Effet d'une •Bde reetillsne biup un peint eiLtérieiir

— Considérons dans un milieu homogène indéfini une onde située

à une distance assez grande du point lumineux pour qu'elle puisse être regardée comme plane : prenons sur cotte onde une droite BC (fig. 38), et proposons-nous de déterminer Taction de Fig. 88. cette droite sur un

point P extérieur à Tonde. Abaissons à cet effet du point P une perpendiculaire PA sur la droite BG; désignons par b la distance PA, et, pour abréger le langage», a|)|jelons le |)oint A le pâh de l'onde

rectiligne par rapport au point éclairé P^*l Prenons, h partir du pôle A, sur la droite BG, une série de longueurs AM^, M^Ma, MjMsf* telles, que la différence des distances de deux points de division consécutifs au point P soit égale à' une demi-longueur d'ondulation; les segments ainsi déterminés sur la droite BG porteront le nom avares élémentaires.

Il est facile de voir que deux arcs élémentaires consécutifs envoient au point P des vitesses de signes contraires ; car à chaque point pris sur l'un de ces arcs correspond un point situé sur l'arc précédent et dont la distance au point P est inférieure d'une demilongueur d'ondulation à celle du premier point au même point P, d'où il résulte que ces deux points envoient en P des vitesses de signes contraires.

La grandeur de la vitesse provenant de chaque arc élémentaire dépend évidemment de la longueur de cet arc, et elle est d'autant plus considérable que, toutes choses égaies d'ailleurs, la longueur de l'arc est plus grande; on est donc conduit à étudier les variations que subit la longueur d'un arc élémentaire à mesure qu'on s'éloigne du pèle.

Considérons d'abord les arcs élémentaires Irès-voisins du pôle , et posons

AMi = 2,, AM2 = Z2, AMj^z,,....

D\iprèi> la définition des arcs élémentaires , on a

PM,=A-t-^, PM,= ft + î^, PM3 = ft.t-^,...; le triangle reclangle APM, donne d'ailleurs

d'où, en négligeant le carré de la longueur d'ondulation,

^'^ Celle dénomination est duc à M. Lamé , qui Ta employée pour la pix'mièru fois ilau.s son Traité de jthymque.

LUMIERE NON POLARISEE,

Il vient

de

même

et Ton trouve ainsi pour les longueurs des arcs élémentaires

Ces longueurs sont entre elles comme les différences des racines carrées des nombres entiers consécutifs, et, par suite, dans le voisinage du pôle , elles décroissent très-rapidement.

Cherchons maintenant la longueur d'un arc élémentaire NN' séparé du pôle par un grand nombre d'autres arcs élémentaires. Abais sons à cet effet la perpendiculaire NK sur PN' et désignons PN' par R. Les triangles semblables APN' et NN'K doiment

comme la droite NK se confond sensiblement avec un arc de cercle décrit du point P comme centre avec PN pour rayon , il vient

KN'==PN'-PN^^ ' et

NN'^i

Cette expression décroît à mesure que R augmente et tend vers

une limite égale à la quantité très-petite - • Lorsque la longueur AN

comprend un grand nombre d*arcs élémentaires, la longueur de l'arc NN' se rapproche de cette limite et décroît très-lentement.

La longueur des arcs tels que NN', séparés du pôle par un grand nombre d'arcs élémentaires, est d'ailleurs extrêmement petite par rapport à celle des arcs situés dans le voisinage du pôle , car la longueur de l'arc NN' est de l'ordre de grandeur de X, tandis que celle du premier arc élémentaire est de l'ordre de grandeur de yX. A cause de l'extrême petitesse de la longueur d'ondulation , la droite xAN, dès qu'elle a une grandeur appréciable, contient déjà un grand nombre d'arcs élémentaires ; on peut donc dire qu'à une distance du pôle même très-petite par rapport à AP, les arcs élémentaires se rapprochent déjà beaucoup de la limite vers laquelle ils tendent, décroissent, par suite, avec une lenteur extrême, et sont très-petits par rapport aux premiers arcs élémentaires.

