COULEURS DES LAMES MINCES NON GRISTALLLSÉES

33. Historiette. — Les couleurs très-vives qui se montrent toutes les fois que la lumière est réfléchie ou transmise par un corps réduit en lame mince ont été sans, aucun doute observées de tout temps. Ces couleurs apparaissent en effet dans des circonstances trèsvariées, et dans un grand nombre de cas elles ne peuvent échapper même à l'examen le moins attentif. Boyle est cependant le premier auteur qui ait donné quelques détails sur les couleurs des lames minces ^^K Pour prouver que la couleur d'un corps ne dépend pas toujours de sa composition chimique et peut changer sans que la nature de ses principes constituants soit altérée, il cite les couleurs des bulles qu'on peut former avi,*c l'eau de savon et avec les différentes essences, en particulier avec celle de térébenthine; il ajoute que le verre, lorsqu'il est soufflé en bulles très-minces, peut offrir des phénomènes du même genre.

Hooke^^) étendit et varia les observations de Boyle : c'est à lui qu'on doit la découverte des anneaux colorés proprement dits. En regardant au microscope des lamelles minces de talc de Moscovie, il distingua des anneaux colorés entourant une tache centrale blanche, et remarqua que l'ordre des couleurs était le même que dans le premier arc-en-ciel. Il reconnut aussi que, si l'on pressait la lame avec le doigt, les couleurs changeaient de place. Il parvint même à obtenir des lames d'une é[)aisseur assez uniforme pour ne présenter qu'une seule couleur, et vit les colorations disparaître lorsque l'épaisseur de la lame était trop grande, et aussi lorsque cette épaisseur devenait excessivement petite. Ayant pressé l'un contre l'autre deux objectifs de lunette, il aperçut des anneaux colorés autour du point de contact; ainsi c'est à Hooke qu'est due la première idée de l'appareil avec

f'' Bfjyh'^itlVorkji publishrd ffij ShntTy I. II, p. 70. — V<»yez aussi V Histoire de l^optiffue d * l*rit»stley, p. 1 " 3.

^ ) Mierorrraphin y p. /17.

126 LUMIÈRE. NON POLARISÉE.

lequel Newton détermina les lois de ces phénomènes. Hooke cite encore les couleurs que présente Tacier trempé, les teintes de la nacre, des plumes des oiseaux, des ailes des insectes, etc. Quant à la théorie par laquelle il cherche à expliquer la coloration des lames minces, nous en avons donné une idée dans l'Introduction (9); elle repose, comme on Ta vu, sur un principe entièrement faux.

Hooke s'était contenté de décrire les phénomènes sans prendre de mesures; c'est à Newton qu'on doit la découverte des lois qui les régissent ^^\ et on peutxlire que, sous le rapport expérimental, il a été peu ajouté h ses travaux classiques sur les anneaux colorés. En produisant les anneaux avec des lumières homogènes différentes, et en remarquant qu'ils se rétrécissent h mesure que la réfrangibilité augmente, il put rendre compte de la complexité que présente la succession des couleurs lorsqu'on opère avec la lumière blanche. Ayant constaté que les épaisseurs de la lame mince pour lesquelles cette lame réfléchit la même couleur sont entre elles comme la série des nombres impairs, il fut conduit à la théorie des accès, dont nous avons dit quelques mots plus haut (1 3); cette théorie, qui, avec quelques modifications, fut presque universellement adoptée, a été définitivement renversée le jour oii Fresnel a montré que l'obscurité des anneaux noirs vus par réflexion est due à une absence complète de lumière , et non pas seulement à un effet de contraste avec les anneaux brillants, et que, par conséquent, il est impossible d'admettre, comme le veut la théorie des accès, que les rayons réfléchis h la première surface de la lame subsistent toujours.

Nous avons fait connaître également les explications qu'Euler, se laissant guider par de fausses analogies , essaya de donner du phénomène des anneaux colorés dans l'hypothèse des ondulations (14); ces explications ne résistent pas a un examen approfondi , etT c'est à Young (16) que revient l'honneur d'avoir le premier formulé une théorie satisfaisante des couleurs des lames minces, en s'appuyant sur le princi[)e des interférences. Cette théorie fut reprise et complétée en plusieurs points par Fresnel ^'^\ qui tint compte, pour la pre-

(» Optique, liv. IL

^') CEuvitM complète» , 1. 1 , p* 5 1 , i A4 , 95<i , 686, 69,5. — Ann, de ehim. et dt> pkys., («),XXm,ifl9.

inière fois, des rayons qui ont subi dans Tinti^rieur de la lame des réflexions multiples. Une dernière difficulté, provenant de ce que les mesures prises par Newton ne s'accordaient pas, pour le cas des grandes incidences, avec la loi ù laquelle conduit le principe des interférences, a été levée par les expériences de MM. de la Provoslaye et P. Desains ^*l

3â. lle«criptl«M ^tm mwuÊmmwnL mmâmtém» — La coloration (les lames minces dépend essentiellement de leur épaisseur; il semble donc au premier abord qu'il y ait avantage, pour déterminer les lois suivant lesquelles varie cette coloration , à employer des lames à faces parallèles. Mais, pour que les couleurs fussent visibles, il faudrait donner à ces lames une épaisseur extrêmement petite , égale au plus à quelques millièmes de millimètre , et on conçoit combien il est diflicile dans ces conditions d'obtenir une épaisseur uniforme : aussi est-il préférable de se servir d'une lame dont l'épaisseur varie d'une façon régulière.

