THÉORIE DE GAOCHY. A99

et Ton a alors

\ / lis m

Les directions définies par les équations (ii) sont donc parallèles aux trois axes d'une surface du second degré dont l'équation est

' [(-X + A) cos2 / + (lll> + F) cos2 »i H- (S + E) cos2 w] X^ + [(cH + F) cos2 / -f (\(î, + B) cos^ !» + (£ + D) cos2 n I y2 + [(cil,+ E) cos2/-i-(ift, + D) cos^m-f- (G + C) cos^w] z^ + /j D cos m cos w yz 4- ^i E cos / cos w r: + ^i F cos / cos m xy^ \.

La force élastique U tendant toujours à ramener la molécule m vers sa position d'équilibre, U est constamment négatif, et par suite les valeurs de S qui correspondent aux trois groupes de valeurs déterminées pour les angles a, jS, y par les équations (is) sont toutes trois positives. La surface représentée par l'équation (i5) a donc ses trois axes réels et ne peut être qu'un ellipsoïde. Cauchy a donné à cette surface le nom d! ellipsoïde (le polarisation.

Donc, étant donnée une onde plane, définie par les angles l, m, n que la normale à cette onde fait avec les trois axes d'élasticité du milieu, il existe toujours pour les déplacements moléculaires trois directions rectangulaires telles, que Fonde puisse se propager sans altération, et ces trois directions sont parallèles aux axes de l'ellipsoïde de polarisation.

Si la direction du déplacement sur l'onde plane est quelconque , on peut décomposer ce déplacement parallèlement aux trois axes de Tellipsoîde de polarisation; d'où il suit qu'en général une onde plane donne naissance à trois systèmes d'ondes planes se propageant avec des vitesses différentes.

Les vitesses de propagation des ondes planes sont, comme nous rayons démontré (132), proportionnelles à la racine carrée de U, et par conséquent, d'après l'équation (i &)9 à la racine carrée de S; d'où l'on peut conclure que les vitesses de propagation sont en raison inverse de la longueur de l'axe de l'ellipsoïde de polarisation auquel est parallèle le déplacement.

500 DOUBLE RÉFRACTÎON.

Comme à chaque direction de propagation normale correspondent trois systèmes d'ondes planes se propageant avec des vitesses différentes, il semble que la surface de Tonde doive être à trois nappes et que, dans le cas général, chaque rayon incident doive donner naissance à trois rayons réfractés et non pas à deux seulement, comme le montre Texpérience. Il s'agit donc maintenant de voir s'il est possible d'établir entre les coefficients A, B, C, cHo, ofc, G, D, E, F, dont dépend la constitution du milieu, des relations telles, que l'accord entre la théorie et l'expérience se trouve rétabli.

135. ImpMsiMlité des vilMPatlons transversales dams les milieux non Isatropes. — La difficulté que nous venons de signaler, et qui résulte de ce qae la surface de Tonde est à trois nappes dans le cas le plus général , disparait si le milieu est constitué de telle façon que deux des directions que peuvent avoir les vibrations d'une onde plane soient toujours parallèles au plan de Tonde, quelle que soit la direction de ce plan; car on peut supposer alors que les vibrations parallèles à la troisième direction, c'est-à-dire perpendiculaires au plan de Tonde, ne sont pas susceptibles d'impressionner la rétine. Cherchons donr quelles sont les relations qui doivent exister entre les coefficients qui caractérisent un milieu pour que, dans ce milieu, des trois directions auxquelles peuvent être parallèles les vibrations d'une onde plane , deux soient rigoureusement transversales et la troisième longitudinale, quelle que soit la direction du plan de Tonde, ou, en d'autres termes, pour que les équations (ti) soient satisfaites, quels que soient les angles /, m, w, en y faisant

En remplaçant respectivement dans les équations (it) a, jS, 7 par l, m, n, ces équations deviennent .

