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Nous avons appris à connaître dans les cristaux à deux axes trois systèmes différents d'axes ; les trois axes d'élasticité, les deux ai&> de réfraction conique intérieure et les deux axes de réfraction conique extérieure. Il s'agit maintenant de savoir quels sont parmi ces axes ceux qui méritent, à proprement parler, la dénomination d'axes optiques.

Remarquons d'abord que dans les cristaux à un axe l'axe unique jouit de trois propriétés essentielles :

!• Tout plan mené par l'axe est un plan de symétrie pour le cristal.

9" Suivant la direction de l'axe peuvent se propager deux rayons provenant d'un même rayon incident et animés de la même vitesse: ces deux rayons ne se séparent pas à l'émergence , quelle que soil

l'inclinaison de la face de sortie, et ne présentent aucune différence de marche.

S"" Toute onde plane perpendiculaire à Taxe se propage avec une vitesse constante, quelle que soit sa polarisation.

Dans les cristaux à deux axes, aucune direction ne possède à la fois les trois propriétés que nous venons d'énumérer. Les axes d'élasticité et les axes de réfraction conique extérieure ne sont caractérisés par aucune de ces propriétés. Car, si parallèlement à chacun des axes d'élasticité peuvent se propager deux rayons provenant d'un même rayon incident, ces rayons n'ont pas même vitesse et $e séparent par conséquent à l'émergence toutes les fois que la face de sortie n'est pas parallèle à la face d'entrée. Quant aux axes de réfraction conique extérieure, il est vrai que suivant chacun de ces axes peuvent cheminer dans le cristal une infinité de rayons se propageant avec la même vitesse, mais ces rayons proviennent de rayons incidents différents et présentent à l'émergence une différence de marche.

Les axes de réfraction conique intérieure ont ce caractère commun avec l'axe unique des cristaux à un axe, que toute onde plane perpendiculaire à l'un de ces axes se propage avec une vitesse constante quelle que soit sa polarisation. De plus, lorsqu'il y a réfraction co-

Fig. 106.

nique intérieure, les rayons qui forment le faisceau cylindrique émergent ne présentent aucune différence de marche. Soient en ï»ffc't (lig. 106) SI le rayon incident, RIT le faisceau conique formé

par les rayons réfractés, IR le rayon parallèle à l'un des axes de réfraction conique intérieure; décrivons du point I conune centre la surface de Tonde passant par le point R, et menons à cette surface un plan tangent en R : le point H, où ce plan rencontre le rayon IT, fait partie de la surface de Tonde, et par suite les deux rayons SIR, SIH emploient des temps égaux pour aller du point S aux points R et H. Ceci posé, menons par le point T un plan perpendiculaire à la direction des rayons émergents. A partir de ce plan TK, les rayons émergents ne peuvent plus acquérir aucune différence ^e marche ; il suffira donc de faire voir que la lumière emploie des temps égaux pour parcourir la longueur RK dans Tair et la longueur HT dans le cristal. Or, si parle point T on mène une parallèle TM à IR, parallèle qui rencontre en M le plan tangent RH, cette droite sera perpendiculaire au plan RH de même que IR, et, comme tout rayon qui dans Tintérieurdu cristal est parallèle à Tun des axes de réfraction conique intérieure, et par suite normal à la surface de Tonde, se réfracte en suivant la loi de Descartes, c'est-àdire de façon que les sinus des angles d'incidence et de réfraction soient proportionnels aux vitesses de la lumière dans le cristal et dans le milieu extérieur, les longueurs MT et RK sont telles, que la lumière emploie des temps égaux à les parcourir. D'ailleurs le plan RH est tangent à la surface de Tonde décrite du point T comme centre et passant par le point M; les points M et H se trouvent donc sur une même surface de Tonde ayant pour centre le point T, d'où il résulte que la lumière parcourt dans le même temps les longueurs MT et HT, et par suite qu elle emploie aussi des temps égaux pour parcourir les longueurs HT et RK.

La réfraction conique intérieure donne donc naissance à un faisceau émergent de rayons parallèles qui ne présentent aucune différence de marche et qui ne peuvent produire aucun phénomène de coloration dans les expériences de polarisation chromatique. Telle est la principale raison qui doit faire attribuer la dénomination d'axe» optiques aux axes de réfraction conique intérieure.

