VEIES OU X UNE GRANDE DISTANCE DES CORPS DIFFRINGENT

66. HUitorlquc de la diffraction» —Les phénomènes de diffraction, c'est-à-dire ceux qui résultent du passage de la lumière près des bords d'un corps opaque, ont élé observés pour la première fois vers le milieu du xvii* siècle par Grimaldi. Ce physicien, ayant fait pénétrer un faisceau de rayons solaires dans une chambre obscure par une ouverture très-petite , reconnut que les ombres des corps opaques interposés sur le trajet de ces rayons étaient plus larges qu'elles ne devaient l'être d'après la loi de la propagation recliiigne de la lumière, et que ces ombres étaient bordées de franges colorées, ordinairement au nombre de trois ^^^

Newton répéta et varia les expériences de Grimaldi -^^ La lumière étant admise dans la chambre obscure par une ouverture très-petite, il vit l'ombre d'un cheveu élargie et bordée de trois franges colorées : dans ces franges, les couleurs se succédaient à peu près dans le même ordre que dans les anneaux colorés des plaques minces, c'est-à-dire que les franges étaient violettes dans la partie la plus rapprochée de l'ombre et rouges dans la partie la plus éloignée. Newton observa les mêmes apparences en employant comme écran opaque des corps de nature très-diverse; mais il ne parle que des franges extérieures à l'ombre et ne parait pas avoir aperçu les franges brillantes qui se montrent à l'intérieur de l'ombre d'un corps très-étroit. Dans le but d'étudier les phénomènes qui se manifestent lorsque la lumière passe entre deux corps assez rapprochés pour ([ue les franges qui bordent les ombres de ces corps empiètent les unes

^•5 Phyëtco-Malhesà de Unnincy coloribus et irific. BonoiiitC, iOG5. <*' 0^(t>«,Uv. III.

250 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

sur Jes autres, il fit tomber le faisceau lumineux sur deux couteaux dont les tranchants étaient placés parallèlement; il vit, lorsque la distance entre ces tranchants était suffisamment petite, une frange noire se dessiner au milieu de la projection de la fente lumineuse et la largeur de cette frange augmenter à mesure que la fente devenait plus étroite. Newton constata encore l'élargissement que subissent les franges de diffraction lorsqu'on les observe à une distance de plus en plus grande du corps opaque. Ayant remplacé la lumière blanche par de la lumière homogène, il s'assura que la largeur des fraqges était d'autant plus grande que la lumière était moins réfrangible, ce qui permet de rendre compte de l'ordre dans lequel se succèdent les couleurs lorsqu'on opère avec la lumière blanche. Il montra enfin qu'il n'est point nécessaire pour la production des franges de diffraction que le corps opaque se trouve dans l'air; car, ayant placé un cheveu entre deux plaques de verre et rempli d'eau l'espace compris entre ces deux plaques, il vit encore l'ombre de ce cheveu bordée de bandes irisées.

Newton s'est peu étendu sur l'explication théorique des phénomènes de diffraction ^^^ : il les attribue à des forces émanant de la surface des corps près desquels passent les rayons diffractés, forces qui feraient dévier les molécules lumineuses de leur trajectoire rectiligne. Ces forces,, suivant la distance de la molécule lumineuse au corps opaque, seraient tantôt attractives, tantôt répulsives, de façon que la trajectoire pourrait être infléchie, soit vers l'extérieur, soit vers l'intérieur de l'ombre ; de ces changements de direction résulteraient, sur l'écran oii vient se peindre l'ombre, une accumulation des rayons en certains points et un manque complet de lumière en d'autres points, ce qui donnera lieu à des franges qui seront colorées dans la lumière blanche , si l'on suppose que les rayons des différentes couleurs soient inégalement déviés.

Parmi les observateurs qui s'occupèrent après Newton des phénomènes de diffraction , il faut surtout citer, dans la première moitié du xvHi* siècle, deux astronomes, Delisle et Maraldi. Delisle reconnut le premier l'existence d'un point brillant au centre de l'ombre d'un

'^ Oldics. liv. III, quesl. i, a, 3, A.