AcosM-i- SFcos^iw-t- SEcos^M == 3Fcos3/+ Bcos»iii4- 3D cos^n

=-3Ecôs«/+3Dcos»m-^Ccos*ll.

En éliminant cos/ entre ces dernières relations et l'équation

COS^ / + COS'^ III + cos^ w = 1 ,

'A vient

A 4- (3F-- A) co8>+ (3E ^^ A) cos« n

:=^3F + (B-3F)cos2m + 3(D-F)cos2»i . =3E + 3(D-E)cos^m + (C~3E)cosîn.

Pour que ces relations soient vérifiées quels que soient les angles m et fi^ il faut que Ton ait

d'où Ton tire facilement

Les conditions ainsi obtenues expriment évidemment que le milieu est isotrope ; donc, dans les milieux non isotropes^ il est impossible que les vibrations soient rigoureusement transversales pour toute direction du plan de Tonde. Toutes les fois qu'il s'agit d'un milieu non isotrope, on ne peut, par aucune hypothèse sur les relations entre les coefficients, échappera la difficulté que nous avons indiquée et faire rentrer rigoureusement la théorie de Fresnel dans ceHe de Caucby,

136. Vibratloiis mummUtrmnmwevmmM^m. — Tous les milieux biréfringents connus sont doués d'une double réfraction très-^faibk et diffèrent peu, par conséquente, des milieux isotropes. Les con-* ditions(i6), qui sont satisfaites rigoureusement dans les milieux isotropes, le sont donc d'une manière approchée dans les milieuxbiréfringents ; d'où il résulte que , dans ces derniers milieux, des trois directions que peuvent avoir les vibrations d'une onde plane, deux sont toujours i peu pris parallèles au plan de cette onde et la troisième à peu prié perpendiculaire à ce plan. Les deux premières directions sont dites quagi-^îransversaUe et la troisième quaei-longku* dinale. Des trois systèmes d'ondes planes qui correspondent à une même direction de propagation normale, d^ux sont donc à vibrations quasi-transversales et le troisième à vibrations quasi-longitu-

502 DOUBLE RÉFBACTION.

dinaies; si Ton admet (|ue ce dernier système d'ondes ne produit pas d'eiïet sensible sur Tocil, ia limitation à deux du nombre des rayons réfractés, dans les milieux non isotropes, se trouve expliquée. Le plan des deux vibrations quasi-transversales différant peu du plan de Tonde, les sections faites par ces deux plans dans Tellipsoîdc de polarisation sont à peu près identiques; les vitesses de propagation des deux systèmes d*ondes qui correspondent aux vibrations quasi- transversales sont donc approximativement en raison inverse des longueurs des axes de la section elliptique faite dans l'ellipsoïde de polarisation par le plan de l'onde. Il résulte de là que, si la section faite dans l'ellipsoïde de polarisation par le plan de l'onde coïncide avec la section faite par le même plan dans rellipsoîde (E) de Fresnel , dont l'équation est

les résultats de la théorie de Cauchy concorderont d'une manière approchée avec ceux de la théorie de Fresnel, 11 nous reste à voir quelles sont les relations qui doivent exister entre les coeflBcients qui entrent dans l'équation de l'ellipsoïde de polarisation pour qu'il puisse en être ainsi quelle que soit la direction de Tonde plane.

137. Concordance «ppro&imatlvc entre 1» tfcéorie de Freenel et celle de C^uclij, — Nous déduirons un premier groupe de relations, entre les coeflicients qui figurent dans Téquation de Tellipsoîde de polarisation, de cette loi expérimentale que, quand un rayon passe d'un milieu isotrope dans un milieu cristallise à deux axes, toutes les fois que le plan d'incidence coïncide *avec Tun des plans de symétrie du second milieu, l'un des rayons réfractés est polarisé dans ce plan et suit la loi de Descartes. Il résulte de cette loi que, si la normale à une onde plane est comprise dans Tun des plans de symétrie du milieu et si Tonde est polarisée dans ce plan, la vitesse de propagation de cette onde est indépendante de la direction de la normale. Ainsi la vitesse de propagation sera la même pour une onde plane polarisée dans le plan des xy, que cette onde soit normale à Taxe des x ou à Taxe des y, les trois axps des coordonnées étant les axes d'élasticité du milieu.