L'appareil le plus précis pour l'observation des anneaux vus par réflexion est celui que Newton a employé dans la plupart de ses expériences. Il se compose d'une lentille sphérique en verre dont la courbure est très-faible, et qui repose sur un plan horizontal également en verre; la lame mince est formée par la couche d'air comprise entre la lentille et le plan de verre, et présente par conséquent une forme régulière.

En plaçant l'œil au-dessus de la lentille on aperçoit, lorsque le système est éclairé par de la lumière blanche, une série d'ahneaux disposés régulièrement autour du point de contact et sensiblement circulaires. Voici la description exacte de ces anneaux qui, dans les conditions que nous venons d'indiquer, sont vus par réflexion.

Autour du point de contact se trouve une tache noire qui s'étend jusqu''à une certaine distance et qui est bordée d'un anneau violet; puis vient un anneau blanc qui passe au rouge sur son bord extérieur, et qui est suivi d'un anneau noir; à cet anneau noir, qui est bordé extérieurement de bleu et de violet, succède un second

^»' ÀnH.éUehim. eî â« phy»., (3), XXVII, 'ia3.

Ii28 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

anneau blanc très-étroit, suivi d'une série d'anneaux colorés où bientôt on ne distingue plus que deux couleurs, le rouge et le vert. On observe dans ces anneaux des maxima et des minima d'intensité assez sensibles; les maxima se présentent dans les points où la teinte passe du vert au rouge , et les minima dans les points où elle passe .du rouge au vert.

Si l'on emploie la lumière homogène obtenue au moyen du prisme , on ne voit plus qu'une succession d'anneaux d'une seule couleur, alternativement brillants et obscurs, et les anneaux obscurs paraissent entièrement noirs; en faisant tomber successivement sur le système des verres les différentes couleurs du spectre, on s'assure que les anneaux s'élargissent lorsqu'on passe du violet au rouge.

En déplaçant l'œil on peut observer les anneaux réfléchis sous différentes incidences : l'aspect général du phénomène reste le même quand l'incidence change; la largeur seule des anneaux varie. Lorsqu'on veut opérer sous une incidence rigoureusement normale , il faut s'arranger de façon à ne pas intercepter les rayons incidents. Il suffit pour cela d'interposer, entre la lentille et l'œil placé sur le prolongement du rayon de celte* lentille qui passe par le point de contact, une lame de verre inclinée à 45 degrés, et de faire arriver horizontalement les rayons sur cette lame, qui les renvoie sur la lentille dans une direction verticale. Newton n'a pas employé cet artifice ; il se contentait d'observer les anneaux sous une incidence de 3 à 4 degrés , ce qui n'offre pas grand inconvénient , car, dans le voisinage de l'incidence normale, les diamètres des anneaux varient très-lentement.

Pour voiries anneaux colorés par transmission, il faut modifier la disposition de l'appareil : le plan de verre est alors placé verticalement, et la lentille, au lieu de reposer simplement sur ce plan, est enchâssée dans une monture et peut être serrée contre le plan au moyen de vis de pression. Il faut avoir soin que les deux verrQs se touchent, sans quoi la tache centrale serait colorée. Les anneaux vus par transmission sont complémentaires de ceux qu'on voit par réflexion, et, par conséquent, présentent une tache centrale blanche; les anneaux transmis sont d'ailleurs beaucoup moins apparents que les anneaux réfléchis, ce qui tient à ce que les différences entre les

roaxima et les miniroa de lumière sont très-faibles dans les premiers.

Le nombre des anneaux cpi'on peut apercevoir, soit par réflexion, soit par transmission, est toujours limité; il est beaucoup plus considérable dans la lumière homogène que dans la lumière blanche , phénomène tout à fait analogue è celui qu'on observe pour les franges d'interférence.

35. MMove dM «iMnétrM dm ammcmix Mtorés. — Pour calculer les épaisseurs de la lame qui correspondent aux différents

anneaux, il suffit de mesurer les diamètres de ces anneaux.

Soit en effet (fig. q8) une section faite dans le système des ' verres par un plan quelconque mené par le rayon de la lentille qui passe au point de contact 0. Prenons ce rayon pour axe d^s y, et la trace sur le plan de la figure de la surface Ki^, ,g plane du verre inférieur pour

axe des x. L'équation du cercle suivant lequel la surface de la lentille est coupée par le plan de la figure est, en désignant par R le rayon de la lentille,

x^+y^ — aRy= o.

Or le rayon OB d'un anneau quelconque et l'épaisseur correspondante AB de la lame mince d'air sont précisément les coordonnées du point A de ce cercle, rapportées aux axes que nous avons choisis; on a donc, en représentant par r le rayon d'un anneau et par e l'épaisseur de la lame mince aux points où se produit cet anneau ,

L'épaisseur e étant une quantité très-petite^ son carré est négligeable Verdit, V. -« Optique, L (j

130 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

et ia formule précédente se réduit à

^==ÎR'

ce qui montre que l'épaisseur de la lame en un point quelconque est proportionnelle au carré du rayon de l'anneau qui passe par ce point.