DIFFRACTION. 251

écran opaque de forme circulaire et de trèe^petite dimension ^^^; cette expérience fut complètement oubliée par ia suite, au point que Poisson crut réfuter la théorie de Fresnei en montrant que, d'après cette théorie, le centre de Tombre d'un écran circulaire très-petit doit être éclairé comme si l'écran n'existait pas. Quant à Maraldi, il a décrit pour la première fois les franges brillantes qui apparaissent à l'intérieur de Tombre d'un corps très-étroit ^^K

Mairan ^^\ peu do temps après la publication de l'Optique de Newton, proposa, pour expliquer les phénomènes de diffraction, une hypothèse qui fut plus tard reprise et développée parDutour^*V Cette hypothèse consiste à admettre que, dans le voisinage immé* diat de la surface des corp solides, l'air se trouve dans un état particulier de condensation, et qu'en passant à travers les couches d'air ainsi modifiées les rayons se réfractent de façon à être déviés de leur direction. En combinant cette théorie avec celle de Newton « on peut expliquer l'existence simultanée des franges intérieures* et des franges extérieures sans être obligé d'admettre que les surfaces des corps solides exercent sur les molécules lumineuses, tant&t une attraction, tantôt une répulsion, suivant la distance : il suffit de supposer que les forces émanées de la surface des corps sont toujours répulsives et donnent naissance aux franges extérieures, tandis ([ue les franges intérieures seraient dues à la condensation de l'air dans le voisinage de cette surface.

Young est le premier qui ait essayé de rendre compte des phénomènes de diffraction dans la théorie des ondulations en les rattachant au principe des interférences. 11 attribua les franges extérieures aux interférences des rayons directs avec les rayons réfléchis sur les bords du corps opaque, en remarquant que, l'incidence étant trèsprès d'être rasante, l'intensité de ces rayons réfléchis doit être comparable à celle des rayons directs. Quant aux franges intérieures, il les expliqua par l'interférence des rayons infléchis par les deux bords de l'écran, sans se prononcer d'une manière bien nette sur la cause

<■> Mém, de Vane. Aead, dei se, 1715, p. 166. W Mém, de Vanc. Acad, des «r., 1 7^3^ p. 1 1 1 . ^*' Mêm. de Vanv, Acad. desêc^ 1788, p. 53.

*'*J Mém.des8av.cii'mg.,V, 63."»; VI, 19, 36. — Jount. de pkys. de Roziei't\, lao, i3o; VJ, i35, fila.

i52 LUMIÈRE iNON POLARISÉE.

de celle inflexion ^^\ Fresnel adopta dans ses premiers Iravaux sur la diflraction les idëes de Young, maïs il ne larda pas à y renoncer après en avoir reconnu rinexactilude.

Trois opinions difTérentes avaient donc été émises avant Fresuel sur la cause de la diffraclion; ces opinions, comme Fresnel le prouva par de nombreuses expériences, étaient également erronées. Si les phénomènes de diffraction étaient dus à une condensation de Tair dans le voisinage des surfaces des corps opaques ou à des forces répulsives émanées de ces surfaces , la position et l'intensité des franges de difTraction dépendraient de la nalure et de Télat physique des écrans qui limitent l'ouverture par où passe la lumière; si la diffraction provenait d'une réflexion des rayons sur les bords des écrans, toute variation dans le degré de poli de ces bords entraînerait une* modification, sinon dans la position, du moins dans l'intensité de> franges. Il suffisait donc , pour renverser les trois hypothèses que nous venons d'énoncer, de montrer que l'aspect des franges de diffraction ne dépend nullement de la nature des coi^s diffringents : c'est ce que fit Fresnel de la manière la plus concluante. Il remarqua d'abord que le tranchant et le dos d'un rasoir donnent des franges de même largeur et de même intensité; dans une seconde expérience, après avoir observé les franges produites par un système formé de deux cylindres de cuivre d'un centimètre de diamèlre, placés très-près l'un de l'autre, il substitua à ce système une lame de verre recouverte de noir de fumée, sauf une bande dont la largeur était précisément égale à la distance des deux cylindres de cuivre, et ne put constater aucun changement, ni dans la largeur des franges, qu'il mesura avec soin dans les deux cas, ni dans leur éclat ^^l Après que Fresnel eut donné sa théorie de la diffraction, de Haldal entreprit une série d'expériences sur le même sujet et arriva à des conclusions identiques à celles de Fresnel ; il se servit de fils métalliques pour produire les franges de diffraction, et vit ces franges conserver le même aspect pendant qu'il soumettait les fils aux actions

^'^ Lecture» on \alural Phil()8oplty, p. 36Ô.