THÉORIE DE CAUGHY. 503

Si l'on suppose, comme l'a d'abord fait Cauciiy, que dans la lumière polarisée les vibrations s'effectuent parallèlement au plan de polarisation, les vibrations de deux ondes, toutes deux polarisées dans le plan des xy et normales l'une à l'axe des x, l'autre à Taxe des y, sont parallèles pour la première onde à Taxe des y, pour la seconde à Taxe des â;, et la considération de l'ellipsoïde de polarisation montre que les vitesses de propagation de ces deux ondes sont proportionnelles respectivement à ^cK> + ¥ el à y/îiM-F;on doit donc avoir dans cette hypothèse

En considérant deux ondes polarisées dans le plan des yz et normales Tune à l'axe des y, l'autre à l'axe des z, on ferait voir de même qu'on doit avoir

On tire de ces deux relations

4, = qJÎ, = e,

condition qui ne peut être satisfaite dans un milieu non isotrope qu'autant que les trois coefficients cHo, oR^, ©sont nuls. Or Gauchy a démontré ^^' que, si ces coefficients sont nuls, il en est de même, lorsque le milieu est en équilibre, de la pression supportée par tout élément plan qu'on peut considérer dans l'intérieur de ce milieu. Bien que l'existence d'un milieu où, dans l'état d'équilibre, la pression serait nulle n'ait rien d'absurde ni de contradictoire, il est cependant plus naturel , et plus conforme à ce que nous observons dans les milieux où nous pouvons mesurer la pression, de supposer que l'équilibre résulte de deux pressions égales et de sens contraire se détruisant mutuellement.

Nous sommes ainsi conduits à rejeter l'hypothèse qui nous a servi de point de départ, c'est-à-dire celle des vibrations parallèles au plan de polarisation , sans (ju'on puisse dire pour cela que les phé-

^'' ETêrc. de Mathémat., t. III, p. 91 3.

504 DOUBLE RÉFRACTIOiN.

nomènes de la double réfraction permettent de décider d'une façon absolue entre les deux hypothèses qu'on peut faire sur la direction des vibrations dans la lumière polarisée.

Revenons donc à Thypôth^e adoptée par Fresnel, c'est-à-dire supposons les vibrations perpendiculaires au plan de polarisation. Dans cette hypothèse les vibrations de deux ondes polarisées dans le plan des xy et normales Tune à Taxe des x, l'autre à Taxe des y, sont, pour les deux ondes, parallèles à l'axe des z; d'où il résulte, d'après l'équation de l'ellipsoïde de polarisation, que les vitesses de propagation de ces deux ondes planes sont respectivement proportionnelles à y/cHo+E et à y/qfe-hD. Ces deux vitesses devant être égales, on a

Oo + E-ifti^-D.

De même, les vibrations de deux ondes polarisées dans le plan des xz et normales l'une à l'axe des x, l'autre à l'axe des z, sont, pour les deux ondes, parallèles à l'axe des y; les vitesses de propagation de ces deux ondes sont par conséquent proportionnellrs à

yJlo + F et à y G + D. Ces deux vitesses devant encore être égales, on a

Enfin, les vibrations de deux ondes polarisées dans le plan des y: et normales l'une à l'axe des y, Taulre à l'axe des z, sont, pour les deux ondes, parallèles à l'axe des x, et, en égalant les vitesses de propagation de ces deux ondes, on a

Nous obtenons ainsi entre les coefficients de l'ellipsoïde de polarisation trois relations

(17) . j G + D.-=Jl+F,

ct + E-ifi> + D;

mais en réalité ces trois relations se réduisent à deux, car, en portant dans la seconde la valeur de C tirée de la pren^ière, on retrouve la troisième.