Revenons maintenant à la considération des vitesses envoyées en P par les différents arcs élémentaires. Ces vitesses ne dépendent pas uniquement de la grandeur des arcs : la vitesse du mouvement vibratoire s'affaiblit en effet à mesure que ce mouvement s'éloigne du point lumineux, comme le prouve le décroissement de l'intensité lumineuse; de plus, d'après ce que nous avons dit sur la constitution des ondes élémentaires, la vitesse envoyée suivant une certaine direction doit être d'autant moindre que cette direction fait un angle plus grand avec la normale à l'onde primitive. L'influence de ces causes s'ajoute à celle du décroissement des arcs élémentaires pour rendre de plus en plus petites les vitesses envoyées au point P par ces arcs à mesure qu'ils sont plus éloignés du pôle. La vitesse provenant de la moitié AB de l'onde rectiligne est donc représentée par une série dont les termes, alternativement positifs et négatifs, vont en décroissant d'abord très-rapidement, puis de plus en plus lentement. Si on prend pour unité la vitesse envoyée par le premier arc élémentaire, et si on désigne par m, m', m^.. . les valeurs absolues des vitesses envoyées par les arcs suivants, cette série a pour expression

Étant formée de termes décroissants alternativement positifs et négatifs, la série est convergente, et comme la différence entre deux

18& LUMIÈRE NON POLARISÉE.

termes consécutifs devient bientôt très-petite, sa valeur se réduit sensiblement à la somme de ses premiers termes. Une série identique représente la vitesse envoyée en P par l'autre moitié AG de Tonde rectil^e.

Deux propositions importantes se déduisent des développements précédents :

1*" L'effet d'une onde rectiligne indéfinie sur un point extérieur n'est pas sensiblement modifié lorsqu'on réduit cette onde à deux portions très-petites, situées de part et d'autre du pôle, poiirvu que ces portions comprennent un grand nombre d'arcs élémentaires.

s*" La valeur de la série S étant comprise entre i et i — m, la vitesse envoyée au point P par Tune des moitiés de la droite BG est une fraction de celle qu'envoie le premier arc élémentaire; donc la vitesse de vibration envoyée par une onde rectiligne indéfinie en un point extérieur est égale à la vitesse envoyée en ce point par une portion extrêmement petite de cette onde, formée de deux longueurs égales situées de part et d'autre du pôle, et dont chacune est moindre que le premier arc élémentaire.

La détermination de la valeur exacte de la série S , et par suite l'évaluation de la fraction du premier arc élémentaire dont l'action équivaut à celle de la demi-onde rectiligne, exigeraient la connaissance complète de la constitution des ondes élémentaires et ne nous seraient pour le moment d'aucune utilité.

51 . Effet d'ime •nde pUiiie IndMInle mur un p«tet eiLtérlcur. — Nous allons maintenant considérer une onde plane indéfinie et chercher à évaluer l'action qu'elle exerce sur un point extérieur P. Nous appellerons encore pôle de ronde par rapport au point éclairé P le pied de la perpendiculaire abaissée du point P sur le plan de l'onde. Prenons pour plan de figure le plan de l'onde et soit A le pôle (fig. Sg); menons dans ce plan une droite quelconque XX' passant par le pôle, et divisons l'onde plane en une infinité de bandes infiniment étroites perpendiculaires à cette droite. Nous pourrons raisonner sur chacune de ces bandes comme nous l'avons fait sur l'onde rectiligne dans le cas précédent, et nous verrons ainsi que l'action de l'onde plane indéfinie sur le point P est

égale à celle d'une bande de largeur variable, comprise entre deux courbes BB' et CC, qui sont symétriques par rapport à la droite XX'. La vitesse envoyée en P par chaque bande infiniment étroite est

Fig. 89.