^') Supplément au deuxièiiie Mémoire sur lu (liiïraclioii (Œuvre» compièUfM, L 1, p. 1 48). — MéiJiuiic sur la diflraction couronné par l'Académie des sciences {Œuvf^ complétai 1. 1, p. a8o).

DIFFRACTION. :253

les plus diverses, telles que passage d'un courant électrique, aimantation, élévation de température, etc. ^^K

Outre l'objection générale que nous venons de faire connaître et qui s'applique également aux trois hypothèses que Fresnel avait à combattre, on peut en élever de particulières contre chacune de ces hypothèses. Dans celle de Newton, on ne voit pas comment la largeur des franges peut varier avec la distance du corps diffringent à la source lumineuse, caria force répulsive exercée par la surface du corps opaque sur une molécule lumineuse ne pourrait dépendre qtie de la distance de cette molécule à la surface. L'hypothèse des atmosphères condensées autour des corps solides est entièrement contredite par les expériences de Magnus, qui ont montré que les phénomènes de diffraction peuvent se produire dans le vide^^^ Quant à la théorie de Young, elle peut être réfutée par des considérations tirées de mesures précises de la largeur des franges, prises à des distances diff«»rentes du corps diffringent. Soient en effet S le point lumineux, J* un point situé dans un j)lan mené par le j)oint S perpendiculairement au bord de l'écran diffringent, A le point oik ce plan rencontre le bord de l'écran : si les franges résultaient de l'interférence des rayons directs avec les rayons réfléchis, il y aurait, en tenani compte de la perte d'une demi-longueur d'ondulation par le fait de» la réflexion, maximum ou minimum en P, suivant que la différence des longueurs SA+AP et SP serait égale h un nombre impair ou pair de demi-longueurs d'ondulations, et, par suite, le point où une frange d'un ordre déterminé rencontre le plan mené par le point S perpendiculairement au bord de l'écran devrait se déplacer, lorsqu'on observe le phénomène à des dislances différentes de l'écran, suivant une branche d'hyperbole ayant pour foyers les points S et A. Or, l'expérience prouve que ce point se déplace bien suivant une trajectoire hyperbolique, mais que les points S et A sont les sommets et non les foyers de cette hyperbole.

La véritable théorie de la diffraction, que nous avons fait connaître d'une manière sommaire (55) et que nous allons maintenant exposer dans tous ses détails, a été fondée par Fresnel et inaugure

'' Ann, de chim, et de phtfs,, (a), XLl, 4 9 A. i- Pofffr. Ann,, LXXXï, 'io8. — Berl Mnnnl»het\, iS'i;, p. 79.

i5'i LUMIÈRE NON POLAKISÉE.

brillamment Ici sërie de ses travaux sur l'optique. I^es méthodes de calcul ont été plus récemment perfectionnées et simplifiées par plusieurs mathématiciens y parmi lesquels il faut citer surtout knochenhauer ^^\ Cauchy ^^^ et M. Gilbert ^'^ ; des phénomènes beaucoup plus complexes que ceux qu'a étudiés Fresoel ont été observés et mesurés par un grand nombre de physiciens, au premier rang desquels se placent Frauenhofer ^^^ et Schwerd ^^^ pour leurs travaux sur les réseaux. Mais, on peut le dire, rien d'essentiel n'a été ajouté aux principes posés par Fresnel; dans tous les cas, l'accord entre l'expérience et la théorie s'est maintenu jusque dans les plus minutieux détails, et on a pu affirmer sans exagération que ci la théorie dos ondulations prédit les phénomènes de diffraction aussi exactement que b théorie de la gravitation prédit les mouvements des corps célestes ^^K r>

Nous diviserons ici, en nous attachant uniquement à Tordre logique, rex|K)sé de la théorie des phénomènes de diffraction en trois parties.

