militmmiàmn |mw une fente étr«rtt« à bords parmllélM

— Si Tune des dimensions de l'ouverture rectangulaire que nous

^') Traité de la lumière par J. Herschel (traduction de Verhulst cl Quelelel), 1. 1< p. 5o5.

DIFFRACTION. 269

venons de considérer est Irès-grande par rapport à l'autre; si, en d'autres termes, cette ouverture se réduit à une fente à bords parallèles, étroite et très-allongée, le phénomène prend l'aspect d'une ligne perpendiculaire à la grande dimension de l'ouverture et située dans un plan mené par le point lumineux perpendiculairement aux bords de la fente. Dans ce cas, en effet, l'intensité lumineuse, d'après ce que nous avons vu plus haut, devient insensible dès qu'on s'écarte de cette ligne, sur laquelle on observera d'ailleurs (les niinima d'intensité qui seront tous nuls et des maxima qui iront en décroissant rapidement à partir du point où la ligne est rencontrée par la perpendiculaire abaissée du point lumineux sur le plan de la fente. Toutes les fois que l'ouverture diffringente est formée par une ou plusieurs fentes à bords parallèles, il suffit donc de chercher les variations de l'intensité lumineuse aux différents points de Tintersection du plan dans lequel les phénomènes sont supposés observas, ou plan du tableau, avec un plan passant par le point lumineux et perpendiculaire aux bords de la fente. Il résulte de Ik que, si la source lumineuse, au lieu de se réduire à un point, présente la forme d'une droite parallèle à la fente, chaque point de cette source produira les mêmes effets que s'il était seul. Pour trouver l'aspect du phénomène, il faudra donc considérer isolément un point de la source , chercher la distribution des maxima et des minima sur la droite suivant laquelle le plan mené perpendiculairement à la fente |>ar ce point coupe le plan du tableau, et mener par les différents points de cette droite des parallèles à la ligne lumineuse en donnant à ces parallèles des longueurs égales à celle de la ligne lumineuse si les rayons sont reçus directement sur un écran, à celle de son image si on emploie une lentille convergente : sur chacune de ces parallèles l'intensité restera constante, et, si on opère avec la lumière blanche, chacune de ces parallèles présentera la même couleur en tous ses points.

Pour effectuer les calculs d'une façon plus commode, nous supposerons^ dans tout ce qui est relatif aux phénomènes produits par une ou plusieurs fentes étroites, que les apparences soient observées sur un écran placé à une distance infiniment grande du corps dif*fringent et que la source lumineuse soit assez éloignée de l'ouverture

^70 LLMIKHK N()\ POLAKISKK.

|)Our i|iie l(»s rayons inrid<»nts puissent ^tre consi(lér/*s comme parallèles : les résultats que nous obtiendrons seront applicables au cas 011 Ton vise l'ouverture avec une hinetle astronomique dont Taxe optique peut recevoir différentes directions (68).

Supposons en premier lieu que l'ouverture diffringente soit formée d'une fente unique à bords parallèles, et désignons par a la largeur de cette fente. II suffira, d'après ce que nous venons de voir, de considérer les phénomènes dans un plan perpendiculaire aux bords de la fente; prenons ce plan pour plan de figure (fig. 6*î), et soient A et B les points où il rencontre les bords de la fente. Proposonsnous d'évaluer l'intensité lunr^ineuse en un point P, situé dans ce

plan à une distance très-grande du corps diffringent sur une direction AP faisant avec celle des rayons incidents un angle égal à ^ : cet angle S est ce que nous appellerons la àmnlion des rayons envoyés en P par les différents points de l'ouverture, rayons qui peuvent être regardés comme parallèles. Si nous partageons l'ouverture en bandes infmiment

Fiff. 6».

étroites par des droites parallèles à ses bords, nous voyons que, tous les points d'une même bande étant à la même distance du point P, la vitesse envoyée par celte bande en P est proportionnelle à celle qu'envoie l'élément de AB qui sert de base à la bande. On obtiendra donc, à un facteur conslant près, l'intensité lumineuse en P, en ne tenant compte que des mouvements provenant des différents points de AB. Soit M un de ces points et posons

AM==.r:

menons par le point A une droite AL perpendiculaire à AP, et abaissons du point M une perpendiculaire MK sur celte droite : nous aurons

MK = j-sin^:

DIFFRACTION. i71

par suite, si naus représentons par sinawn-^r/x la vitesse envoyée

au point P par réiément de la droite AB correspondant au point A, la vitesse envoyée par l'élément qui a pour milieu le point M sera

égale à

/ ( x sin J'x , sm ùir Ij j^ — I dx.

La vitesse envoyée en P par la droite AB est donc représentée par

rft j; sin ^\ , t r^ a? sin ^ j

sinQTT (îTT y^ — 1 tLi' =sin arrj I cosaw — r — eue

t r^ . xsinS j — <os îîTT r-TT I sm an — 5^ — dx.

Celle vitesse étant proportionnelle à relie qui provient de l'ouverture tout entière, on a pour la valeur de l'intensité lumineuse nu point P, en supprimant un facteur constan!,

lî f r^ xsinS j \'2 . i /*" . .Tsin<î , Xa

/ X . asin<y\2 , f ^- I «sin^ \Tj = 1 r— R sm ait — 5 — + r— ç. ( ros 27r — 5 1 1

À* / fl sin ^\ À* . „ fl sin ^

/iwsm*d\ A / TT sm"<) A

et, en multipliant et divisant par tr^

, ^ a sin J

, «* sin* J

L'expression qui représente l'intensité se compose donc de deux

facteurs dont l'un est constant et l'autre de la forme — 5— • Nous

ur

avons étudié plus haut (69) les variations de cette dernière fonction, et nous avons vu que ses minima sont tous nids et correspondent aux valeurs de n données par l'équation u^mn, m étant un nombre entier différent de zéro. L'intensité est donc nulle sur toutes les di-

il'2 LUMIÈRE NON POLARISÉE,

portions pour lesquellos on a

sind= — ; a

si l'angle S est très-petit, comme cela arrive ordinairement, on aura très-approximativement pour ces directions

Les déviations qui correspondent aux minima sont par conséquent proportionnelles h la longueur d'ondulation, en raison inverse de la largeur de la fente, et croissent comme la série des nombres entiers consécutifs.