égale à une fraction de la vitesse envoyée par les premiers arcs élémentaires de cette bande situés de part et d'autre de XX', et cette fraction est la même pour toutes les bandes. Il résulte de là que la bande située entre les courbes BB' et CC, bande que nous désignerons par Z, est elle-même comprise à l'intérieur d'une autre bande, que nous appellerons Z', limitée par deux courbes DD' et EE' qui sont le lieu des extrémités des premiers arcs élémentaires de chacune des- bandes perpendiculaires à XX'; de plus, la largeur de la bande Z en un point quelconque de la droite XX' est dans un rapport constant avec la largeur de la bande Z' au même point.

Ceci posé, divisons la droite XX' en arcs élémentaires AMi , MiMj, M2M3,. .., et par les points de division menons des perpendiculaires à la droite XX'; nous aurons ainsi décomposé les bandes Z et Tl en zones élémentaires, et la surface de chacune des zones élémentaires de la bande Z sera dans un rapport constant avec celle de la zone correspondante de la bande Z'.

La vitesse envoyée au point éclairé P par une zone élémentaire de la bande Z est proportionnelle à la surface de cette zone , et , par suite, à celle de la zone correspondante de la bande Z'; de plus.

18G M MIÈRE NON POLARISÉE.

celle vilesse esl en raison inverse de la dislance moyenne de la zone air poinl éclairé, car, l'inlensilé lumineuse variant en raison inverse du carré des distances et étant proportionnelle au carré de la vitesse du mouvement vibratoire (29 et 46), la vitesse doit être en raison inverse de la simple distance. Donc, si nous négligeons l'influence de Tobliquité, qui s'ajoute aut autres causes pour faire décroître la vilesse envoyée au point éclairé par une zone élémentaire à mesure que celte zone est plus éloignée du pôle, nous pourrons dire que la vilesse provenant d'une zone élémentaire de la bande Z a pour mesure le quotient de la surface de la zone correspondante de la bande Z' par la distance moyenne de cette dernière zone au po int éclairé. Nous sommes ainsi conduits à évaluer les surfaces des zones élémentaires de la bande Z\ La première de ces zones se confond sensiblement avec un trapèze dont la hauteur AMi est égale k y &a et

les deux bases à 9 yb\ etàai/(ft + -)X, b désignant toujours

la distance PA du point éclairé à l'onde. La surface de cette première zone est donc égale à

c'est-à-dire à riiX, en négligeant les ternies qui renferment le carré de X. La surface de la seconde zone élémentaire de la bande 7/ est sensiblement celle d'un trapèze dont la hauteur MjMj est égale a

ybX (y 9 — 1 ) et les deux bases à

ndiv surface a donc pour expression, si l'on néglige les termes en X^,

atx(y>^ -1).

En continuant de même on voit que, dans le voisinage du p6le, les surfaces des zones élémentaires de la bande Z' décroissent sensiblement comme les différences entre les racines carrées des nombres entiers consécutifs, c'est-à-dire très-rapidement. Les vitesses en-»

voyées en P par les zones élémentaires de la bande Z qui sont voisines du pôle, vitesses qui, en même temps qu elles sont proportionnelles aux surfaces que nous venons de calculer, sont en raison inverse des distances moyennes de ces zones au point éclairé , décroissent plus rapidement encore.

Prenons maintenant sur la droite XX' un arc ^^'' séparé du pôle par un grand nombre d'autres arcs élémentaires. En désignant par R la distance PN', on a, comme nous l'avons vu (50),

La surfate de la zone correspondant h NN' de hi bande Z' est sensiblement celle d'un Irapèze dont la hauteur est NN'et dont les deuxbases sont 9 ylÛ et a W ^R — -^ X ; elle est donc égale , en négligeant toujours les termes en X'^, à

Cette expression croissant indéfiniment avecR, les surfaces des zones élémentaires de la bande Z' peuvent devenir très-grandes lorsqu'on seloigne du pôle. Mais il en est autrement des vitesses envoyées en P par les zones élémentaires de la bande Z; en effet, la vitesse provenant de la zone de la bande Z qui correspond à NN' est pro- ]>ortionnelle à la surface que nous venons de calculer et en raison inverse de la distance moyenne de celte zone au point éclairé : cette vitesse a donc pour mesure

/"xir

expression qui, lorsque R augmente indéfiniment, tend vers zéro.