Si les équations (17) sont satisfaites , les vibrations parallèles à l'un quelconque des trois axes d'élasticité du milieu se propageront avec la même vitesse, que la normale à l'onde plane soit parallèle à l'un ou à l'autre des deux autres axes; la théorie de Gauehy concordera donc alors avec celle de Fresnel, pour le cas où l'onde plane est normale à l'un des axes d'élasticité. En désignant, comme dans la théorie de Fresnel, par a, b, c les vitesses de propagation des vibrations parallèles respectivement aux axes des j:, des y et des z, et en prenant pour mesure des vitesses de propagation les inverses des axés de l^ellipsoïde de polarisation, les équations (17) donnent

/ a^=ilî, + F = G + E,

■ f c2=='jl, + E = iJÎ) + D. ■

Nous allons chercher maintenant quelles sont les conditions qui doivent être ajoutées aux relations (17) pour que, dans tous les cas, le$ sections faitas pour l'nnde plane dans l'ellipsoïde do polarisation et dans Tellipsoîde (E) de Fresnei coïncident) c'ei^i-àr-dire pour que les deux théories de Fresnel et de Cauchy donnent des résultats sensiblement concordants, quelle que soit la direction de l'onde plane.

L'é(juation de l'ellipsoïde de polarisation, en tenant compte des équations (17) et de la relation

cos^ /+ cos^ m + cos^ n =^ 1 , devient

[(.j, + A-UÎ,-F)cos2/+i)!3-F]x^

+ [(iJ}> + B-cil,-F)cos2m + c^-F]y2 . +[(G + C~-o^,-E)cos2n + rl,-E]z2 + 4Dcosmçoswyz4- /lEcos/ cosiia;z-f- AF cos/cost/tiPy-^ 1,

ou

+ [(e+C-c)t-E)cos«n + c«]z2

+ /iDcosmcosny2 + hEcoslcosnxz+ iiFcos/cosmxy= i.

L'équation de Tonde plane est

X cos /+ y cos m + 2 cos n = o.

En éliminant x entre cette équation et celle de Tellipsoîde de polarisation, on obtient Téquation suivante, qui représente la projection sur le plan des yz de la section faite dans Tellipsoîde de polarisation par le plan de l'onde ,

[a2cos2m-f-i'^cos2/+(A-f B- 6F)cos«/cos«m]y2

-|-[a2cos2n+c2cos2/ + (A + C-6E)cos2/cos«w]i* + 3 [(cHo-HA— ^Ib + aD- aE- 3F) cos^/4-a^] cosm cosny: = cos^ /.

On trouve de même, pour l'équation de la projection sur le plan des yz de la section faite par le plan de l'onde dans l'ellipsoïde (E),

+ aa^ cos m cos nyz = cos^ /.

Pour que les deux sections soient identiques, quelle que soit la direction de l'onde plane , il faut et il suffit que l'on ait

(30) A-fC-6E-^o,

(31) oHD + A-i)î>-t-9D- 9E-3F=o.

Cette dernière relation peut prendre une forme plus simple. En effet, en retranchant la première des relations (17) de la seconde.

il vient

c^-ilJ, = D-E,

et , en portant cette valeur dans la relation (ai), on a

(aa) 4 + 3D- 3E-3F=o;

en ajoutant les équations (tg) et (ao) on a d'ailleurs

et , si l'on substitue cette valeur de A dans réquation ( a a ) , il vient définitivement

En résumé, pour qu'il y ait concordance approximative entre la théorie de Gauchy et celle de Fresnel , il faut et il suifit que les cinq conditions suivantes soient satisfaites :

mais rien n'indique la signification physique de ces conditions.