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On peut donc calculer les valeurs de V qui donnent les maxima et les miniuia et en déduire dans chaque cas particulier, c'est-àdire lorsque les quantités a, & et X sont données, les valeurs corres* pondantes de x. On a ainsi les éléments d'une comparaison entre la théorie et l'expérience; mais ici se présente une difficulté : pour effectuer cette comparaison, il faut mesurer les distances des franges à la limite de l'ombre géométrique ; or, cette limite n'est pas une ligne physiquement déterminée. Fresnel a réussi à tourner cette difficulté: il employait deux écrans à bords rectilignes et parallèles, assez éloignés l'un de l'autre pour que les systèmes de franges produits par ces deux écrans ne pussent pas s'influencer réciproquement. Pour s'assurer que cette dernière condition était remplie, il
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se servait d'abord d'un seul écran et faisait coïncider le trait du micromètre avec le milieu d'une frange; il constatait ensuite qaen ajoutant le second écran cette coïncidence n'était pas détruite. Les deux écrans, se trouvant à la même distance de la source lumineuse, donnaient naissance à deui systèmes de franges dans lesquels les maxima et les minima de même rang étaient à la même distance de la limite de l'ombre géométrique de chaque écran. Donc, en mesurant la distance de deux franges occupant le même rang dans les deux systèmes et en retranchant cette distance de celle des limites "des ombres des deux écrans, on avait le double de la distance d'une de ces franges à la limite correspondante; la distance entre les limites des deux ombres se déduisait facilement de la distance entre les bords des deux écrans, longueur qu'on mesurait avec beaucoup de soin au commencement de l'expérience.
Les formules que nous avons établies plus haut permettent d'ailleurs de calculer non-seulement les valeurs de V ou de x qui correspondent aux maxima et aux minima de l'intensité, mais encore les valeurs de ces maxima et de ces minima eux-mêmes ; on trouve ainsi que la différence entre un maximum et un minimum consécutifs décroît très-rapidement lorsqu'on s'éloigne de l'ombre géométrique, ce qui explique pourquoi les franges ne s'observent que dans une région peu étendue.
Une remarque assez simple, qui a échappé à Fresnel, permet de trouver la loi qui règle la position des franges d'un rang un peu élevé à l'extérieur de l'ombre géométrique. Les valeurs de V qui rendent l'intensité maximum ou minimum doivent annuler la dérivée par rapport à V de l'expression
(1+C,)'+(1 + S,)>; ces valeurs vérifient donc l'équation
d'où
(l + Cv)co8^V^4-(i + S,)sinJV«=o.
DIFFRACTION. 349
et enfin
tang^V»
Lorsque V a une valeur un peu considérable , les intégrales Gy et Sv se rapprochent beaucoup de leur limite commune, qui est égale à -; l'examen des tables montre en particulier que ces intégrales se confondent sensiblement avec leur limite dès que la valeur de V est supérieure à 6. Dans ce cas, l'équation précédente se réduit à
tangfV»^-.
et donne pour V deux séries de valeurs déterminées par les relations
Pl
il est facile de s'assurer que la première série correspond aux maxima et la seconde aux minima. On a d'ailleurs
9ry2 9r(a--Hfe)S' 2 ahX
d'où
VA (g -4-6)8*
comme la différence S des distances du point éclairé au pôle et au bord de l'écran est représentée par -r-^ » il vient
^Y1^, d'où V2 = ^.
En substituant cette valeur dans les relations qui déterminent les valeurs de V correspondant aux maxima et aux minima, on voit
350 LUMIÈRE NON POLARISÉE,
que. pour tes points où Tintensité est maximum, on a
et, pour les points où l'intensité est minimum.
Ainsi, il y a maximum lorsque la différence des distances du point éclairé au pôle et au bord de l'écran est égale à un nombre impair de demi-longueurs d'ondulation moins un huitième de la longueur d'ondulation, minimum lorsque cette différence est égale à un nombre pair de demi-longueurs d'ondulation moins la même fraction de la longueur d'ondulation.
Cette loi, d'après laquelle les maxima et les minima réels sont un peu plus rapprochés de la limite de l'ombre géométrique que ceux qu'indique la théorie élémentaire, n'est vraie que pour les franges d'un rang élevé. Pour qu'elle soit applicable, il faut en effet que l'on ait
d'oîi
Ce n'est donc qu'après la neuvième frange brillante que la loi pourra se vérifier, en supposant que des franges d'un rang aussi élevé soient encore visibles.