La vitesse envoyée en P par la première zone élémentaire de la

bande Z a pour mesure -r- ou 9>. Il en résulte que la vitesse en-

voyéc en P par une zone dé la bande Z, séparée du paie par an grand nombre d'arcs élémentaires, vitesse qui est de l'ordre de Xy X, est négligeable vis-à-vis de la vitesse qui provient de la première zone de celte bande.

Les vitesses envoyées au point éclairé par les zones élémentaires de la bande Z sont de signes contraires pour deux zones consécutives; de plus, d'après ce que nous venons de voir, ces vitesses décroissent en partant du pôle, d'abord très-rapidement, puis de plus en plus lentement, de façon à devenir négligeables dès que la distance au pôle comprend un grand nombre d'arcs élémentaires. Nous sommes donc amenés h énoncer deux propositions tout à fait analogues à celles que nous avons établies pour une onde rectiligne :

1** L'effet d'une onde plane indéfinie sur un point extérieur n'est pas sensiblement modifié lorsqu'on supprime les parties de cette onde qui sont séparées du pôle par un grand nombre d'arcs élémentaires.

3"* La vitesse envoyée en un point extérieur par la zone Z ou par « l'onde plane indéfinie, dont l'action se réduit à celle qu'exerce cette zone, est une fraction de la vitesse envoyée au même point par les deux premières zones élémentaires de la bande Z, et, à plus forte raison, une fraction de la vitesse provenant des deux premières zones élémentaires de la bande Z' ; l'action d'une onde plane indéfinie sur un point extérieur équivaut par conséquent à celle d'une fraction des deux premières zones élémentaires de la bande Z\ c'est-à-dire des zones de cette bande qui sont situées de part et d'autre du pôle.

En modifiant le mode de décomposition de l'onde plane, on peut arriver à une évaluation plus précise de la portion de cette onde dont l'action sur un point extérieur équivaut à celle de l'onde tout entière. A cet effet, du pôle A comme centre, décrivons une série de cercles tels, que les distances de leurs circonférences au point éclairé aillent en augmentant d'une demi-longueur d'ondulation. L'onde se trouve ainsi décomposée en anneaux concentriques dont la superficie ne décroît plus de la même manière que celle des zones élémentaires que nous avons considérées précédemment, mais

qui partagent avec ces zones la propriété d'envoyer au point éclairé des vitesses qui sont alternativement de signes contraires. Les rayons des cercles voisins du pôle sont égaux ù

ce qui donne pour les surfaces de ces cercles

iriX, QwiX, S^riX,....

Les surfaces des anneaux voisins du pôle sont donc très-approxiinativement égaies entre elles, et comme, dans le voisinage du pôle, la distance au point éclairé varie très-lentement, le quotient de la surface de chacun de ces anneaux par sa distance au point éclairé, quotient qui sert de mesure, en négligeant l'influence de l'obliquité, à la vitesse envoyée par chaque anneau , a une valeur absolue sensiblement constante et égale à ttX.

Considérons maintenant un anneau séparé du pôle par un grand nombre d'autres anneaux. En désignant par R la distance de la circonférence qui limite intérieurement cet anneau au point éclairé, cette circonférence aura pour expression awi/R*'^— 6^. En multipliant cette circonférence par sa distance normale à la circonférence

extérieure , distance qui , d'après la valeur trouvée précédemment pour

X R un arc élémentaire éloigné du pôle, est égale à - ^y on ob-

tiendra irXR pour la surface de l'anneau; le quotient de la surface de cet anneau par sa distance au point éclairé est encore ttA.

