SECONDE PARTIE

BPPETS D'UNE ONDE SPHi^RIQUR, AYANT POUR CENTRE LE POINT LUMINEUX, SUR DKS POINTS SITUis A UNE DISTANCE FINIE.

82. Iniéffralefl de Fresnel. — Nous nous occuperons, dans cette seconde partie, des phénomènes de diffraction qui ont été particulièrement étudiés par Fresnel : ces phénomènes sont ceux qui se produisent loi*squ*une onde sphérique émanée directement du point lumineux rencontre un corps opaque qui la limite, et que les apparences dues à la diffraction sont observées, soit par projection sur un écran placé à une distance finie du corps diffringent, soit, ce qui revient exactement au même, à Taide d*une loupe.

Nous traiterons d'abord le cas où Técran opaqu est terminé par des bords rectilignes, parallèles

alors une onde aya point lumineux 0 I posons -nous de tr cette onde sur un [ distance fmie de l'écran opaque. A cet effet , menons par le point lumineux et par le point P un plan perpendiculaire aux bords de l'écran : ce plan coupe Tonde suivant un grand cercle AX. Divisons ce grand cercle en arcs élémentaires , et par les points de division faisons passer des grands cercles perpendiculaires au plan du p. g grand cercle AX; Tonde se trouvera

ainsi divisée en fuseaux très-étroits ayant pour arête commune le diamètre de la sphère qui est perpendiculaire à ce plan. L'action de chacun de ces fuseaux sur

DIFFRACTION.

le point P se réduit, comme nous Tavons vu (53), à celle d'une zone très-petite s*étendant à égale distance de part et d'autre du grand cercle AX. Si, de plus, la portion efficace de Tonde n!a qu'une petite étendue, comme cela a lieu dans tous les cas que nous aurons à considérer, la largeur des zones e£Scaces qui correspondent aux fuseaux peut être regardée coname constante, et, par suite, lorsqu'il s'agira d'évaluer les intensités relatives de la lumière aux différents points d'une droite BD perpendiculaire à OA et située dans le plan du grand cercle AX, l'onde circulaire AX pourra être substituée à l'onde sphérique.

La droite BD peut être regardée comme l'intersection du plan du grand cercle AX et d'un écran disposé perpendiculairement à OA. Considérons sur cet écran une droite B'D' parallèle à BD et située à une petite distance de BD; par cette droite et par le point lumineux 0 menons un plan que nous prendrons pour nouveau plan

de figure (fig. 70). Ce plan coupe l'onde sphérique suivant un grand cercle A"X" ayant un rayon OA'^ égal à OA, et, pour déterminer l'éclairément relatif des différents points de la droite B'D', on pourra substituer à l'action de l'onde sphérique celle de l'onde circulaire A"X", ou, ce qui revient au même, celle de l'onde circulaire A'X' tangente au bord de l'écran.

Les droites BD et B'D' étant peu éloignées l'une de l'autre, OA' diffère peu de OA, et les positions des maxima et des minima qui existent Fig- 70. sur la droite B'D' par rapport au

point B' sont sensiblement les mêmes que les positions des maxima et des minima qui existent sur la droite BD par rapport au point B. Les maxima et les minima donnent donc lieu sur l'écran à des franges qui, tant qu'on ne s'écarte pas beaucoup du plan mené par le point lumineux perpendiculairement au bord de l'écran, sont sensiblement rectilignes et parallèles à ce bord. Il résulte de là

Wi LUMIÈRE NON POLARISÉE.

qu'il suffit de ronsidrror l'action de l'onde circulaire AX sur les différents points de Bl); on voit éfjaiement qu'en substituant au

point lumineux une fente lumineuse parallt^le aux bords de l'écran diffringent on ne fait qu'augmenter l'éclat du phénomène sans altérer d'une manière sensible la position des maxima et des miniraa.

Nous sommes ainsi conduits à calculer rintensité de la lumière envoyée par une onde circulaire limitée d'une façon quelconque en un point situé dans son plan. Soit AX (fig. 71 ) une onde circulaire ayant pour centre le point lumineux 0. Appelons P le point éclairé, A le pôle de l'onde par rapport à ce point; représentons par a le rayon OA de Tonde circulaire, par h la distance AP; supposons enfin que sur l'onde circulaire la composante de la vitesse parallèle k une certaine direction soit exprimée par sin*î7rq;. La composante parallèle à la même direction

de la vitesse envoyée en P par l'élément (tx de l'onde qui a son milieu en A sera

sin*î7

et celle de la vitesse envoyée au même point P par un élément de l'onde ayant son milieu en un point \f /dont la distance au point P est égale H h + S, aura pour expression

sin *î7r( rp V- jffft.

en négligeant l'influence de l'obliquité par rapporta Tonde de la direction suivant laquelle le mouvement se propage, et en admettant aussi que les différences très-petites qui existent entre les distances des différents points de Tonde au point éclairé n'entraînent

DIFFRACTION. 325

aucune variation appréciable dans la grandeur des vitesses envoyées par ces points.