L'intensité passant par une valeur maximum en même temps que le facteur variable, les déviations qui correspondent aux maxime de lumière sont données par la formule

TTfl OU

ira u„ élanl une fies racines de l'équation

tf = tangii.

Si 11 a une valeur un peu considérable, la racine u. diiïère peu, comme nous l'avons vu, de (qm+i)-* Les déviations qui correspondent aux maxima d'un rang élevé sont donc données approximativement par la formule

sind=' — —-^-' Via

Les maxima décroissent du reste très-rapidement ù partir de la direction normale ii la fente; c'est ce que montre l'étude que nous

avons faite de la fonction » *

Lorsqu'on opère dans la lumière blanche, on aperçoit au centre du phénomène une bande blanche et brillante qui est située sur la

DitFRAOTioN. 273

direction normale a \sl fente diffringente : de chaque côté de cette hande se trouve un espace obscur, puis viennent des spectres do moins en moins brillants et séparés par des bandes noires. La déviation augmentant avec la longueur d'ondulation, tous ces spectres ont leur extrémité violette tournée du côté de la bande centrale. Les spectres qui s'observent d^ns le cas d'une fente unique ont été appelés par Frauenhofer spectres de première classe.

Des considérations tout à fait élémentaires permettent de déterminer, lorsque l'ouverture diffringente est formée d'une fente unique , les directions sur lesquelles l'intensité lumineuse est nulle. En effet , pour que l'intensité lumineuse, envoyée par l'ouverture en un point P situé à une très-grande distance sur une droite faisant avec la normale au plan de cette ouverture un angle S, soit rigoureusement nulle, il faut et il suffit que, par rapport au point P, la droite AB comprenne un nombre pair d*arcs élémentaires, c'est-à-dire qu'en abaissant du point A une perpendiculaire AL sur la droite BP ((ig. 69) on ait

BL = mX,

d'où, comme on a

on déduit

BL = a sin ^,

. ç, mX smd= — 1 a

valeur identique à celle qui a été trouvée plus haut.

Les directions qui correspondent aux maxima ne peuvent être déterminées aussi simplement; on peut remarquer seulement qu'elles doivent être voisines de celles pour lesquelles AB peut se décou)- ()oser en un nombre impair d'arcs élémentaires, c'est-à-dire des directions qui sont données par la formule

.sin^=iH±ia.

Nous avons vu en effet que cette formule, dès que n a une valeur un pou considérable, indique avec une grande approximation les (iîroctions sur lesquelles l'intensité a une valeur maximum.

Frauenhofer, à qui on doit la découverte des phénomènes que nous Verdrt, V. — Optique, I. 1 8

ûlfi LUMIKRË NON POLAKISEE.

venons de décrire, et en général de tous ceux que présentent les ouvertures diffringentes formées de fentes à bords parallèles lorsqu'on les regarde à travers une lunette ^'^ a reconnu dans ses ex|)ériences (|ue les déviations des rayons rouges dans les spectres successifs forment une série dont les ternies sont entre eux comme la suite des nombres entiers. 11 semble au premier abord que ces résultais soient en contradiction avec la théorie que nous venons d'exposer et d'après laquelle la loi trouvée par Frauenhofer s'applique aux minima d'intensité; mais un examen plus attentif montre que cello contradiction n'est qu'apparente. Les nombres consignés dans le mémoire de Frauenhofer satisfont en effet à la formule

sin è =-- — .

Il condition qu'on donne à X non pas la valeur qui convient aux rayons rouges, mais celle qui correspond aux rayons les plus intenses parmi tous ceux du spectre, c'est-à-dire aux rayons jaunes; or l'absence de ces rayons jaunes produit sur la rétine rimpression d'un rouge sombre teinté de violet. Les directions sur lesquelles cetle dernière nuance présente un maximum d'intensité correspondent donc aux minima de certains rayons simples du spectre, el leurs déviations doivent suivre la loi que la théorie indique pour les minima.

7 I . Diiffraction par deux fentes étroiteii à bords parallèles, égales et très-rapproeiiées l'une de l'autre. — Supposons maintenant que l'ouverture diffringente se conq)Ose de deuv fentes étroites h bords parallèles, ayant chacune une largeur égale à a el séparées par un intervalle opaque doni la largeur, que nous désignerons par 6, soit aussi très-petite.

En raisonnant comme dans le cas précédent, on trouvera, pour l'intensité de la lumière en un point P situé à une très-jjrande dis-

^') Les travaux de Frauenliofer sur la diiïraction se Irouvenl tous exposés dans le M*^ moire ititiUité : Nette Modification de» lÀchu dtirch gegen»eitige Einwirkuntf und Reugnngder Strahlen, und Genelzp derselben , jiwhWé pour ta pi-omièrc fois en i8f<3 dans )e II' vnliinx» des Anh'onomiMche Ahhandlunfren dn Schiimaclior et rnprodiiil on prtie dans le«$ Annafen de

r;i7W/,L Lxxiv, i». 337.

DlFPRAClMON. ûl^

lonce sur une direction faisant avnc In normnh* an plan des fontes un angle S,

,, f (^ .rsin^, , p^' + 'Z .rsiii J , ^o