Calcul de rintcnsité par to méthode de M. «llbeH
— Les séries de Cauchy n'étant applicables au calcul de l'intensité lumineuse qu'autant que la valeur de V est notablement supérieun* à l'unité, leur emploi ne présente qu'un avantage assez restreint. La méthode de M. Gilbert va nous conduire d'une manière beaucoup plus simple et plus rigoureuse aux lois que nous avons obtenues par approximation , et nous montrer que l'approximation est déjà trèsgrande à une très-petite distance de Lt limite de l'ombre géométrique.
Les intégrales G et H de M. Gilbert sont liées rigoureusement et pour toutes les valeui's de V aux intégrales de Fresnel par les relations qui existent d'une manière approchée entre ces dernières inl*'
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grales et les séries P et Q de Gauchy. Les équations auxquelles nous sommes arrivés en suivant la méthode de Gauchy sont donc rigoureusement vérifiées pour toutes les valeurs de V lorsqu'on y remplace P par H et Q par G.
H résulte de là qu'à l'intérieur de l'orabre géométrique les valeurs de V qui correspondent aux maxima et aux minima doivent vérifier l'équation
oi que l'intensité est re|)résentée pour tous les points situés à l'intérieur de l'ombre par
L'équation
n'a pas de solution , puisque tous les éléments de l'intégrale 6 sont positifs; les intégrales G et H décroissent d'ailleurs rapidement et d'une manière continue lorsqu'on fait croître V, et par suite la variable u dont dépendent ces intégrales, et il en est de même de l'expression G^+ H^ à laquelle l'intensité est proportionnelle. Ainsi se trouve rigoureusement démontrés le décroissemenl continu de la lumière et l'absence de franges à l'intérieur de l'ombre géométrique.
A l'extérieur de l'ombre géométrique les positions des maxima et des minima sont données rigoureusement par l'équation
(i) sin-V2+cos-V2=G,
quelle que soit la valeur de V.
L'intégrale G décroît très-rapidement quand V croît à partir de zéro; donc, pour les valeurs de V qui ne sont pas très-petites, l'équation ( I ) peut s'écrire approximativement
(9) sin-V2 + cos-V2=o.
En substituant dans le second membre de l'équation (1) les valeurs approchées de V oblennes à l'aide de l'équation (9), on aura
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des valeurs plus exactes; mais les valeurs tirées de l'équation (2) sont déjà beaucoup plus approchées qu'on ne serait porté à le croire. Si, par exemple, nous considérons le premier maximum, nous aurons, d'après l'équation (3), pour la différence S des distances du point éclairé au pôle et au bord de l'écran ,
en substituant cette valeur dans l'équation (1) on en déduira la valeur plus approchée
S = -^X— o,oo46X.
L'erreur commise en adoptant la première valeur de S est donc trop petite pour pouvoir être reconnue même par les procédés de mesure les plus délicats.
Pour le premier minimum, la valeur de S tirée de l'équation (:>) est
et celle qu'on obtient au moyen de l'équation (1) 5-=^X + o,ooi6X.
On peut remarquer que la valeur donnée par l'équation (9) et correspondant au maximum est approchée par excès, tandis que celle qui correspond au minimum est approchée par défaut. Il esl facile de voir que cette remarque s'applique aux maxima et aux minima d'un ordre quelconque. H suffit pour cela de se rappeler que
rinté{jrale (J, qui est égale à - lorsque V est nul, décroît d'une
manière continue en restant positive quand on fait croître V à partir
dejzéro, tandis que la quantité sin - V'-^ + cos - V^ prend alors dos
valeurs alternativement positives et négatives, d'où il résulte que cette dernière quantité devient égale h G avant de s'annuler el après s'être annulée et que, par suite, les racines de l'équation (il sont alternativement plus grandes et plus petites que relies de IV-
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quation (a). Donc, si ia valeur de V donnée par l'équation (a) et qui correspond au premier maximum est approchée par excès , il en est de même de toutes les valeurs tirées de cette équation et correspondant aux autres maxima; par la même raison, toutes les valeurs données par l'équation (â) et correspondant aux minima sont approchées par défaut.
En remplaçant P par H et Q par G dans la valeur que nous avons obtenue en suivant la méthode de Cauchy pour l'intensité lumineuse en dehors de l'ombre géométrique, nous aurons une expression qui convient à tous les points situés en dehors de cette ombre, quelle que soit leur distance à la limite de l'ombre. Cette expression est
-3G(sln^V-' + cos^V2)], d'où . en remarquant que l'on a
sin - V'-' 4- cos - V-'= v/1 sin - fV-' + -) -
Pi
sin-V'^- cos-V2=.--\/ircos-fVM--V
-av/tTGsinf(VH-^)]- En remplaçant a par 9 sin"^- fV-+ -j +cos''^- f V-+ -] Lilvient
''-r5TE]i[«-v^-'(v'+i)]'
+ [H-^/ïcosî(v>+i)]'j■
Cette dernière expression fait connaître la valeur de l'intensité pour un point quelconque situé en dehors de l'ombre géométrique; elle se simplifie notablement pour les points où l'intensité est maximum
;558 LUMIÈRE .^0^ POLARISÉE.
OU miiiiiuum: dans ce cas en eflct on a très-approximaiivement
sui - \-H-cos- \- =- 0,
d'où
sinf(\-4-i)^o
et l'expression de l'intensité devient
Celte valeur de l'intensité peut se simplifier encore; car, d'une pari, les tables dressées par M. Gilberl montrent que l'iiil*^grale G est toujours beaucoup plus petite que l'inléyrale H, el, dr l'autre, pour les points oii l'intensité est maximum ou niinimuiiK
ros - (V^ + ~) diffère très-peu de — i ou de + t ; l'inlensité en ces
points est donc sensiblement représentée par
3(rt-4-6i \ ^ j
le signe -h s'appliquant aux maxima et le signe — aux niiaima.
La différence d'intensité entre un maximum et un minimum consécutifs est d'après cela —. -n ay'^ (H1 + H2), Hj étant la valeur de
H qui correspond au maximum, H^ celle qui correspond au minimum. Les quantités Hj et H2 décroissant rapidement à mesure qu'on s'éloigne de la limite de l'ombre géométrique , il en est de même de la différence d'éclat entre une frange brillante et la frange obscure suivante.
Quant à la loi du décroissement de l'intensité à l'intérieur de l'ombre géométrique, elle est beaucoup plus difficile à mettre en évidence au moyen de la méthode de M. Gilbert que par celle de Cauchy.