La comparaison des épaisseurs de la lame qui correspondent au\ différents anneaux se trouve ainsi ramenée à la mesure des diamètres de ces anneaux. Plusieurs méthodes ont été employées pour effectuer cette mesure. Newton se servait simplement d*un compas, dont il plaçait les pointes sur la face supérieure de la lentille, de façon qu'elles parussent coïncider avec les deux extrémités d*un même diamètre de l'anneau qu'il voulait mesurer. Pour éviter autant que possible l'erreur due à la réfraction qu'éprouvent les rayons lumineux en traversant la lentille , il prenait les diamètres pefpcmSeulaires au plan vertical passant par Tceil et par le centre des anneaux. L'erreur était à peu près immisible lorsqu'il opérait sous une incidence voisine de l'incidence normal , car les rayons provenant des deux extrémités du diamètre qu'il mesurait étaient alors réfimctés sous la même incidence. Mais le procédé devenait défectueux dès que l'incidence était un peu considérable : car, dans ce cas , la valeur du diamètre se trouvait altérée par la réfraction, et la correction était difficile à calculer d'une manière tant soit peu exacte.

M. Babinet a eu l'idée de tracer sur le plan de verre inférieur un réseau formé de traits très-fins et également espacés. Les anneaux se projettent sur ces divisions , et il suffit de compter le nombre de traits compris entre les deux extrémités d'un diamètre.

Le procédé le plus exact est celui dont se sont servis MM. de la Provostaye et P. Desains ^^K Le système formé par la lentille et le plan de verre était fixé sur une plaque horizontale en cuivre qu'on pouvait déplacer horizontalement à faide fune vis micrométrique. Les anneaux étaient observés si l'aide d'une lunette mobile dans un plan vertical perpendiculaire à la vis. On faisait d'abord coïncider le point de croisement des fils du réticule avec le centre '» Anu. de chim. eê thpk^.. (3), XXVH, /i43.

des anneaux, puis, à l'aide de la vis, on déplaçait le système des verres jusqu'à ce que le fil vertical du réticule coïncidât avec un point de l'anneau dont on voulait évaluer le rayon. La longueur dont il avait fallu faire avancer la vis était alors égale au rayon cherché.

Dans ces conditions, aucune correction n'était évidemment nécessaire pour tenir compte de la réfraction que subissaient les rayons en traversant la lentille , pourvu que la face supérieure de cette lentille rât plane , ou du moins eût une courbure très-faible. L'ange formé par l'axe optique de la lunette avec la verticale indiquait l'angle d'émei^ence des rayons , ang^e qu'il était facile de faire varier en éloignant ou en rapprochant la lunette de la vis. Lorsqu'on opérait sous une incidence considérable , il était nécessaire d'arrêter au moyen d'un écran les rayons réfléchis par la surface supérieure de la lentille, rayons qui, possédant dans ces circonstances une intensité assez grande , auraient masqué les anneaux.

36. II»!» émm mwukmmuik cotogéai — Newton , en mesurant , par le procédé que nous venons d'indiquer, les diamètres des anneaux dans la lumière blanche et sous l'incidence normale ,. trouva que les carrés des diamètres des anneaux obscurs vus par réflexion sont entre eux comme la série des nombres pairs o, a, 4,6,8,.,. (la tache centrale étant consid^e conmie le premier anneau obscur), et que les carrés des diamètres des anneaux brillants sont entre euv comme la suite des nombres impairs i , 3 , 5 , 7,. . . . Il résulte de le, d'après ce que nous avons dit plus haut, que les épaisseurs de la lame mince correspondant aux maxima de lumière dans les anneaux réfléchis sont entre elles comme la suite des nombres impairs, et les épaisseurs correspondant aux minima comme la suite des nombres pairs. Cette loi devient plus facile à vérifier lorsqu'on éclaire la lame mince avec une lumière homogène; dans ce cas les anneaux sont beaucoup plus nombreux et les anneaux obscurs paraissent entièrement noirs. En répétant les mêmes observations pour les différentes couleurs simples, on reconnaît que les anneaux s'élargissent à mesure qu'on passe du violet au rouge, c'est-à-dire que le diamètre des anneaux augmente avec la longueur d'ondulation.

Fresnel , en comparant les nombres trouvés par Newton pour les

18S LUMIÈRE NON POLARISÉE.

épaisseurs de la lame d*air correspondant aux différents anneaux réfléchis dans la lumière rouge avec la longueur d*ondulation de cette lumière, déterminée au moyen de Texpérience des deux miroirs, reconnut qu'aux points où se montrent les anneaux brillants vus par réflexion sous Tincidence normale, l'épaisseur de la lame est é^Ie à un multiple impair du quart de la longueur d'ondulation, tandis qu'aux points où se produisent les anneaux obscurs elle est égale à un multiple pair de la même quantité. Cette relation importante , bien qu'elle n'ait été vérifiée par Fresnel que pour la lumière transmise par un verre rouge, est générale et s'appÛque à toute espèce de lumière simple.

