Calcul de Tlnteiislté par la métliade de Fresnel
Désignons par a le rayon OA de l'onde, par b la distance AB de l'écran sur lequel on suppose le phénomène projeté à l'écran diffringent (fîg. 69). Prenons dans l'intérieur de l'ombre géométrique un point M : le pôle de ce point se trouve en G, et la distance MG varie avec la position du point M; mais, si l'on n'observe les phénomènes que dans le voisinage de la limite de l'ombre, seule région où l'intensité varie d'une manière sensible, on peut admettre que la distance MG est égale à AB, c'est-à-dire à b. L'intensité lumineuse au point M, d'après les formules établies précédemment (82), a donc pour expression
en appelant S l'arc AG qui sépare le pôle du point M du bord de l'écran. Si nous posons
2 ~~ abX cette expression devient
"-M^.[(r-'''*)'+(jr''"i-*)']-
La limite inférieure V des intégrales est liée à l'arc S par la relation
Uk LUMIÈRE NON POLARISÉE.
Avant d'entrer dans la discussion des valeurs que prennent les intégrales lorsqu'on fait varier V, il est utile d'exprimer en fonction de V ia distance BM du point M à la limite de l'ombre géométrique, distance que nous représenterons par x. L'arc AG étant assez petit pour pouvoir être confondu avec sa tangente, on a
d'où
Y au
La valeur ainsi trouvée pour x va nous conduire à une conséquence générale fort importante. Si l'on considère le phénomène à des distances différentes du corps diffringent, c est-à-dire si l'on donne à b différentes valeurs, les valeurs de x qui correspondent à un même maximum ou à un même minimum sont données évidemment par la même valeur de V, car le facteur— r^ — r;^ ^^ entre
dans l'expression de l'intensité, n'influe pas sur les positions qu'occupent les maxima et les minima pour une valeur déterminée de b. Les positions occupées par un même maximum ou par on même minimum à des distances variables du corps diffringent sont donc telles que l'on ait toujours
Y aa
V conservant une valeur constante. Il résulte de là que ces positions forment une courbe dont l'équation est, en prenant pour axe des y ia droite AB et pour axe des x la perpendiculaire à cette droite menée par le point A,
ou
2ax^-Vny^-a\^Xy=o.
Cette équation représente une hyperbole ayant pour sommets les points 0 et A. Donc, lorsqu'on s'éloigne de l'écran diffringent, les
DIFFRACTION. 365
franges se déplacent suivant des branches d'hyperbole ayant pour sommets le point lumineux et le point où le plan mené par le point lumineux perpendiculairement au bord de Técran rencontre ce bord.
La valeur obtenue pour x montre de plus que les franges vont en s'élargissant à mesure qu on les observe à une distance plus grande de Técran diffringent, et aussi à mesure qu'on rapproche la source lumineuse de cet écran.
Supposons actuellement que h conserve une valeur constante : l'intensité lumineuse au point M situé dans l'ombre géométrique est alors représentée par
"=Tii^[(r-'''*)'+(ir""'''*)']-
En posant
Jcos ^ t^dv = Cv , 0 3
sin — v^dv = Sv et en remarquant que l'on a
/cos - v^dv == I s celte expression devient
On est ainsi conduit à discuter l'expression
qui est une fonction de V. Si Ton cherche, comme l'a fait Fresnel, les valeurs de cette fonction pour des valeurs de la variable V croissant par dixièmes, en employant pour le calcul des intégrales Gy et Sv la méthode que nous avons indiquée précédemment (83), on trouve que ces valeurs vont en décroissant d'une manière rapide et
cos^t?^rft>== I sin-t?2£fo=-»
3&6 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
deviennent sensiblement nulles dès qu'on donne h V une valeur un peu grande. Mais il n'est pas démontré par là d'une manière rigoureuse qu'il n'y ait à l'intérieur de l'ombre géométrique ni maximum ni minimum, et, à ce point de vue, la théorie élémentaire est plus complète que la théorie mathématique telle que l'a donnée Fresnel. Pour un point situé en dehors de l'ombre géométrique, l'intensité est représentée par
=7ïi^6i[a+«')*+G+s«)']-
L'expresiiion que Ton u à discuter est donc dans ce cas
Les calculs cii'ectués par Fresnel montrent que cette expression, lorsque V croit d'une manière continue, passe par une suite de valeurs allernalivement croissantes et décroissantes, et présente par conséquent une série de maxima et de minima. Les tables dressées par Fresnel donnent les valeurs de cette expression pour des valeurs de V croissant par dixièmes; il est donc toujours possible de trouver deux nombres différant d'un dixième et entre lesquels est comprise la valeur de V qui correspond à un maximum ou à un minimum d'un rang déterminé. Soient t et t+ 0,1 ces deux nombres, et représentons par t + Ma valeur de V qui correspond au maximum ou au minimum; pour déterminer cette valeur de V, il suffira de chercher la valeur de t qui rend maximum ou minimum l'expression
(i+C. + j;'^'cos%^J«)^+(i+S,+j;'"'sin^.^A,)«-
Les valeurs des intégrales C- et S, se trouvent dans les tables; en intégrant de ik i + t par la méthode d'approximation la plus simple, méthode que nous avons indiquée en parlant de la construction des tables cl qui n'est applicable que pour de petites valeurs de <, l'ci-
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pression précédente devient
+ iî + S. + i[-cosf{.^^ + .,0 + cos^^]f.
En égalant à zéro la dérivée de cette expression par rapport à /, on a une équation qui détermine la valeur cherchée de /; cette équation est
ji + C, + i^.[sin^(.^+a,/)-sinf.^]!cosf(r^+a.O
+ iî + S' + îï[-'="'?(''"+»'')+'^°*^\||sinf(t^+a.O = o. doii
(i4-C,-4sin^^^)cos^(.^+a,t)
+ G+S, + ^.cos?.^^)8in^(,^^+.,V) = o.
et enfin
-+C- :sin - H
lang-(e^+9iO = -r ^ ~ "i n ./
