A=^/, AP = A

LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Décomposons la circonférence à partir du pôle en arcs élémentaires tels, que les distances des extrémités de chacun de ces arcs au

])oint P diffèrent d'une demilongueur d'ondulation. Nous n'aurons à effectuer cette décomposition que pour la partie SAT de l'onde circulaire qui est comprise entre les deux tangentes qu'on peut mener ù cette onde par le point P; car, en vertu de l'hypothèse que nous avons admise sur la constitution des ondes élémentaires, les autres points de la circonférence ne pourront envoyer aucun mouvement au point P.

Cherchons d'abord à évaluer les longueurs des arcs élémentaires voisins du pôle. Soit M un point quelconque de la circonférence ; désignons par* l'arc AM , par b + S h distance PM. Le triangle OMP donne

PM2 0^2 ^ ^2^ ^Q^^ Qp^ cosMOP

Fijr. ho.

(6 + Sf^n^ + (a + by - ^m (a + b) cos^ • Si l'on suppose - très-petit, c'est-à-dire le point M très-voisin du

pôle, on peut remplacer cos - par * ~ ^ ^^ négliger S^. li vient alors

Via

d'où

ihS

/2ahS 7\/ a-^b

En faisant S== -^ on a la longueur du premier arc élémentaii'e, qui est

I abK

on obtient de même pour les arcs élémentaires suivants

La longueur des arcs élémentaires décroit donc très-rapidement dans le voisinage du pôle.

Considérons maintenant un arc tel que NN', séparé du pôle par un grand nombre d'autres arcs élémentaires. En posant

il vient

R2 = «*i + (rt4.i)2 3fl(^^jjcosi.

Lorsqu'on passe du point N au point N', R croît de - et l'arc s de o>» a désignant Tare élémentaire NN'; R étant très-grand par rapport à -, le rapport entre les accroissements des quantités R et « est

sensiblement le même que celui qui existe entre les différentielles de ces quantités. Or Téquation précédente donne par la différentiation

R£/R = (fl4-i)sin^A;

il vient donc approximativement

(T ds R

d'où

X dR , ,, . « a ^ a

. s a {fl+o)sm-

Cette expression est très-petite par rapport à la longueur des premiers arcs élémentaires; on a en effet

(T RX

1 — ' t\/ nh cm — '

a(fl-rfc)sin-' av«6sin-

Vebdit; V. — Opiiqne, ï. i3

in LUMIÈRE NON POLARISÉE.

R tend vers une limite <^gale à i/fr^ + *jnh, sin - vers une limite inférieure à l'unité; le facteur ^y'^- — ^ est d'ailleurs une quantité trèspetite : le rapport - tend donc lui-même vers une limite très-petite. Les arcs élémentaires décroissent d'abord très-rapidement quand on s'éloigne du pôle, et deviennent, dès qu'ils sont séparés du pôle par un grand nombre d'autres arcs élémentaires, très -petits par rapport à ce qu'ils sont dans le voisinage du pôle. Nous pouvons

par conséquent étendre à une onde circulaire les conclusions que nous avons établies pour une onde rectiligne : l'action d'une onde circulaire sur un point extérieur situé dans le plan de l'onde n'est pas sensiblement modifiée lorsqu'on supprime les parties de ^'^* ^'' cette onde qui sont séparées du

pôle par un grand nombre d'arcs élémentaires, et cette action équivaut à celle d'une fraction des deux premiers arcs élémentaires situés de part et d'autre du pôle.

Il est facile de démontrer que ces résultats sont applicables a un point situé en dehors du plan de l'onde circulaire. Soit en effet P ce point (fig. Al); appelons h la distance du point P au plan de l'onde , d la plus courte distance PC du point P à l'onde circulaire , a le rayon de cette onde, et prenons pour pôle le point C de l'onde dont la distance au point éclairé est minimum. Soit M un point quelconque de l'onde ; en désignant par s l'arc CM , par d + S la distance PM, on a dans le triangle rectangle PiMH

{d+sY=h^+m\

et dans le triangle OMH

MH- = n^ + {a + \/d^^^^f - 9fl (fl -f y/F^^) cos ^, " '

Si S est très-petit, c'est-à-dire si le point M est très-voisin du pôle, on peut négliger les termes en fi et remplacer cos - par i — — ,; il vient alors

d'où

On déduit de là pour les longueurs des premiers arcs élémentaires

Ces arcs décroissent donc très-rapidemettt dans le voisinage da p6le. Pour un arc NN' réparé du p61e par uti grand nombre d*arcs élémentaires, on a, en désignant par R là distance PN,

Rî = A2 + fl2^ (a+v/?TrÂ5)a.2a(a+s/rfïi:Â2)cos^;

en désignant par a Tare élémentaire NN' et en raisonnant comme dans le cas précédent , il vient

^ ^'^""(a-HV/3^=Âi)sin^'

d'où

a(a^y/a^3Âi)sin-

Le rapport de cette expression à la longueur du premier arc élé-

196 LUMIÈRE NON POLARISÉE,

mentaire ost

JU \/î±\/£zK Ry/X

quantité de Tordre de V^ et par suite très -petite.

Les arcs élémentaires variant dans le cas actuel de la même façon que dans le cas où le point éclairé est situé dans le plan de l'onde, les conclusions énoncées plus haut peuvent s'étendre au cas où le point éclairé est en dehors du plan de l'onde circulaire.