La superposition des systèmes d'anneaux produits par les différents rayons simples explique facilement les apparences qui se présentent dans la lumière blanche et le petit nombre d'anneaux qu'on observe dans cette lumière. Les détails que nous avons donnés à propos des franges d'interférence (23) nous dispensent d'insister sur ce point. Si les anneaux réfléchis sont observés sous une incidence oblique, l'expérience conduit à cette loi, déjà énoncée par Newton, que l'épaisseur de .la lame d'air qui correspond à un anneau réfléchi d'un ordre déterminé est en raison inverse du cosinus de l'angle d'incidence, en entendant par là l'angle sous lequel le rayon qui a pénétré dans la lame mince tombe sur la seconde face de cette lame. Newton, en se fondant sur des mesures inexactes, avait été amené â penser que cette loi n'était vraie que pour les incidences inférieures à 5o degrés, et avait donné pour les incidences supérieures a cette limite une formule empirique fort compliquée. Les expériences de MM. de la Provostaye et P. Desains, dans lesquelles les anneaux ont été observés jusqu'à une incidence de SA'^iÂ', ont montré que la loi énoncée plus haut et appelée souvent lai des skanlitê est applicable, comme le veut la théorie des ondulations, à toutes les incidences; ainsi s'est trouvée levée une difficulté qui avait été proposée par J. Herschel^^) comme un argument sérieux contre cette théorie, et qui avait conduit Fresnel à admettre que la loi ordinaire de la réfraction peut subir des modifications lorsque l'incidence est

^') Phil, TrofitM 1807, p. 180; 1809, p. aôg; i8to, p. 169.

très-oblique ('l Remarquons que, vu la faible courbure des deux faces de la lentille, les plans tangents à ces deux faces, aux points où elles sont rencontrées par un rayon qui s'est réfléchi sur la face inférieure de la lame mince, peuvent être regardés comme sensiblement parallèles : Tangle d'incidence du rayon qui se meut dans la lame mince est donc égal à Tangle que forme le rayon émergent avec la verticale, et, pour vérifier la loi des sécantes, il suffit de mesurer ce dernier angle, c'est-à-dire^ dans le procédé de MM. de la Provostaye et Desains, de mesurer l'angle formé par l'axe de la lunette avec la verticale.

Les anneaux transmis sont toujours, quelle que soit l'incidence*, complémentaires des anneaux vus par réflexion. Dans la lumière homogène, è l'épaisseur qui donne un anneau réfléchi brillant correspond un anneau transmis obscur, et réciproquement; quand on se sert de la lumière blanche, les anneaux réfléchis et transmis qui ont même diamètre sont teints de couleurs complémentaires. Arago a démontré que les anneaux réfléchis et transmis sont rigoureusement complémentaires les uns des autres, en playant verticalement le système des deux verres à quelque distance d'un mur blanc éclairé d'une manière uniforme : on n'aperçoit alors aucune trace de coloration sur les lentilles, ce qui prouve que les deux systèmes d'anneaux, en se superposant, se neutralisent complètement; mais les anneaux reparaissent si l'on arrête au moyen d'un écran placé entre les verres et le mur les rayons qui auraient donné naissance aux anneaux transmis ^^K

Enfin une dernière loi fournie par l'expérience est relative à l'influence de la nature de la substance qui forme la lame mince. En substituant l'eau à l'air. Newton reconnut que les épaisseurs de la lame mince qui, sous une même incidence , réfléchissent un anneau d'un ordre déterminé , lorsque cette lame est successivement constituée par deux milieux diflîérents, sont en raison inverse des indices de réfraction de ces milieux. Cette loi a une grande importance au point de vue théorique : elle montre en effet que, pour les rayons d'une couleur déterminée, la longueur d'ondulation, et par suite

<•> Mémoire couronné sur la diffraction {Œuvres complètes , t. I, p.gSg ). '*> OEuvreê complète», t. X,p. 16.

aussi la vitesse de propagation qui , en vertu de la formule

est proportionnelle à cette longueur, sont d'autant plus petites que le milieu où se meuvent les rayons est plus réfringent; c'est une nouvelle confirmation des conséquences auxquelles nous a conduits le déplacement des franges d'interférence par l'interposition d'une lamé transparente (2&).

37. Tliéorie des aeeés. — Newton ayant été conduit, par impossibilité oii il se trouvait d'expliquer dans {'hypothèse des ondulations les phénomènes de la polarisation découverts par Huyghens, à rejeter cette hypothèse pour adopter celle de l'émission, dut chercher dans les propriétés des molécules lumineuses la cause des phénomènes de la coloration des lames minces.

Suivant lui , la réfraction communique aux molécules lumineuses une disposition périodiquement variable, qui favorise tantôt la réflexion, tantôt une nouvelle réfraction, la durée de la période étant dépendante de la couleur; il est obligé d'ailleurs, pour rendre compte de ce fait que les couleurs ne se montrent que sur des lames extrêmement minces, d'admettre que ces alternatives ne se produisent que pendant un temps très-court et finissent par cesser entièrement. Suivant l'épaisseur de la lame, la molécule qui vient frapper la seconde face de cette lame sera disposée, soit à se réfléchir, soit à se réfracter; par suite, pour certaines épaisseurs, le rayon réfléchi à la seconde surface viendra s'ajouter à celui qui est réfléchi par la première, ce qui produira un maximum d'intensité; pouu* d'autres épaisseurs, au contraire, le rayon réfléchi à la seconde surface manquera, ce qui donnera naissance à un minimum. Telle est la conception fondamentale de la célèbre théorie des acek de facile ri^ fiexion et de facile troMmiêêton, Newton cherchait la cause de ces* accès dans le mouvement vibratoire de l'éther de la lame mince ébranlé par le choc de la molécule lumineuse contre la première surface de cette lame. Mais ultérieurement Boscovich ^'^ a attribué les accès à une polarité des molécules lumineuses et à des mouvements de rota-