157. Relations entre les vitesses de propagation d^une •ndie plane et la ptMiition de eette onde par rapport aux aiLea optiques. — A chaque direction de propagation normale correspondent deux systèmes d'ondes planes cheminant avec des vitesses différentes; les vitesses de ces deux systèmes d'ondes sont données par l'équation

cos*/ , 008* m , cos'fi

qui n'est autre que celle de la surface d'élasticité, et où l, m, n désignent les angles que fait avec les axes d'élasticité la direction de propagation normale , r la vitesse des ondes planes. Cette équation peut être mise sous la forme

r* — [(J*^+ c2) cos^ / + (a2+ c^) cos^ m + {à^+ b^) cos^ n] r^

+ b^c^ cos^ /+ a^ c^ cos2m+ a^ft2 (.Qg^n ^ q ^

et, en désignant les deux racines par r^ et r"^, on a

(t) r'2+/«==(J2 + c2)cos2/ + (a2+c2)cos2m + (a2 + j2)cos2w, (a) r'2r"2=JVcosM+aVcos2m + a^ft^cos2n.

D'ailleurs, si ffeiff' sont les angles que fait avec les axes optiques la direction de propagation normale, D et i8o"— D les angles que font les axes optiques avec l'axe des x, c'est-à-dire avec l'axe de plus grande élasticité, on a

cos

cos6' = cosD cos/ + sinD cosw, cos 0" -- — cos D cos /+ sin D cos n , d'où l'on tire

, cosô' — cos^ cos& — cos6"./a^ — c^ cos ô'-h cos ^ cos & -¥ cos fl" /a' — c*

^ 2 y/ïT^''

cos n

2 sin I)

En portant ces valeurs de cos/ et de cosn dans les équations (i) et (a) et en remplaçant cos^m par i — cos*/ — cos'n, il vient

r'î r** -= a^c» - (£lz^* (cos & - cose*)» + '"'"/'"' (cosÔ'+cos^)»

==^2^ + ^ — ;^ — ^(cos^fl^+ros*S^)+^ cosfl^cosS^,

d'où

(a2+<,2)2^(^2^)2cOS^e/cOs2^/^^2^

__(«2^)2(cOs2e' + COs2r) = («2 c2)2 (1 - COS^Ô') (1 COS^Ô")

et enfin

(3) r"-^ - r'^'- {a' - - c^) sin»' sin ff.

Cette dernière équation établit une relation entre les vitesses des deux systèmes d'ondes planes qui correspondent à une même direction de propagation normale et les angles que cette direction fait avec les axes optiques.

On peut aussi, au moyen des axes optiques, trouver la direction des deux mouvements vibratoires qui correspondent à une même direction de propagation normale. Ces directions sont, en effet, parallèles aux axes de la section faite dans le premier ellipsoïde par un plan perpendiculaire à la direction de propagation normale; mais le plan de cette section elliptique est coupé par ceux des deux sections circulaires suivant deux diamètres de l'ellipse égaux entre eux, puisqu'ils sont égaux à ceux des cercles, et par conséquent également inclinés sur les axes de l'ellipse. Les axes optiques qui sont normaux aux sections circulaires se projettent sur le plan de la section elliptique, suivant des diamètres qui sont perpendiculaires à ceux dont nous venons de parler, et par suite, comme ceux-ci, éga-

lement inclinés sur les axes de l'ellipse. Or ces projections sont les traces des plans qui passent par la direction de propagation normale et par chaque axe optique; nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Les plans qui contiennent à In fois une direction de propagation normale quelconque et les directions des deux vibrations correspondantes bissectent les angles dièdres formés par les plans qui passent par la même direction de propagation normale et par les axes optiques,

158. Retotloiui entre les vifemnes des deux rayons qui •e meuvent suivant une même direetion et les angles que lisit cette direetion awee les axes de réfraetion eonique extérieure. — L'équation de la surface de l'onde peut se déduire, comme nous l'avons vu, de celle de la surface d'élasticité, en remplaçant dans cette dernière r^^l,m,n, à^, ft^, c^ respectivement par 1 ^ 111

De même, si dans les expressions

qui représentent les cosinus des angles que font les axes optiques avec l'axe des x, on remplace a^ i^, c^ par^» p' ?' ^'^ obtient

c'est-à-dire les valeurs des cosinus des angles que font avec l'axe des X les deux axes de réfraction conique extérieure.

Si donc p' et p" désignent les vitesses des rayons qui se propagent suivant une même direction, u' et u" les angles que forme cette direction avec les deux axes de réfraction conique extérieure, un calcul tout à fait analogue au précédent conduira à une relation qu'on peut trouver immédiatement en remplaçant dans l'équation (3) f', r*^, 0', ff' respectivement par-,* -„y u\ u'', ce qui donne 1 1 / 1 i\ • , ' tf

Les axes de réfraction conique extérieure étant normaux aux sections circulaires du second ellipsoïde, on arrive, en raisonnant comme plus haut, au théorème suivant :

Les plans qui contiennent à la fois un rayon vecteur de la surface de l'onde et les deux vibrations correspondantes bissectent les angles dièdres formés par les plans guipassent par ce rayon vecteur et par les deux axes de réfraction conique extérieure.