Dans la première, nous nous occuperons des effets produits par une onde sphérique concave sur les poiiits d'un plan passant |>ar son centre : à ce cas se rattachent les phénomènes qu'on obsen'e sur un écran placé à une très-grande distance du corps diffringent.

Dans la seconde partie, nous supposerons que. l'onde est sphérique et a pour centre le point lumineux , et nous rechercherons les effets produits par la limitation de cette onde sur l'éclairement des points extérieurs à l'onde et situés à une distance finie du cor|)s diffringent : c'est dans cette catégorie que rentrent les phénomènes plus spécialement observés par Fresnel; nous ne les étudierons qu'en second lieu, parce que leur théorie est moins simple que celle des phénomènes qui font l'objet de la première partie.

Enfin la troisième partie sera consacrée à l'examen de l'action

^') Di> ('ndftlatioMtheot^f dêt ÏAchte», Berlin, 1889. — Pogfr, /tiin., XLI, io3 ; XLIII, n86.

w C/î., n,455;XV,534,573,7i*ï.

^^^ Mém.eowonn.deVAcad.deBrHX,^ XXXI, 1.

*J (iUberl'ê Amiakti, LXXIV, SSy. — Schumachêr*n Antroinmi, AffhnntU., U.

'■^^ Diê Betigting»er»chnnttngen y Manlieitn, i835.

•*' ScHWRBD, Die liêHgunggertrhmmngm f j». x.

DIFFRACTION. i55

exercée par les ondes dont la forme n'csl passphérique, et en particulier h la ihi'orie roniplèle de l'arc-en-ciel.

67. Exfimmmmimn sénérale de l'intensité du ntouvement vliNPiiteire env^jé par une ande spliérique eoneuve en un peint d*uB plan paMmnt pur «en eentre. — Soit une onde sphérique concave dont le centre est en 0 (fig. 58); menons par le

point 0 un pian qui sera celui dans lequel les phénomènes seront supposés observés; prenons ce plan pour plan des xy, et le point 0 pour origine.

Nous allons nous proposer de déterminer l'intensité du mouvement vibratoire en un point M du plan des .Ty, point dont nous désignerons les cori5.58. ordonnées par (e, v).

Supposons à cet effet que l'origine du temps soit choisie de telle façon que la vitesse du mouvement vibratoire soit représentée 5 la surface de l'onde par

t a sm *î7r;|T<»

T étant la durée d'une vibration ^'^ Soient (.r, y, z) les coordonnées d'un point P de la surface de l'onde, rfV l'élément superficiel correspondant à ce point, p la distance PM : la vitesse du mouvement vibratoire envoyé en M par l'élément rf^o- sera, d'après une formule établie précédemment (^l 5),

CfPas\n9.7r(^i-Çj

'' Dons tout ce qui va suivre nous supposerons la vitesse eslimée suivant une corlaino iliroclion; les résulInU que nous obtiendrons, étant indépomlanls ilo la direction suivant laquelle on estime la vitesse, s^appliqueront à Tintensilé totale du niouvoment vihraloire, qui ♦'sl é|»alo à la sommi» dos inlmsités f»slinu'e8 suivant Irois axes rerlanf[idair«»s.

•250 LUMIÈRE NON POLABISÉE.

Le coefljcient (] dc^pend de la distance de IVléiiient consid^n» au point M, ot anssi de l'inclinaison de la droite PM par rapport à la surface de Tonde; mais, si cette onde est limitée par un diaphrajjmp dont Touverlure soit très-petite, et si on se borne à chercher l'éclairement des points du plan xy qui sont voisins de l'origine, ce coefficient peut être considéré comme sensiblement constant : aussi le supprimerons-nous en général dans ce qui va suivre, sauf à le rétablir quand les conditions que nous venons d'indiquer ne seront pas remplies.

La vitesse de vibration envoyée au point M par la partie active de l'onde pourra être représentée par

. = J/sina^(4-e)^^..

l'intégration devra s'étendre à toute la partie de l'onde dont l'action n'est pas arrélée par la présence du diaphragme, et |>ar suite les limites entre lesquelles doivent être prises les intégrales correspondent au contour de l'ouverture de ce diaphragme.