(') PhHogophiœnaturidi» theoria; \enel\aiy l'joH.

lion de ces molëoales en verta desquels elles présentent alternati- ▼ement leurs différents cAtés à la surface réfléchissante , et c'est sous une forme analogue que Biot a exposé la théorie des accès dans son Traité de physique ^^K

Fresnel a porté à cette théorie un coup décisif en montrant que les anneaux obscurs vus par réflexion ne sont pas tels par un pur effet de contraste. L'expérience consiste à placer la lentille de façon que son point d'appui sur le plan de verre soit tout près du bord de celui-ci : on obtient ainsi d^ anneaux incomplets, et on constate que les anneaux obscurs sont beaucoup moins éclairés que la partie de la lentille qui se trouve en dehors du plan de verre; or chacun des points de cette dernière région renvoie à l'œil un seul rayon réfléchi : l'obscurité des anneaux n'est donc pas due uniquement h l'absence du rayon réfléchi par la seconde face de la lame mince ^'^K

Une seconde objection très-sérieuse, élevée par Fresnel contre la théorie des accès, est fondée sur ce que , les dispositions des molécules à se réfléchir et à se réfracter devant varier d'une manière continue, et la réfraction étant attribuée dans l'hypothèse de rémission à une force attractive, l'intensité de cette force, et par suite l'iiidice de réfraction, devraient dépendre de la phase où se trouverait la molécule lumineuse au moment où elle rencontrerait la seconde face de la lame.

réflétAito et Ummmwmim mnis ile. — La théorie des ondulations permet d*expliqttw d'une façon très-simple, k l'aide du principe des inter* férences, toutes les particularités du phénomène des anneaux colorés.

Considérons en premier lieu les anneaux vus par réflexion sous l'incidence normale, et remarquons que, dans le voisinage du point de contact , la lame mince peut sans erreur sensible être regardée comme ayant ses faces parallèles. Soit (fig. 99) SI un rayon qui tombe presque perpendiculairement sur la lame mince : ce rayon se réfléchit en partie rar la première face de cette lame et donné

"> Tome IV, page I.

<*) (KswvfcoiiipUtot, t. I, p. i33.

naissance à un rayon réfléchi IR. Suivant cette même direction IR se propage un rayon qui s'est réfléchi en M à la seconde surface de

la lame et qui provient d*un rayon incident ST parallèle à SI et très-voisin de SI. L'incidence étant presque normale, la diff'érence de marche des deux rayons qui se propagent suivant IR est sensiblement égale au double de l'épaisseur de la lame. Il semble donc au premier abord que ces deux rayons s'ajouteront ou se détruiront, et que, par conséquent, il y aura maximum ou minimum suivant que l'on aura, en désignant par e l'épaisseur de la lame au point considéré et par X la longueur d'ondulation dans la substance de la lame,

e= aif-

ou

e = {an+i)^.

Or c'est précisément l'inverse qui a lieu. L'expérience montre donc que, pour obtenir les conditions d'interférence des rayons réfléchis par les deux faces de la lame mince, il faut ajouter à la différence réelle des chemins parcourus une demi -longueur d'ondulation. Young, pour expliquer la modification que subissent dans ce cas les lois ordinaires de l'interférence, partit de ce fait que les deux réflexions s'efiectuent dans des conditions essentiellement difiiérentes : le rayon qui est renvoyé par la première face de la lame se réfléchit à la surface d'un milieu moins réfringent que celui oii il se propage, tandis que c'est l'inverse qui a lieu pour le rayon réfléchi à la seconde surface. Il suflit d'admettre , pour rétablir la concordance entre la théorie et l'expérience , qu'une de ces deux ' réflexions est accompagnée d'une modification du mouvement vibratoire équivalant à la soustraction d'une demi-longueur d'ondulation

aa chemin parcouru par le rayon, ou, ce qui revient au même, à m changement de signe dans la vitesse de ce mouvement. L expérience n'indique pas quelle est celle des deux réflexions d'espèces contraires qui est accompagnée de cette modification , mais l'analogie avec ce qui se passe dans le choc des corps élastiques a fait penser àYoung que le changement de signe doit se produire lorsque le rayon se réfléchit sur un milieu plus réfringent que celui où il se propage.

