an — 3) T'T
Cette quantité, lorsque r a une valeur notablement supérieure à Tunité, peut devenir très-petite pour des valeurs de n peu considérables; mais elle ne tend jamais vers zéro, car, quelque grand que
soit V, le facteur ^» > par lequel elle se trouve multipliée lorsqu'on
passe du terme de rang n au terme de rang n + 1, finit toujours, pour des valeurs suflBsamment grandes de n, par devenir supérieur à Tùnité. Les séries qui entrent dans Texpression des int^rales sont donc divergentes pour toutes les valeurs de v; mais, lorsqu'oa donne à v des valeurs supérieures à Tunité et un peu considérables, les restes de ces séries peuvent devenir négligeables. Ainsi les séries de Gauchy ne peuvent servir au calcul des intégrales que pour des valeurs assez grandes de v, tandis que les séries de Knochenhauer ne convergent rapidement qu'autant que v est petit. En posant
il vient
r°cos-r2rfi; = -Psin-tr^ + Qcos-r«+R,
et de même
r°sin-t>«rft = Pcos-i;2 + Qsin-r«+R'.
Ji> 2 2 ' ^ 2 '
En remarquant que l'on a
rcos-t>^(fo= I cos-t>^cfc— ( cos-r^£fo = - — C, 2 Jo 2 jo 2 2
rsin-r^£/r= ( ûn-t^dv— 1 sin -i;2£/tJ= - — S. a Jo 2 Jo a 2
DIFFRACTION. 335
on obtient définitivement les expressions suivantes :
C= rcosî»»(fo=i + Psin-t»«-QcQs-r*-R.
S= rsin-»««fo = --Pcos-»*-Osin-ty»-R'.
Jo a a a ^ a
On trouve d'ailleurs facilement les deux relations
dv
dP ^
et
86. BlétlMkle de BI. Qllliert. — - Nous exposerons enfin une troisième méthode de calcul due à Mk Gilbert ^*^; celte méthode, supérieure aux deux précédentes, présente avec elles des rapports que son auteur n*a pas aperçus; elle ramène le calcul des intégrales de Fresnel à celui des intégrales eulériennes qu'on désigne par la notation r.
Considérons d'abord l'intégrale C ou 1 cos -v^dv, et posons d'où
dv=-^.
et
dv=
V'awu
En substituant ces valeurs il vient
C = ^| S25iîrf«.
(» Mém, counnméêde VAcad. de BruxeHe$, XXXI, i
336 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
On sait «railleurs que Ton a
d'où l'on déduit facilement, en posant et en regardant u comme une constante,
Jo y .r y M
et
dx
-"dx
\ u \irJo y^ L'expression de C devient donc
d'où, en intervertissant Tordre des intégrations,
,, I i^dx ftt -us j
(j=— ^-r ) --! I e COStIffW.
TTy 2 c'o y .î t'o
L'intégration par rapport à ti s'effectue facilement, car. en intégrant par parties, il vient
( e~"cosudu^e sinu + x \ e'^'sinvdn, Jo Jo
rpr" sinii du = \ — é»~"' cosw — x ( e~" cosudu.
d'où
/^ -«X j X e "'(xcosu— sina)
L'intégrale (1 prend par suite la forme
1 r C'^vidx r^e'^'^K/xdx , . /^ e-'^dx 1
TryaUo i-+-^' Jo »-+-^'' Jo y/x(i-ha'')J
La première des intégrales contenues dans la parenthèse s'évalue facilement en posant
il vient alors
r\/xdx
y/a Jo V 2* — y/a 2 4-1 2* -h y/a z -h i /
v/âraV 2Vv/â2-+-i/o