En désignant par R le rayon de l'onde sphérique, on a

1> * ou

p2 R2 9a;$ ^lyn + ^+rfK

Si la partie active de l'onde n'a qu'une petite étendue et si le point M (»st très-voisin du point 0, les quantités jr et y sont très-petiles par nipport à R, et les termes du second degré en Ç et en n sont négligeables; on a donc alors, avec une approximation suflTisante,

p=R-îii^ et (n<r = i}xdy.

Kn substituant ces valeurs dans l'expression de t\ il vient .-JJ sir. .r(^-5+l^)^.rJy

=- sin .TT (t- 5) (f cos.7r'^-j^./xr/y / I \\\ ce , .T^ + yv , ,

hlFKRACTlON. iûl

Si I on pose

il vient

»^=A sîn^+BcosÇ,

expression qui peul Hve mise sous la forme

f'=Csin((p4-ô), on |ios<int

6 = arc tang ^ »

l/intensité lumineuse ea M a pour mesure le carré du coeflicienl (1 (le la vitesse du mouvement vibratoire : en df^signant cette intensité par I', on a donc définitivement

'= f 1 1 cos97r'— lye—z/arf/yj +f l|sîn?îw — WT~^^^h). '

Dos deux intégrations indiquées dans chaque terme du second membre, il y en a toujours une qui peut s'effectuer immédiatement, de aorte que, dans le cas dont nous nous occupons, Tinlen'^ site du mouvement vibratoire peut s'exprimer au moyen de deux in^ tégrales simples : c'est là la raison qui nous a fait étudier ce cas en premier lieu, car dans le cas général l'expression de l'intensité contient deux intégrales doubles qui ne peuvent pas toujours se ramener ù des intégrales simples.

ôS.C^nilUl^iui expérlmeiilaleB dMis lesquelles peuvent être olMervés des phénomènes de dlifriietlon Identiques à eeum que pniduit une onde sphérique eonenve. — Avant de discuter la valeur que nous venons de trouver pour l'intensité du

Vrrdbt, V. — optique, I. •17

^ôS LUMIERE NON POLARISEE.

niouvenienl vibratoire envoyé par une onde sphérique concave en un point d'un plan passant par son centre et d'attribuer a l'ouverture qui limite cette onde une forme particulière, il est utile de faire connaître les dispositions expérimentales à l'aide desquelles on peut réaliser les conditions que la théorie précédente suppose remplies et de montrer que cette théorie comporte une généralité beaucoup plus grande qu'on ne serait porté à le croire au premier abord.

Le moyen le plus simple qui se présente pour étudier les effets d'une onde sphérique concave consiste h faire tomber les rayons émanés d'un point lumineux sur une lentille convergente, de façon qu'ils aillent concourir en un foyer réel : il se forme alors une onde sphérique concave ayant pour centre le foyer conjugué du point Inniineux, et pour limiter cette onde il suffit de placer un diaphragme entre la lentille et le foyer. Les rayons peuvent être reçus sur un écran passant par le foyer et perpendiculaire à l'axe de la lentille : on voit alors directement les phénomènes se dessiner sur cet écran. On peut aussi supprimer l'écran et observer les phénomènes avec une loupe disposée de façon à faire voir nettement les points silui^ dans le plan mené par le foyer perpendiculairement à Taxe de la lentille; l'emploi de la loupe a l'avantage de produire un grossissement qui permet de distinguer plus facilement les apparences dues il la diffraction.

Le procédé le plus commode consiste à réunir dans un même instrument la lentille convexe et la loupe, c'est-à-dire à se senir d'une lunette astronomique avec laquelle on vise une source lumineuse de très-petites dimensions : il suffit alors, pour donner naissance aux phénomènes de diffraction, de placer un diaphragme entre l'objectif et l'oculaire ; si la lunette est munie d'un réticule à fil mobile, on pourra prendre des mesures et comparer les résultats de l'expérience avec ceux de la théorie.

