an- i)an-hi

;)32 LUMIÈRE N0> POLARISÉE.

Cette dernière expression , lorsqu'on passe du terme de rang n

au terme de rang n + t, se trouve multipliée par —.-3' quantité qui,

quelque grand que soit v, devient toujours plus petite que ruiiiié lorsqu'on donne à n une valeur suffisamment grande; le second membre de Tinégalité tend donc vers zéro, et à plus forte raison le reste R.

eos - v^ dv peut d'après cela être regardée comme

la somme de deux séries convergentes : en représentant ces deux séries par M et N, c'est-à-dire en posant

cos - v^iv par C et Tin-

y-»t' , mm

tégrale I ^\n-t^dv par S, il vient définitivement

I cos - irdv = {\ = M cos - t^ + ^ sin - »*.

I sin - V- dv = S == M sin - »•* — W cos - r-. Jo 2 a a

Les séries M et iN sont convergentes quel que soit r; mais elles ne convergent rapidement que lorsque v a des valeurs peu considérables, et c'est dans ce cas seulement qu'elles peuvent être ulilisccf pour le calcul des intégrales.

Les deux relations

ay

dv ' et

i-wri\

dv

qu'on peut vcrilier facilement en remplaçant M et N par leurs valeurs.

DIFFRACTION. 333

sont souvent employées dans la discussion des problèmes de diffracîion.

85. méthode de Cauehy. — Cauchy a indiqué, pour le développement en séries des intégrales de Fresnel, une méthode qui conduit à ce résultat singulier que les séries, divergentes pour toute valeur de. la variable v, convergent cependant rapidement lorsqu'on se borne ù considérer leurs premiers termes dans le cas où t* a une valeur supérieure à l'unité el un peu grande ^*^ On arrive aux séries de Caurhy en intégranl par parties de la manière suivante :

cos-r^//r= TTi'COs-r- — =- — sin r^ + sm -r' — î*

sin-r- — î^— -r-çcos-r-l ~3( coç-r--r-î,

d'où, par des substitutions successives,

c^ w q j TT ., / I 1.3.5 , 1.3.5.7.9 ^

cos-r2rfr = cos v[-r\ ît H nr-^— •••

, . TT „ / I 1.3 1.3.5.7 ^ i R

2 \ TTÎ' TT l' ^ l' /

Le reste R est égal à

+ 1.3.5 ...(3w-i)j^sinjr^^„

ou a