arc tang (v/â 2 — i ) + arc tang (v/â 2-4- 1) î

En posant

Try/aJo iH-x*

nons aurons définitivement

(j=- I cos-t?^ifo = ^~Gcosfi4-Hsinu,

et, par un calcul tout à fait analogue,

S--= ( sin-t?^ifo=-= Gsinn — H costi.

Jo 2 a

En comparant ces formules avec celles de Gauchy, on voit que, lorsque les restes R et R' des séries de Gauchy sont négligeables, on a

Vkkdit, V. — Optique, I. 9^^

Les séries de Cauchy peuvent donc servir à calculer les intégrales G et H de M. Gilbert toutes les fois que u a une valeur un peu considérable.

Lorsque la valeur de u est petite, les séries de Knochenhauer peuvent être employées pour le calcul des intégrales G et H. Les formules de M. Gilbert donnent en effet

G =-(costt + sinu) — CcosM — Ssinu,

H = -(costi — sintt) + Csinu — Scosu,

et celles de Knochenhauer

C =- M costi+ N sinw, S= - Ncosu + Msinw:

il vient par conséquent

G =- (costt + sinti) — M,

H = -(costt — sintt) + N.

Les intégrales G et H peuvent donc être calculées à l'aide des séries M et N lorsque ces dernières sont suffisamment convergentes, c'est-à-dire pour de petites valeurs de la variable u.

Les intégrales G et H, qui peuvent être regardées comme des fonctions de u, possèdent une propriété très-importante et qu'il est facile de mettre en évidence. Lorsque u est égal à zéro, on a

or, d'après des formules connues,

S/x dx jt^ r^ dx 7t

\+x^ y/çj Jq yJx(\-\-x^) y/a'

donc, pour une valeur nulle de u, on a

La quantité u est toujours positive; si on lui donne des valeurs croissantes à partir de zéro, la quantité e~"* décroît rapidement, et par suite il en est de même de chacun des éléments des intégrales G et H. li résulte de là que ces intégrales décroissent rapidement et rfW manière continue lorsqu'on donne à u des valeurs positives croissantes, et qu'elles tendent vers zéro lorsque u augmente indéfiniment. Cette propriété des intégrales G et H nous sera du plus grand secours dans la discussion des problèmes de diffraction et constitue In supériorité de la méthode de M. Gilbert sur celles de Knochenhauer et de Gauchy.

A. — Pll^IfOMènES PRODUITS PAR UN ÉCRAN OPAQUE IRD^FIHl D*DIf CÙti ST TBBMIlli DI LUDTRE PAR UN BORD RRCTILIGIIR ÉGALBMBlfT HIDÉPINI.

87. Deseriptloii des pliéiionièiie» et (liéorie élémeiiiftlre. — Nous allons appliquer successivement les méthodes de calcul que nous venons de faire connaître à la discussion des principaux cas de diffraction. Supposons d'abord que l'écran diffringent soit indéfini d'un côté et terminé de l'autre par un bord rectiligne également indéfini. Soit 0 le point lumineux (fig. 69), et considérons une onde tangente au bord de l'écran; par le point 0 menons un plan perpendiculaire à ce bord : ce plan passera par le point de contact A et coupera l'onde suivant un grand cercle AX. D'après ce que nous avons vu plus haut (82), il suffît de chercher la distribution de la lumière sur une droite BD, menée dans ce plan perpendiculairement au rayon OA qui passe par le point de contact, et, de plus, les apparences ne sont pas sensiblement changées lorsqu'on substitue au point lumineux une fente lumineuse parallèle au bord de l'écran.

En observant, dans les conditions que nous venons d'indiquer, le phénomène projeté sur un écran à une distance peu considérable du corps diffringent, ou en le regardant directement à l'aide d'une loupe, on constate les apparences suivantes :

i"" L'ombre ne commence pas sur la droite BD au point B, comme le veut la théorie géométrique : dans l'intérieur de l'ombre géométrique et jusqu'à une distance sensible du point B il y a de la lumière; cette lumière s'affaiblit rapidement et d'une manière continue