Nous allons faire voir maintenant qu'on peut obtenir des effets identiques à ceux d'une onde sphérique concave, en se plaçant dans des conditions tout à fait différentes en apparence, par exemple en faisant tomber sur un diaphragme plan et percé d'une ouverture de forme quelconque un faisceau de rayons parallèles entre eux et

UIFFHACTION. i59

perpendiculaires au diaphragme, el en recevant ces rayons sur un écran assez éloigné du diaphragme pour cpie les droites menées des dilîérents points de rouvertiu*e à un même point de l'écran puissent être considérées comme parallèles. Supposons en effet le plan de l'écran parallèle à celui de l'ouverture, et prenons-le pour |)lan des xy; considérons sur ce plan un point P dont nous allons chercher à déterminer l'éclairement (fig. 69); choisissons enfin pour axe des z une droite perpendiculaire au plan des xy et passant par relui des points du contour de l'ouverture qui est le plus rapproché du point P, pour axes des x et des y deux droites quelconques. Si parle point A, où l'axe des z rencontre Touverture, nous menons un

plan AD perpendiculaire à la direction AP, ce plan se confondra sensiblement avec la surface d'une sjihère décrite du point P comme centre avec AP pour rayon. L'onde incidente est plane et se confond avec le plan de l'ouverture; les rayons incidents arrivent donc en même temps aux différents poinis de l'ouverture AB, et les mouvements vibratoires de ces points sont concordants; d'autre part, le mouvement vibratoire emploie des temps égaux pour se propager des différents poinis du plan AD au point P : les différences de phase que présentent les mouvements envoyés en P par les différents points de l'ouverture ne proviennent donc que des chemins parcourus entre l'ouverture AB et le plan AD perpendiculaire a la direction AP des rayons qui aboutissent au point P.

Pour évaluer ces différences de phase, appelons a et jS les angles formés par la direction APavec l'axe desx et avec l'axe des y ; prenons sur l'ouverture un point quelconque M ayant pour coordonnées 0? et y, et menons par ce point une parallèle à AP; soit k le point où cette droite rencontre le plan AD. La différence de marche entre les mouvements envoyés en P par les jioînts A et M est égale à VIK; or, MK étant la projection de AM sur une direction

Fiy. 59.

:2G0 IJIMIÈHb: M)\ POLARISÉE.

parallèli^ n \\\ on a

M K ^-- x ros a -f // ros /S.

Si l'on représente la vitesse du mouvement vibratoire sur l'onde plane qui coïncide avec l'ouverture par

a sin 3 TT FjTo

la distance AP par R , l'élément correspondant au point M par àxdy, on voit immédialemont que la vitesse envoyée j>ar cet élément au point P a pour expression

(l R j?cosa-i- ycosÔN , ,

v = sin97r I

En dési{Tnant par Ç et >; les coordonnées du point P, îl vient

cosa = |^^ ros)8 = |^i

et par sinte

(iette valeur de la vitesse ne diffère de celle qu'on trouve dans le cas d'une onde sphérique concave que par le signe du dernier terme de la parenthèse , et il est facile de s'assurer qu'on arrive, en continuant le calcul, à une ex|)ression de l'intensité lumineuse identique à celle que nous avons obtenue plus haut.

Au lieu d'observer les phénomènes sur un écran placé à une trèsgrande distance du corps diffringent, on peut, ce qui est plus commode, recevoir la lumière après son passage par l'ouverture sur une lentille convergente et donner successivement à l'axe de cette lentille <lifférentes directions. Soit en effet une lentille convergente dont l'axe est dirigé parallèlement à AP : si la lentille n'existait pas, les mouvements envoyés, parallèlement à AP, en un point P situé à une distance infiniment grande sur cette direction, partiraient en même temps des différents points de l'ouverture AB et emploieraient des temps égaux pour se propager du plan AD, perpendiculaire à AP. jus(|u'au point P. La lentille, ayant son axe jiarallèle à AP, faitron-