La vitesse au point P, estimée parallèlement à la direction cour sidérée, est donc représentée par

Imtégration sétendant à toute la portion de Tonde circulaire qui n'est pas interceptée par Fécran diffringent; l'intensité de la composante du mouvement vibratoire suivant celle direction sera par conséquent

P = f j cos^Tr j-f&j + f I sin -jTr^cfc j •

Si Ton estime la vitesse suivant une autre direction, on trouvera pour l'intensité une valeur égale à la précédente, multipliée par uii facteur qui reste constant quel que soit le point éclairé ; l'expression que nous venons de trouver peut donc servir de mesure à Tinten* site totale du mouvement vibratoire.

Gomme nous n'aurons jamais à considérer que l'action de por-* lions de Fonde s'écartant peu du pôle , nous pouvons remplacer S par la valeur que nous avons trouvée précédemment (52) pour cette quantité lorsqu'il .s'agit de points voisins du pôle, valeur qui

est

jf s^a-¥ b)

l'expression de Fintensité devient alors

Les intégrales qui figurent dans le second membre ne sont pas exprimables en termes fmis : il convient donc de faire précéder la discussion des principaux cas de diffraction d'une étude spéciale dé ces fonctions.

Nous commencerons par établir une propriété importante de ces intégrales: cette propriété consiste en ce que leurs valeurs, prises depuis zéro jusqu'à une certaine valeur de s, deviennent constantes

3S6 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

'dès que cette valeur de s est un peu considérable, et que, par conséquent, on obtient sensiblement le même résultat en prenant pour limite supérieure de l'intégration une valeur un peu graAe deiou une valeur infinie de cette variable. Pour démontrer qu'il en est ainsi, considérons, par exemple, la première intégrale : elle représente Taire comprise entre Taxe des x et une courbe dont Téquation est

y==cos7r-jj^.

Les ordonnées de cette courbe reprennent périodiquement les mêmes valeurs; mais la distance entre deux points consécutifs d'intersection de la courbe avec l'axe des x devient de plus en plus petite à mesure que x augmente. Si, en effet, on représente les abscisses de ces deux points par x ei x + h, on aura

___ = (3n + i)-' —ÔFX = {3n + 3)-,

d^où .

(a4-6){aAa;-4-fc*) âb\ =^'

h décroît donc indéfiniment quand x augmente.

L'aire totale de la courbe, aire qui représente l'intégrale prise depuis zéro jusqu'à une valeur infinie de s, se compose, d'après ce que nous venons de voir, d'une série d'aires alternativement positives et négatives et dont la grandeur absolue va en décroissant indéfiniment. Si donc on prend l'intégrale depuis zéro jusqu'à une

valeur de s pour laquelle costt r^p- s'annule, la différence

entre cette intégrale el l'intégrale prise depuis zéro jusqu'à l'infini est moindre que la dernière aire conservée, et peut, par conséquent, être rendue moindre que toute quantité donnée en assignant à la limite supérieure de l'intégrale une valeur suffisamment grande. Il en est de même, à plus forte raison, si la limite supérieure de

l'intégrale est une valeur de s pour laquelle costî. ^ . J* ne s'annule pas; car alors la différence entre cette intégrale el l'intégrale

DIFFRACTION. 327

prise depuis zéro jusqu'à l'infini est moindre que si la limite supérieure de l'intégrale était la valeur de a qui, parmi celles qui annulent la quantité costt — -rr — » est immédiatement supérieure à

la limite réelle.

Revenons maintenant aux intégrales elles-mêmes ; posons

7t(a-hb)s*n^^ d'où

T)' et

/ abX

ds= k —, TT dv;

l'expression de l'intensité prend alors la forme

Les deux intégrales à l'étude desquelles se trouve ainsi ramenée la discussion des problèmes de diffraction se nomment intégrales de Fresnel; elles ne contiennent d'une façon explicite aucune des quantités a, by X, c'est-à-dire aucune des données particulières de la question : il suffira donc de calculer une fois pour toutes les valeurs de ces intégrales prises depuis zéro jusqu'à des valeurs déterminées de V. Remarquons d'abord que, d'après ce que nous venons de voir, on obtient sensiblement la même valeur pour chacune de ces intégrales en prenant pour limite supérieure de l'intégration une valeur de V un peu considérable ou une valeur infinie de cette variable; or une formule connue donne

d'où

J^ s\ntnx^dx==j cosmx^dx=^U^, f^cos'^v^dv^ r°sinîi;2rfr=i:

328 LLMIÈHE NON POLARISÉE.

donc, pour toute valeur un |)eu considérable de t?, chacune des jdlégrales de Fresnel est sensiblement égale à -. Lorsque au contraire la valeur de v est petite, les intégrales ne sont pas exprimables en termes finis, et il faul avoir recours à des méthodes particulières pour les calculer.