Donc, si la vitesse ne dépendait pas de l'obliquité par rapport à l'onde de la direction suivant laquelle le mouvement est envoyé en P, les vitesses envoyées par deux anneaux conséciiUfs au point P seraient égales et de signes contraires; mais Tinfluence de cette obliquité, presque nulle dans le voisinage du pôle, devient de plus en plus sensible à mesure qu'on s'en éloigne et doit, d'après l'hypothèse que nous avons adoptée sur la constitution des ondes élémentaires, rendre négligeable la vitesse provenant d'un anneau séparé du pôle par un grand nombre d'arcs élémentaires. Si donc on désigne par i», m', m",... les vitesses envoyées nu point ériairi*

190 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

par les anneaux en lesquels nous avons décomposé l'onde plane, nous aurons pour la vitesse envoyée en ce point par Tonde plane tout entière

m — m'+ m'' - m'" + . . . . + mW — m <"+ •> 4- . . . ,

série dont les premiers termes décroissent très-lentement et dont les termes d'un ordre élevé sont très-petits. Cette série peut s'écrire

Les quantités entre parenthèses sont toutes trè&-petites vis-à-vis du

premier terme -m: les premières, parce que dans le voisinage du

pôle les vitesses envoyées par deux anneaux consécutifs sont presque égales; les autres, parce que ces vitesses, dès qu'on s'éloigne notablement du pôle, deviennent très-petites. La série se réduit donc

approximativement à - m, et on peut dire que :

La vitesse envoyée par une onde plane indéfinie en un point extérieur équivaut sensiblement à la moitié de celle qui est envoyée par un cercle ayant pour centre le pôle, et tel, que les distances de son centre et de sa circonférence au point éclairé diffèrent d'une demi-longueur d'ondulation.

Il faut remarquer que, pour établir cette conclusion, nous avons été obligés de faire intervenir l'influence de l'obliquité, ou, en d'autres termes, de supposer que, sur une onde élémentaire, le mouvement vibratoire devient sensiblement nul dans le voisinage du plan tangent mené par le centre de cette onde k l'onde primitive.

Nous pouvons maintenant nous rendre compte, du moins dans le ras d'une onde plane, c'est-à-dire dans le cas oii le point lumineux est situé à une distance très-grande, de la signification physique qu'il faut attribuer à ce qu'on appelle la loi de la propagation récitligne de h lumière. En effet, l'action d'une onde plane indéfinie sur

un point extérieur se réduit ù celle d*une très-petite région qui a pour centre le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan de Tonde, c'est-à-dire le point où cette onde est rencontrée par la droite qui joint le point lumineux au point éclairé; donc, enr supprimant cette région de Tonde, c'est-à-dire en plaçant un écran opaque en un point de la droite qui va du point lumineux au point éclairé, on fait disparaître tout éclairement, tandis qu'en supprimant tout le reste de Tonde pour ne conserver que la région efficace on ne change rien à Tétat du point éclairé.

On voit par ce qui précède que les mouvemenU vibratoires qui existent à un certain moment sur une onde plane se transportent, au bout d'un temps T, à tous les points d'un plan parallèle à cette onde et situé à une distance égale à VT, V étant In vitesse de propagation de la lumière. Ce dernier plan sera donc la position de Tonde plane au bout du temps T. Ainsi se trouve justifié , pour le cas des ondes planes, le principe des ondes enveloppes, établi d'une façon insuffisante par Huyghens, et en vertu duquel Tonde, dans une position quelconque, est Tenvcloppe des ondes élémentaires décrites des différents points d'une onde antécédente comme centres, avec des rayons égaux à la distance que parcourt la lumière pendant Tintervalle de temps qui sépare les doux ondes considérées; si Ton décrit en effet, des différents points d'un plan comme centres, des sphères de rayons égaux, Tenvelop|)c de ces sphères sera un plan parallèle au premier et situé à une distance de re plan égale au rayon des sphères.