ET LES DIRECTIONS DES RAYONS RÉFRACTÉS OU RÉFLÉCHIS

— CONSTRUCTION DE HUYGHENS

138. Dé(eriiiiiiatl#n de la dlrMlioii des wmjowÈm réfractés ou réilécliis. — Après avoir trouvé l'équation de la surface de l'onde dans le caa le plua générai, nous allons nous proposer de montrer comment les lois de la réflexion et de la réfraction dansim milieu homogène quelconque peuvent se déduire de la connaissance de la surface de l'onde relative à ce milieu.

Oceupons-noQs d'abord de la réfraction, et supposons que la lumière pa^é d'un milieu homogène quelconque, uniréfringent on biréfringent, dans un autre milieu homogène 'également quel-

Fig. 89.

conque ; pour plus de simplicité , admettons que la surface de séparation soit plane. Désignons par S (fig. 89) le point lumineux situé

GONSTRlICtlON DE HUYGHENS. 509

dans le premier milieu, par P le point éclairé situé dans le second milieu : en raisonnant comme dans le cas des milieux isotropes (57 et 60), il est facile de démontrer que l'éclairement du point P provient d'une très-petite région de la surface réfringente comprenant un point A tel, que la somme des temps employés par la lumière pour se propager du point S au point A dans le premier milieu , et du point A au point P dans te second milieu , soit un minimum. Donc, si SA est un rayon incident, pour que AP soit lé rayon réfracté correspondant, il faut et il suffit qu'en prenant sur la surface réfringente un point quelconque B, infiniment voisin du point A, le temps employé par la lumière pour parcourir le chemin SBP ne diflfère de celui qu'elle met à parcotirir le chemin SAP que d'un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier. Cette condition permet de déterminer la direction du rayon réfracté , étant donnée celle du rayon incident.

Prenons en eJKet sur la surface réfringente deMx points B et C infiniment voisina du point A, et décrivons du point S comma centre la surface de l'onde relative au premier milieu qui paase en A : cette surface rencontre les droites SB et SC en B' et en C', et, en négligeant les infmiment petits d'un ordre supérieur au premier, on peut confondre le plan AhV avec le plan tangent à la surface de l'onde au point A. Décrivons de même la surface de l'onde rela«> tive au second milieu ayant pour centre le point P et passant en C; cette surface coupe les droites PB et PA aux points Bi et A, , et le plan GA^Bj peut être regardé, soit comme étant tangent à cette surface au point C, soit comme étant tangent en Aj à la surface de l'onde relative au second milieu décrite du point A comme centre et passant en A^.

La lumière emploie des temps égaux pour se propager du point S aux points A, B^ C\ et aussi pour se propager du point P aux points Aj, B,, C : donc, pour que AP soit le rayon réfracté correspondant au rayon incident SA , il faut et il suffit que les temps employés par la lumière pour parcourir les chemins AAj, B'BBi, CO soient égaux en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier, c'est-à-dire que l'on ait, en désignant par t? la vitesse de la lumière dans le premier milieu suivant la direction SA , et

par u sa vitesse dans le second milieu suivant la direction AP,

/ \ AA, B'B , BB, ce

car les longueurs B'B, BB^, GC étant des inGniment petits du premier ordre, les erreurs que l'on commet dans l'évaluation des temps employés h parcourir ces longueurs, en admettant que la vitesse de la lumière soit égale à v dans le premier milieu suivant les directions SB et se, et à u dans le second milieu suivant la direction BP, sont des infiniment petits du second ordre et peuvent par conséquent t^tre négligées.

Ceci posé, prolongeons le rayon incident SA jusqu'en un point a tel, que Ton ail

(9) ii?=^..