Effet d'une onde spliérique mit un point extérleiuf

— L'action d'une onde sphérique se déduit de celle d'une onde circulaire, à peu près comme l'action d'une onde plane se déduit de celle d'une onde rectiligne.

Remarquons d'abord que les seuls points de l'onde sphérique qui puissent agir sur le point éclairé P sont les points contenus dans l'intérieur d'un cône ayant pour sommet le point P et tangent à la sphère. Prenons pour plan de figure le plan du cercle de contact de ce cône (fig. 62); appelons 0 le centre de l'onde sphérique, A le

• pôle de i'onde par rapport au point P, c'esi-à-dire le point où la droite OP rencontre la surface de l'onde; désignons par a le rayon de la sphère et par b la distance PA. Par la droite PA menons un plan quelconque qui coupe l'onde suivant un arc de grand cercle MAN; décomposons ensuite la surface de l'onde, ou du moins la partie effi- ^' "' cace que nous considérons, en une in-

finité de bandes infiniment étroites, par des plans perpendiculaires au plan de l'arc MAN : chacune de ces bandes pourra être assimilée à une onde circulaire. Celles qui sont voisines du point M ou du point N ne comprennent qu'un petit nombre d'arcs élémentaires; dans celles qui sont au contraire voisines du pôle A on peut négliger, d*après ce que nous avons vu à propos des ondes circulaires, les por-

lions séparées de Tare MN par un grand nombre d'arcs élémentaires. L'action de l'onde sphérique se réduit donc à celle d'une bande BB'CC limitée par deux plans menés parallèlement au plan MAN et à une distance de ce plan telle qu'ils interceptent, sur chacune des bandes infiniment étroites qu'ils coupent, un grand nombre d'arcs élémentaires, ce qui n'empêche pas cette dislance d'être très-petite par rapport à AP.

Décomposons maintenant la région BB'CC ainsi déterminée en une ipfinité d'autres bandes infiniment étroites par des plans parallèles au plan MAN (fig. /i3). Ces bandes comprenant toutes un grand nombre d'arcs élémentaires, nous pouvons leur appliquer

sans estriction les résultats obtenus pour les ondes circulaires et réduire l'action de chacune d'elles à celle d'une fraction des deux premiers arcs élémentaires situés de part et d'autre de l'arc de grand cercle RS perpendiculaire à MN : cette fraction a sensiblement h même valeur pour toutes ces bandes, car les distances de l'arc MN aux arcs BB' et CC, bien que comprenant un grand nombre d'arcs élémentaires , n'en sont pas moins très-petites par rapport à AP. L'action de l'onde sphérique se réduit donc en définitive à celle d'une bande Z de largeur variable, limitée par deux courbes DD' et EE' symétriques par rapport à RS, et par les arcs BB' et ce. Cette bande, d'après ce que nous venons de dire, est ellemême comprise à l'intérieur d'une autre bande Z' limitée par deux courbes FF' et GG', qui sont le lieu des extrémités des premiers arcs élémentaires des bandes infiniment étroites parallèles à MN, et les largeurs des bandes Z et Z' en un même point de RS sont dans un rapport sensiblement constant.

Décomposons l'arc de grand cercle RS en arcs élémentaires à partir du pôle A, et menons par lespointî» de division des plans perpendiculaires au plan RAS ; les bandes Z et Z' se trquyerofit ainsi décomposées en zones élémentaires, et il y aura un rapport sensi-

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biement constant entre les zones ëlëmentaires de ces deux bandes qui correspondent à un même arc élémentaire de RS.

Il suffit par conséquent de chercher comment varient les surfaces des zones élémentaires de la bande TI. La largeur de cette bande parallèlement à MN est égale en A à deux fois la longueur du premier arc élémentaire de MN, c'est-à-dire à

Prenons maintenant sur Tare RS un point A' à quelque distance du point A; désignons par c le rayon de Tonde circulaire M'A'N' parallèle à MAN et passant par le point A', par à la plus courte distance du point éclairé à la circonférence de i'onde N'A'N', par A la distance du point P au plan M'A'N'. La largeur de la zone TI au point A' sera, d*après la valeur trouvée pour le premier arc éiémentaire dans le cas d*une onde circulaire agissant sur un point situé en dehors de son plan,

or, si l'on prend pour plan de figure le^plan RAS (fig. hfx) et si 0' désigne le centre du petit cercle M'A'N', on voit immédiatement que l'on a

c + v/^-fc2==0'A' + V/AT'^ÔÔ''«=0P=a + A; l'expression de la largeur de la bande Z' en A' devient donc