Young a cherché à justifier cette hypothèse de la perte d'une demi^ongueur d'ondulation au moyen d'une expérience très-ingénieuse. 11 remarque que, si les réflexions sur les deux faces de la lame mince sont de même espèce, c'est-à-dire si l'indice de cette lame est intermédiaire entre les indices des deux milieux situés de part et d'autre, chacune des réflexions doit se faire sans changement de signe de la vitesse, ou bien chacune d'elles doit être accompagnée de la perte d*une demi-longueur d'ondulalion; dans les deux cas, les conditions d'interféronce pourront être établies en ne tenant compte que de la différence de marche, et par suite les anneaux réfléchis devront être à centre blanc. Young a vérifié cette conséquence de sa théorie à l'aide d'un appareil formé d'une lentille de crown et d'une plaque de flint, entre lesquelles il introduisait de l'essence de sassafras, liquide dont l'indice est intermédiaire entre celui du crown et celui du flint : les annesiux réfléchis sont alors à centre blanc et les anneaux transmis à centre noir. On peut remplacer l'essence de sassafras par un mélange d'essence de girofle et f essence de laurier. Si la plaque inférieure est moitié en flint, moitié en crown, et si la lentille repose sur la ligne de jonction de ces deux moitiés, la tache centrale dans les anneaux réfléchis est blanche du cAté du flint, noire du côté du crown, et chaque anneau est formé de deux parties teintes de couleurs complémentaires. Si le milieu qui forme la lame mince est plus réfringent que les deux milieux entre lesquels il est compris, les anneaux réfléchis doivent être à centre noir, car alors les deux réflexions sont encore d'espèces contraires; c'est ce qu'a vérifié Arago en introduisant entre un objectif de crown et un prisme de flint de l'huile de cassia, dont l'indice est supérieur a celui du flint.

138 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

En définitive, l'expérience nous amène donc à la conclusion suivante : lorsque deux rayons réfléchis interfèrent et que les réflexions sont d'espèces contraires, il faut ajouter une demi-longueur d'ondulation à la différence des chemins parcourus; quand, au contraire, les réflexions sont de même espèce, tout se passe comme si, dans aucune des deux réflexions, la vitesse du mouvement vibratoire ne subissait de changement de signe; C'est là un fait que nous admettrons pour le moment comme une conséquence directe des phénomènes observés, et dont il ne nous sera possible de rendre entièrement compte qu'après avoir établi les lois de la réflexion de la lumière polarisée.

Occupons-nous maintenant des anneaux transmis. Ces anneaux proviennent des interférences des rayons qui ont traversé directement la lame mince avec ceux qui se sont réfléchis deux fois dans l'intérieur de cette lame (fig. 3o).

Sous l'incidence normale , la diflPérence de marche des deux rayons interférents est égale au double dé l'épaisseur de la lame. Si l'indice du milieu qui forme la lame est plus petit que ceux des milieux entre lesquels celte lame est comprise, les deux réflexions qui s'opèrent dans l'intérieur de la lame sont de même signe; il en est de Fig. 3o. même si l'indice de la lame est s»-*

périeur à ceux des deux milieux.

Si, au contraire , l'indice de la lame est intermédiaire entre ceux des deux milieux, les deux réflexions seront d'espèces contraires. On voit par là que, pour les rayons transmis, les conditions d'înterfé-^ rence seront, dans tous les cas, inverses de ce qu'elles sont pour les rayons réfléchis, et que, par conséquent, les anneaux transmis seront toujours complémentaires des anneaux réfléchis.

11 reste à expliquer pourquoi les anneaux réfléchis sont beaucoup plus visibles que les anneaux transmis. Considérons en premier lieu

les anneaux réfléchis : prenons pour unité Tiniensité du rayon qui tombe sur la lame mince, et supposons que la vitesse du mouvement vibratoire sait réduite, par la réflexion à la première surface de la lame, dans le rapport de i à a; par la réflexion à la seconde surface, dans le rapport de i à d. L'intensité lumineuse étant proportionnelle au carré de la vitesse (29), l'intensité du rayon réfléchi à la première surface sera égale à a^, celle du rayon réfracté dans l'intérieur de la lame à i — a^. Après la réflexion à la seconde surface de la lame, l'intensité de ce dernier rayon devient ( i — fl')«'^, et, lorsqu'il aura de nouveau traversé la première face de la lame , cette intensité se réduira à a'^(i— a*) (i — a'^). Les coefficieots a et a' pouvant être considérés comme sensiblement égaux, les intensités des deux rayons interférents sont respectivement a* et a^(i — a')^. La quantité a étant toujours assez petite dans les conditions où se produisent les anneaux colorés, ces deux intensités sont très-près d'être égales ^ et par suite dans les anneaux réfléchis les minima sont presque nuls. Les anneaux transmis proviennent de l'interférence de deux rayons dont l'un a été transmis deux fois et a acquis par conséquent une intensité égale à (i — a^)^, tandis que l'autre a été deux fois transmis et deux fois réfléchi, ce qui a rendu son intensité égale à a^( i — a^)*. La diflérence entre les intensités des deux rayons interférents est alors égale à (i— a^)'; c'est une fraction assez considérable des intensités de ces deux rayons. Dans les anneaux transmis, les minima de lumière sont donc loin d'être nuls, et le contraste entre^ces minima et les maxima est beaucoup ffloins marqué que dans les anneaux réfléchis.

rtecMeflMe 9Mi«n0* — « Pour établir la théorie des anneaux colorés vus souç'l!incîdence oblique, nous allons d'abord nous placer dans un cas aussi simple que possible , en supposant que le système producteur des anneaux soit formé d'une lame de verre plane sur laquelle repose un pr^me également en verre dont la face inférieure est de forme sphérique et a une courbure très*faible (fig. 3 1). Cette disposition , qui du reste est souvent employée, ne change en rien l'aspect général du phénomène^ Nous admettrons de plus

140 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

qu'on observe les anneaux réfléchis provenant dun faisceau de

rayons incidents, parallèles entre eux et normaux à la face par la- (|uelle ils pénètrent dans le prisme.