La marche sui\ie par Fresnel consiste à décomposer chacune des intégrales en une somme d'expressions directement calculables et à ajouter les résultats;* il a pu dresser ainsi des tables donnant les valeurs des intégrales pour des valeurs croissantes et très-rapprochées de la limite supérieure de l'intégration, la limite inférieure étant toujours zéro. Depuis Fresnel, plusieurs géomètres ont essayé de substituer aux intégrales dés séries se prêtant à une discussion directe. Nous allons faire connaître successivement ces différentes méthodes de calcul.

83. Calcul des intésralen. — Méthode de Fresnel. — r La valeur absolue de chacune des intégrales de Fresnel reste la même lorsque, la limite inférieure étant zéro, la limite supérieure change désigne en conservant la même valeur absolue; il suffit donc de calculer les valeure des intégrales prises depuis zéro jusqu'à des valeurs positives de v. Supposons que l'une des intégrales ait été calculée entre les limites zéro et t, et proposons-nous de trouver sa valeur entre deux limites très-rapprochées i et l + ^ t étant une fraction beaucoup plus petite que l'unité, égale par exemple à o.i. Posons à cet effet

il viendra

pi -ht -. / a ^ / . i \ « 1 cos-r^dv= I cos-hH h") «m.

La variable a reste toujours moindre que -; son carré est donc toujours moindre que ~ , cl par suite très-petit. Si nous négligeons ce

DIFFRACTION. 329

carré, l'intégrale devient

Un calcul lout à fail analogue donne

Ces formules onl été employées par Fresnel |iour calculer les valeurs des intégrales depuis zéro jusqu'à des valeurs de v croissant par dixièmes; il suilil pour cela de laisser à l la valeur constante o,t et de donner successivement à i les valeurs o, 0,1, o,a, o,3,... • on a de cette façon les valeurs des intégrales entre les limites o etp.i, 0,1 et 0,9, 0,9 et 0,3,..., et, en ajoutant les résultats ainsi obtenus^ on trouve les valeurs de ces mêmes intégrales entre les limites o et o,t, o et 0,2, 0 et o,3,.... Les tables ainsi construites montrent que chacune des intégrales tend rapidement, lorsque la limite supérieure augmente, vers la quantité - en oscillant de part et d autre de cette valeur entre des limites déplus en plus resserrées^".

^'^ (JEtttrei connûtes de Frêtnel, t. 1, p. 3 1 9.

330 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

On doit à M. Abria ^^^ des tables plus étendues que celles de Fresnel ; ces tables donnent les valeurs des intégrales pour des valeurs de la limite supérieure croissant par centièmes. Lorsque t est ainsi très-petit, les formules se simplifient et le calcul devient plus rapide, parce qu'on peut négliger non* seulement les quantités plus petites que -, mais encore celles qui sont inférieures à t'. En posant alors

il vient

|. cos-t;*^(fo= I cos-(t + u)^rftt= I cos-(t^+ attt)rftt,

d'où

r cos - v^ffo =^. jsin ^ t (î+ fàt) — sin ^ t^ 1 ;

on trouve de même

I sin- t'2rft; = -^. 1— cos-t (»+ a<)-hcos-t* | •

La méthode de calcul que nous venons d'exposer présente un double inconvénient : en premier lieu, les erreurs commises dans chacun des calculs partiels s'ajoutent et finissent par rendre les résultats inexacts; de plus, il est difficile de déduire des valeurs des intégrales contenues dans les tables des lois simples susceptibles d'une vérification expérimentale.

84. HlétlMkle de BI. MnodMMlumer. — La première tentative faite en vue de substituer aux intégrales de Fresnel des séries an moyen desquelles on puisse rendre manifestes certaines propriétés de ces intégrales qui n'apparaissent pas à l'inspection des tables est due à un physicien allemand, M. Knochenhauer ^^^ Les séries de M. Knochenhauer ont le défaut d'être peu convergentes et ne peu-

(') Joum. de UouviUe, IV, 968.

» Dw Undulatiotutheorie deê Uchte$, Berlin, 1839, p. 36.

DIFFRACTION. 331

vent convenir au calcul des intégrales que pour des valeurs peu considérables de la limite supérieure. Ces séries s'obtiennent au moyen d'une intégration par parties. Considérons en effet la première intégrale I cos - t^ifo : en intégrant par parties, il vient

o 2 a jo a

I i^sin^tr^rf» = ^8in^t^ — ^ | t;*cos^t;'A?,

/t;*cos- «^rft;=^ cos-»^ + -F I »*sin -t^^rf», o a 5a 0 J o a

/t;^sin-»2(fo = -sin-tr^ — - | v^cos-t^dv. o a 737^0 a '

d'oii y par des substitutions successives»

Jo a a Vi 1.3.5 1.3.5.7.9 /

Le reste R est égal à

. rV»cos-«;Vr

2«-l)jo

ou a

^^j^rsinî»»*,,

suivant que le rang n du terme après lequel on s'arrête est pair ou impair. Il est facile de voir que le reste finit toujours par tendre vers zéro; si, en effet, on remplace chacun des éléments de l'intégrale

I t?" sin - t^rf» OU de l'intégrale 1 v**cos-v^dv par l'unité, on

augmente la valeur de ces intégrales : on a donc constamment