DIFFHACTION. m\

verger eii son foyer principal F les rayons parallèles à AP (ju'on peut supposer émanés des différents point*; de l'ouverture ; la réfraction à travers la lentille, supposée aplanétique, n'introduisant aucune différence de marche entre les rayons qui concourent en son foyer (25), ces rayons emploient encore des temps égaux pour se propager du plan AD, qui leur est perpendiculaire, jusqu'au foyer F. Les différences de phase de ces rayons seront donc exactement au foyer F ce qu'elles seraient en P sans la présence de la lentille, et par suite l'intensité lumineuse aura en F la même valeur qu'en P, à un facteur constant près. Si maintenant on considère des rayons pa* rallèles à une direction AP' faisant un petit angle avec l'axe de la lonlille , on voit que ces rayons iront très-sensiblement concourir en un point F' voisin du foyer principal; la réfraction à travers la lentille ne communique encore dans ce cas aux rayons aucune différence de marche appréciable, et par suite ces rayons emploient des temps égaux pour se propager du plan AD' qui leur est perpendiculaire jusqu'au point F'. L'intensité au point F' sera donc proportionnelle à ce qu'elle serait, si la lentille n'existait pas, en un point P' situé à une distance extrêmement grande sur la direction AP'. Ainsi , si l'axe de la lentille est parallèle à AP, on observera les mêmes apparences dans le plan focal de la lentille autour du point F que sur un écran extrêmement éloigné* autour du point P, et, en faisant varier la direction de l'axe de la lentille , on apercevra les phénomènes qui seraient venus se peindre dans les différentes régions de l'écran.

Le plus souvent on se sert, au lieu d'une simple lentille convergente, d'une lunette astronomique avec laquelle on vise l'ouverture diffringente et dont l'axe optique peut recevoir différentes directions: l'oculaire fait alors office de loupe, et, en adaptant un micromètre à la lunette , il est possible de prendre des mesures. La lunette est montée ordinairement sur un cercle gradué, ce qui permet d'évaluer l'inclinaison de son axe optique sur la direction des rayons incidents.

Lorsqu'on se propose uniquement d'examiner l'aspect des phénomènes sans prendre de mesures, on peut supprimer la lentille convergente et placer simplement l'œil derrière l'ouverture diffringente :

2G-2 LLMIÈUE NON POLARISEE.

les pliuuoiuènes se dessinent alors sur la rétine comuic iis le feraienl sur un écran situé à une distance infiniment grande, pourvu touto fois que l'œil puisse s'accommoder pour des rayons parallèles. L'œil myope ne jouit pas de cette faculté, mais on peut la lui faire acquérir au moyen d'un verre divergent convenablement choisi.

En résumé, trois méthodes diflférentes d'observation conduisent aux mêmes résultats :

i"* Celle qui consiste à viser directement le point lumineux avcc une lunette astronomique, en interposant un diaphragme entre l'objectif et l'oculaire ;

!3° La projection du phénomène sur un écran situé a une (rcs< grande distance du corps diffringent ;

3° L'emploi d'une lunette astronomique qu'on dirige sur l'ouverture diiïringente et dont l'axe peut recevoir différentes directions.

Lorsqu'on emploie une des deux dernières méthodes , les rayons qui tombent sur le diaphragme doivent être sensiblement parallèles, c'est-à-dire émaner d'un point situé à une grande distance de l'ouverture diiïringente; dans le premier procédé, il n'est pas nécessaire que cette condition soit remplie.

Par les raisons que nous avons indiquées en parlant des franges d'interférence, la source lumineuse, pour que les phénomènes de diffraction soient visibles, doit avoir un diamètre apparent très-petiL (Cependant, quand l'ouverture diffringente est formée d'uue ou de plusieurs fentes étroites, la source lumineuse peut sans inconvénient cire allongée dans le sens parallèle à la grande dimension des fentes, car les systèmes de franges produits par les différents points de la source se superposent alors sensiblement» ce qui augmente l'éclat du phénomène. La source lumineuse de forme linéaire, qui peut être soit une fente pratiquée dans le volet d'une chambre obscure, soit la ligne focale d'une lentille cylindrique, doit, lorsqu'on se sert de l'une des deux dernières méthodes d'observation, se trouver a une grande distance du corps diffringent, à moins qu'on ne rende les rayons parallèles à l'aide d'un collimateur placé entre la source et l'ouverture diffringente.