Suivant IR (fig. Sa) se propagent deux rayons, l'un provenant du rayon incident SI qui s'est réfléchi à la première faee de la lame, l'autre provenant du rayon incident ST, qui, après avoir pénétré dans l'intérieur de la lame suivant la direction VV\ s'est réfléchi en Tsur la seconde surface; entre les points I et \\ la lame peut élre regardée comme conservant une épaisseur sensible-

ment constante, ce qui

simplifiera beaucoup le calcul que nous avons à faire. Pour trouver la différence de marche des deux rayons qui se propagent suivant IR, il faut tenir compte non-seulement de la différence des chemins parcourus, mais Fig. 3t. encore de la nature des

milieux dms lesquels ces rayons se meuvent. Abaissons du point V une perpendiculaire TK sur SI. Les deux rayons SI et ST, étant parallèles et normaux à la face par laquelle ils pénètrent dans le prisme, arrivent en même temps sur cette face; depuis cette face jusqu'aux points V et K , ils parcourent des chemins égaux dans le verre , et par suite ils arrivent en même temps aux points V et K. Depuis ces deux points jusqu'au point I, à partir duquel ils suivept des chemins identiques, l'un des rayons parcourt le chemin Kl diins le verre, et l'autre le chemin W + 11 dans le milieu qui forme la lame mince.

COULEURS DBS LAMES MINCES. Ui

Si donc nous dësigndhs par v ia vitesse de propagation de la lu* mière dans ce dernier milieu , par u sa vitesse dans le verre du prisme , la différence des temps employés par les deux rayons pour atteindre un point quelconque du rayon IR sera représentée par

IT-hH KJ va*

A cette différence il faut ajouter la durée d'une demi-vibration, pour tenir compte de ce que les deux réflexions sont d'espèces contraires. En désignant par T la durée d'une vibration, on voit que les deux rayons interférents s'ajouteront ou se retrancheront suivant qu'on aura, m étant un nombre entier quelconque,

ri'H-n , T Kl T «QUI-

v a u a ou

lT4-n , T Kl , . vT

Cherchons à exprimer ces conditions en faisant entrer dans les formules l'épaisseur e de la lame et l'angle d'incidence t que fait dans l'intérieur de la lame le rayon IV avec ia normale FH. La figure nous donne

cosi KI = irsinKri. •

Si u désigne l'indice de réfraction du verr.' du piisnn^ par nipport au milieu de la lame, on a d'ailleurs

et, comme

sini

SmKTl"""'

Kl = ll''-Î^;

ir= aIH== 2f» tûngi,

142 LUMIÈRE N0\ POLARISÉE.

il vient •

1^. 2 g tangi sini

En appelant X la longueur d'ondulation dans le milieu qui forme la lame mince, les conditions d'interférence deviennent, pour les

maxiraa,

rosi IIH " \ / '2

el pour les mininin ,

— : 3f tauffi sinî= 9.m-'

(OS/ nu " 2

Or, si l'on désigne par E l'épaisseur de la lame qui réfléchit le m*'"' anneau brillant ou le m""' anneau obscur sous l'incidence normale , épaisseur dont le double est égal à(9m — i)-ouà9m-, et

par e l'épaisseur de la lame qui réfléchit le même anneau sous l'incidence t , les expériences de MM. de la Provostaye et Desains nous apprennent que la relation

cosi

est toujours satisfaite. Donc, pour que la formule que nous venons (le trouver s'accorde avec l'expérience, il faut et il suflit que l'on ait

9 e cos i=^R=^.-^^^e tang/ sin i\ d'où

et enfin

Cette condition éiquivaut à

La théorie des anneaux colorés nous conduit donc par une autre Yoie i cette loi, déjà vérifiée par le déplacement des franges d'interférence, que l'indice de réfraction d'un milieu par rapport k un autre est égal au rapport des vitesses de propagation de la lumière dans le second et dans le premier milieu.

L'explication précédente s'étend sans modification aucune au cas où le milieu supérieur est formé» comme cela a lieu ordinairement, par une lentille et non par un prisme, et où les rayons rencontrent la face supérieure de cette lentille sous une incidence quelconque. En effet, d'après le théorème de Gergonne, les rayons réfractés dans la lentille qui tombent sur la première surface de la lame mince sont toujours normaux à uae même surface, qui ici, les rayons pouvant être regardés comne parallèles, est sensiblement plane; déplus, comme nous l'avons vu précédemment (35), ces rayons arrivent en même temps aux différents points de toute surface qui leur est normale. Donc, si par le point V (fig. 3s) on mène un plan perpendiculaire à la direction commune des rayons qui se propagent dans la lentille, plan qui coupe en K le rayon SI , les deux rayons SI et S'r arrivent en même temps en V et en K, et par suite le calcul de la différence de marche peut se faire comme dans le cas précédent.

Quant è la théorie des anneaux transmis sous l'incidence oblique, elle est tout à fait analogue à celle des anneaux réfléchis et n'exige aucun nouveau développement.