Les deux plans BB' et GC étant toujours peu distants Tun de l'autre, c diflere peu de a, et <2 est sensiblement égal à /l; la largeur de la bande Z' varie donc très-peu entre BB' et CC, et par suite les zones élémentaires de cette bande ont des hauteurs peu différentes. Les bases de ces zones, qui sont les arcs élémentaires de RS, décroissent au contraire très-rapidement. Donc les surfaces de» zones élémentaires de la bande Tl décroissent très-rapidement

dans ie voisinage du pôle et deviennent très-petites pour les zones séparées du pôle par un grand nombre d'arcs élémentaires relativement à ce qu'elles soçt dans le voisinage du pôle.

En partant de là et en raisonnant comme dans le cas d'une onde plane indéfinie, on voit que l'action d'une onde sphérique sur un point extérieur n'est pas sensiblement modifiée quand on supprime les parties de cette onde qui sont séparées du pôle par un grand nombre d'arcs élémentaires, et que cette action équivaut à celle qu'exercerait une fraction des deux premières zones élémentaires de la bande TI situées de part et d'autre du pôle.

On peut évaluer la grandeur de la portion efficace d'une onde sphérique au moyen de la décomposition de cette onde en anneaux concentriques, comme nous l'avons fait dans le cas d'une onde plane, et, en suivant exactement la même marche, on trouve que l'action d'une onde sphérique sur un point extérieur est sensiblement égale a la moitié de celle d'une calotte sphérique différant très-peu d'un cercle qui aurait le pôle pour centre, et telle, que la distance de la circonférence qui limite cette calotte au point éclairé surpasse d'une demi-longueur d'ondulation la distance du pôle au même point.

Nous pouvons maintenant étendre la notion de la propagation rectiligne de la lumière au cas où l'onde est sphérique, c'est-à-dire où le point lumineux est situé à une distance finie, car les raisonnements précédents prouvent que l'éclairement doit être considéré comme transmis par une région très-petite de l'onde dont le centre se trouve sur la droite qui joint le point lumineux au point éclairé. Nous voyons de plus que les mouvements vibratoires qui existent à un certain moment aux différents points de l'onde sphérique se seront sensiblement transportés au bout d'un temps T en des points

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dont les distances normales à cette surface sphérique sont égales à VT, V étant la vitesse de la propagation de la lumière. Ces points forment une seconde surface sphérique, concentrique à la première: cette seconde surface peut être regardée comme la position de l'onde au bout du temps T, et elle est en même temps Tenveloppe des ondes élémentaires décrites des différents points de Tonde primitive comme centres, avec un rayon égal à VT.

Ainsi se trouve justifié pour les ondes sphériques le principe des ondes enveloppes.

54. Effet d'une onde de forme quelconque sur un point extérieur. — La question de la propagation de la lumière dans un milieu homogène n est pas complètement résolue par l'étude que nous venons de faire des ondes planes et des ondes sphériques ; en effet, sans parler des milieux où la vitesse de propagation n*est pas la même dans toutes les directions, nous verrons que, même dans les milieux isotropes, la réflexion ou la réfraction peut donner

naissance à des ondes qui ne sont ni sphériques ni planes. Pour trouver l'action exercée par une onde produite dans ces conditions et dont la forme peut être quelconque , nous admettrons encore que chaque point de cette onde donne naissance à une onde élémentaire, et p. ^5 que, sur chacune de ces

ondes élémentaires, l'intensité du mouvement vibratoire devienne sensiblement nulle dans le voisinage du plan tangent mené par 4e centre de cette onde à l'onde primitive.

Nous examinerons en premier lieu l'action exercée sur un point extérieur P par une onde linéaire de forme quelconque , plane on non. Le pôle sera dans ce cas le point A de l'onde le plus rapproché

da fwd échiré P (fig. &5). Prenons sur Tonde un point quelconque M, et posons