Fresnel a indiqué la simplification qui s'introduit dans les apparences dues à la diffraction lorsque le centre de l'onde incidente,

DIFFRACTION. i(i3

au lieu d*élrc uu point lumineux, se trouve duus le [iluu du tableau ^'^; mais il n'est entré dans aucun détail sur les phénomènes dont Tétude fait l'objet de cette première partie. Frauenhofer s'est servi le premier d'une lunette astronomique pour observer les effets produits par des ouvertures diiïringentes : il a établi avec beaucoup de soin les lois expérimentales de ces phénomènes, principalement dans le cas où l'ouverture, formée d'un grand nombre de fentes égales et équidistantes . constitue ce qu'on appelle un réseau ^'-^K

On doit à M. Herschel de nombreuses observations sur les apparences (|ue présente l'image d'une étoile vue dans une lunette dont l'objectif est muni de diaphragmes de différentes formes ^^K

La théorie des phénomènes observés à une grande distance du corps diffriugent ou au moyen d'une lentille convexe a été établie d'une manière sommaire par Airy ^^\ puis développée et perfectionnée par Schwerd, qui a coordonné tous les travaux de ses devanciers sur ce sujet ^^l

69. Diifmcti^ii pmw une •uvertwre rectaiiffutolre. — Nous allons maintenant effectuer le calcul de l'intensité lumineuse dans un certain nombre de cas particuliers; les résultats que nous obtiendrons en partant de la formule établie pour une onde sphérique concave seront applicables à l'un quelconque des trois modes d'observation que nous avons indiqués plus haut.

Supposons en premier lieu que l'ouverture du diaphragme qui limite l'onde soit de forme rectangulaire. Si l'axe des z passe par le centre de cette ouverture, et si l'on désigne par a la longueur du côté de l'ouverture qui est parallèle à Taxe des x, par b celle du

côté qui est parallèle à l'axe des y, les limites des intégrales sont — ~ et + - relativement à a?, et + -relativement à v> et la formule

^') Mémoire couronné sur la diffraction {Œuvreë complétée^ t. 1, p. 3o9).

^*^ Sckumaehêr^M Âëtronomiiche Abhandlungm, IL — GUberi'ë AnnaUn, LXXIV, 337.

^^) Traité de la Lumière de Hencliel (Iraduclion de Verliubl cl Quelelel), 1. 1, p. 5o3.

^*) Malhematical TraeU, Cambridge, i83i,p. 3s 1.

^^^ Die Beugungterscheinungen, Manheim, i835.

264 LUMIÈRE NON POLARISÉE,

qui donne l'intensité devient

Ëii remarquant que l'on a

=« ar| . RA . aÇ

cos air ^ ax == -> sin w HT »

COS 37r èr «y = — Sin TT ïTî '

DIFFRACTION. 265

il vient

„ R'A* . , o5 . , bv

En multipliant et divisant la valeur de l'intensité par a-b-y elle prend une forme plus commode pour la discussion : on obtient ainsi l'expression

flÇ . „ bv

sin^Wj^ sin'TT^

L miensité lumineuse au point dont les coordonnées sont £ et 97 est donc représentée par un produit de trois facteurs dont Tun est constant, tandis que les deux autres sont de la forme— j^ •

Nous sommes ainsi amenés à étudier les variations de la fonction i ^ fonction que nous représenterons par S. On voit immédiatement que cette fonction ne peut jamais prendre de valeurs négatives, qu'elle est égale à l'unité pour 14= o, et qu'elle s'annule toutes les fois qu'on a t<=m?r, m étant un nombre entier dilTrrpnl de zéro. Les valeurs nulles de la fonction S correspondent à des minima : pour trouver les valeurs de u qui rendent S maximum, il faut égaler à zéro la dérivée de cette fonction, ce qui donne

sinu ucosu — sinu

L'équation

sinu

donnant les valeurs qui correspondent aux minima, il restt>, pour déterminer celles qui correspondent aux maxima, l'équation

iicosu — sinM = o ou

(U) i« = tangM.

Cette éijuation a une première racine égale à zéro; une seconde, que nous appellerons Uj, comprise entre tt et 3 -; une troisième ii.^

26b LUMIÈRE NOiN POLARISÉE.

coiiiprise entre -jtt et 5-» et ainsi de suite. Généralement , entre

•jH-et (q/* + i)r' il existe une racine u^ de l'équation (L), et une

seule.

Ces racines ont été calculées par Scliwerd, qui est arrivé aux valeurs suivantes :

TT