Les conditions d'interférence auxquelles nous sommes arrivés montrent d'ailleurs que l'épaisseur de la lame mince qui correspond à un anneau d'un ordre déterminé est proportionnelle à la longueur d'ondulation dans le milieu qui constitue la lame, et par suite à la vitesse de propagation de la lumière dans ce milieu , ce qui s'accorde avec les expériences de Newton qui montrent que cette épaisseur est en raison inverse de l'indice de. réfraction de la substance de la lame.

40. l«flM»i»a ëmm wéÊ^mOmmm HMrttiplé*. — Dans la théorie des anneaux colorés telle que nous venons de l'exposer, on ne tient compte, pour expliquer soit la production des anneaux réfléchis,

144 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

soit celle des anneaux transnns, que de deux rayons interTérents. Poisson a fait remarquer le premier que cette théorie est incomplète ^^^ Suivant chaque direction telle que IR (Kg. 33) se propagent

en eiïet, outre les deux ra}ons que nous avons considérés et qui n'ont subi chacun qu une réflexion , un grand nombre d'autres rayons qui se sont réfléchis un nombre impair de fois dans Tintérieur de la lame mince; rintensité de ces rayons diminuant de plus en

Fig.33. , , * ,

plus a mesure que le nombro des réflexions augmente, on peut les regarder comme étant en nombre infini. De même, suivant chaque direction telle que I,R, , outre les deux rayons par lesquels nous avons expliqué la formation des anneaux transmis, se propagent des rayons, en trèsgrand nombre, qui ont subi dans l'intérieur de la lame un nombre pair de réflexions.

Fresnel^^^ est parvenu h donner une solution de cette difficulté, et, en faisant intervenir dans la théorie des anneaux colorés les rayons qui ont subi des réflexions multiples dans Tintérieur de la lame , il a démontré que les anneaux obscurs vus par réflexion sont entièrement noirs, ce qui est conforme à l'expérience. La théorie de Fresnel repose sur les deux principes suivants :

1* L'intensité de la lumière incidente est la somme des intensités de la lumière réfléchie et de la lumière réfractée.

9° Les anneaux réfléchis sont complémentaires des anneaux transmis.

Admettons ces deux principes , qui peuvent être regardés comme démontrés par l'expérience, et considérons en premier lieu tous les rayons qui se propagent suivant IR, en supposant qne l'incidence et

(') ilfifi. de ehim. et de phyi., (a), XXII, 337. (*) AfM. de ekm. tf de phfi», («) 1 XXIII , 1 «9.

rëpaisseur de la lame mince soient telles, que la théorie élémentaire indique pour cette direction un minimum de lumière.

La vitesse de vibration est représentée, comme nous Tavons vu (18), par une fonction périodique du temps multipliée par un certain coefficient. Désignons cette fonction par F(r); prenons pour unité le coefficient de la vitesse sur le rayon incident; supposons que ce coefficient soit réduit dans le rapport de i à m par la réflexion â f extérieur de la lame mince, et dans le rapport de i à m' par la réflexion k l'intérieur de cette lame; soient enfin;? eip' les fractions qui expriment les rapports suivant lesquels est réduit le coefficient de la vitesse lorsque le rayon passe du milieu supérieur dans la lame jnînce, et de la lame mince dans le milieu supérieur.

Occupons-nous d'abord des deux rayons qu'on considère dans la théorie élémentaire , c'est-à-dire des rayons qui suivent les chemins SIR et S'ITiIR : ces deux rayons emploient pour atteindre un même point de IR des temps qui difi'èrent d'un nombre impair de demidurées de vibration ; les vitesses qu'ils apportent en ce point sont donc égales è la même fonction périodique du temps F(^), multipliée pour le premier rayon par m et pour le second par — m'pp' Le troisième rayon, celui qui suit le chemin STI^I'IiIR, apporte en ce même point une vitesse de vU)ration égale à la fonction F(() multipliée par — m'^pp' : la différence des temps employés par ce troisième rayon et par le second pour atteindre un même point de IR est en effet égale à un nombre pair de demi-durées de vibration , puisque ce troisième rayon subit trois réflexions accompagnées de changement de signe ^ tandis que le second ne subit qu'une seule réflexion de ce genre. En continuant de même, on voit que la vitesse qui résulte de toutes celles qu'apportent en un même point de IR les rayons qui se propagent suivant cette droite a pour coefficient

m — {fn'pp' + m!^pp'+m!^'+ . . . ) ou

Le carré de cette expression est la mesure de l'intensité de la lumière réfléchie suivant IR.

Verdet, V. — Optique, I. i o

1A6 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Considérons maintenant les rayons transmis ^suivant I|B, ; il est facile de voir que , d'après Thypothèse que nous avons faite , la direction IjRi correspond à un maximum dans la théorie élémentaire, et que par suite les différences des temps employés par ces rayons •pour atteindre un même point de I^Bi sont toutes égales à des multiples pairs de la demi-durée de vibration. Les vitesses que ces rayons apportent en un même point de IjRi sont donc toutes concordantes et représentées par la même fonction périodique du temps, multipliée par^y' pour le premier rayon, par m'-^/jj?' pour le second, par wl'^pf) pour le troisième , et ainsi de suite. On peut conclure de là que le coefficient de la vitesse résultante a une valeur égale à