CAlcid de l*iiiteiuilté imr te métlMde die M. Gilbert

— La métbode de Fresnel appliquée au cas actuel ne conduit u aucun résultat général ; nous ferons donc immédiatement usage de la méthode de M. Gilbert, dont l'application au cas d'une fente étroite ne souffre aucune diiliculté après les développements dans lesquels nous sommes entrés en traitant le cas d'un corps opaque étroit.

Considérons d'abord le point P, situé dans la projection conique (le la fente diflringente et ayant pour pôle le point D : en désignant par h l'arc CD et en comptant positivement les arcs situés du même côté du pôle D que le point C, les limites des intégrales de Fresnel en 8 sont —(/ — A) et + (/+A), et celles des intégrales en v sont

— {e — (i) et +[e-\-fi) si l'on pose

ia-*-h)

l'expression de l'intensité en P est donc

En posant, comme dans le cas précédent,

et, en suivant exactement la même marche, il vient

I«-=K[(i -G^cosa+H^sina-G^cosi84-H^sinj8j2 + ( t — G^ sin a — H^ cosa — G^sin /S — Hacos ^y 1

L'équation qui détermine les maxima et lesminima s'obtient en égalant à zéro la dérivée do l'intensité par rapport à |u, ce qui donne

(i — G^cosa+H^sina — G^cosjS+HgsinjSWcosjS — cosa) + (i — G^sina — H^^cosa — GflsinjS HflCOSj8)(sinj8 — sina)= o,

d'où Ton tire, en effectuant toutes les simplificalions,

s'wiepL |v/Qcos~fe^+f*2 + M + (G^-Gfl)sin7re|ùt

38/i LUMIÈRE NON POLARISÉE,

équation qui se décompose en deux autres qui sont (t) sinnefi-^o

et

(9)*(H^+H^)coswe/i-(G^ G^)sinirefi = \f'^cos'^[f+(i^ + '^'

Or, à Textérieur de Tombre {jéoniétrique d'un corps opaque étroit, les positions des niaxima et des minima de lumière sont déterminées, comme nous l'avons vu, par les équations

sin7ref*= o et

(H« — H|3) cos7re/i — (G,+ G|g) sin irefi^s/^ cos ^ (e^+(i^ + M •

La première de ces équations est identique h l'équation (i); la seconde diffère trèîv-peu de l'équation (9), car les seconds membres sont identiques et les premiers membres sont toujours très-petits de part et d'autre. Nous arrivons ainsi à cette proposition remarquable, que les franges intérieures à l'image géométrique d'une fente étroite sont distribuées très-approximativement suivant les mêmes lois que les franges extérieures à l'ombre géométrique d'un corps opaque de même largeur que la fente : les positions des première^ s'obtiennent en faisant varier (i de zéro à e, et celles des dernières en faisant varier fi do eh + x>. Aucune des équations (1) et (d) n'a du reste le privilège de déterminer exclusivement soit des maxima , soit des minima.

Il est particulièrement intéressant de chercher ce qui a lieu au point M, qui occupe le milieu de l'image de la fente diffringente. lorsqu'on observe les phénomènes à différentes distances de cette fente. Au point M on a toujours

la dérivée de l'intensité par rapport à (i s'annule donc constamment en ce point, et, par suite, l'intensité y présente toujours un maximum ou un minimum. Il v a maximum ou minimum en M suivant

DIFFRACTION. 385

que, quand (i passe du négatif au positif, la dérivée de l'intensité par rapport à (x passe du positif au négatif ou du négatif au positif. Or celte dérivée est un produit de deux fadeurs dont le premier, qui est sinir efi, a toujours le même signe que fi^ et dont le second se réduit au point M k

si la valeur que prend ce second facteur au point M n'est pas nulle, il y aura donc maximum ou minimum en M suivant qu'elle sera négative ou positive. Toutes les fois que la fente diflringente n'est pas excessivement étroite, et qu'on n'observe pas les phénomènes à

une très-grande distance du corps diffringent, la quantité - e^. n'est pas extrêmement petite et la quantité H - e^ est négligeable. La condition qui doit être remplie pour que l'intensité présente un minimum en M se réduit alors à

ce qui signifie que l'arc - f e^+ - j doit être compris entre aww

etauTT-l-- et que l'on doit avoir par conséquent

Si l'on représente par S la différence des chemins BM et CM, on a

comme d'ailleurs

il vient

, aP(a4-6)

et la condition précédente peut être mise sons la forme

Vfjidbt, V. — Optique. I.

386 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

L'intensité est donc minimum au point M lorsque la différence des chemins BM et CM est comprise entre deux limites dont la moyenne est égale à un nombre pair de demi- longueurs d'ondulation diminué d'un buitième de longueur d'ondulation , et qui diffèrent chacune de cette moyenne d'un quart de longueur d'ondulation.

On voit de même que l'intensité est maximum au point M lorsqu'on a

(9?ï4-i)- + §X>>^>>Qn- + gX,

c'est-à-dire lorsque la différence des cbemins BM et CM est comprise entre deux limites dont la moyenne est égale à un nombre impair de demi -longueurs d'ondulation diminué d'un huitième de longueur d'ondulation , et qui diffèrent chacune de cette moyenne d'un quart de longueur d'ondulation.

Lorsque l'on a

cosJ(e2 + ^) = o

et par conséquent

ou

la dérivée seconde de l'intensité par rapport à fi est nulle au point M , car, la dérivée première pouvant être mise sous la forme

Fsin7re/x,

la dérivée seconde est égale a

et se réduit par conséquent à zéro au point M, où sin?r5/:A est nul ainsi que le facteur F, que nous avons supposé pouvoir être confondu

avec cos- fe^ + - j • 11 faut alors avoir recours à la dérivée troisième

pour reconnaître si l'intensité présente en M un maximum ou un minimum; mais, dans tous les cas, on voit que, lorsque S a une de?

DIFFRACTION. 387

valeurs pour lesquelles s'effectue le passage du maximum au minimum ou rëciproquement, l'intensiti^ varie dans le voisinage du point M beaucoup plus lentement que lorsqu'il y a en W un maximum ou un minimum ordinaire.

Si la dislance à laquelle on observe les phénomènes est trèsgrande, la frange qui occupe le milieu de l'image de l'ouverture doit évidemment toujours être brillante; lorsque cette distance a atteint une certaine valeur, l'intensité que présente la lumière au milieu de l'image de la fente cesse donc d'être alternativement un maximum ou un minimum et reste constamment un maximum.

Considérons maintenant les points situés en dehors de rima<je géométrique de la fente diffringente, c'est-à-dire dans l'intérieur de l'ombre géométrique. En suivant la même marche que précédemment nous trouverons qu'en ces points l'intensité a pour expression

12= K [(G^cosa - H.sina - G^cos/3+ H^sinjSy^

+ (G^ sina-h H^ cosa — G«sin jS — H-gCos/SV-l ^

et nous obtiendrons, pour déterminer les maxima et les minima, l'équation

(3) ~ (G^+Gfljsin^Trejùt+fH^ — Hfljsinwe|xcoswe^ = G,

qui se décompose en deux autres,

(^i) sin7re|u = b

{-) tang7r5^ = g-:^.

Il est facile de s'assurer, à l'aide du raisonnement que nous avons enqdoyé lorsque nous nous sommes occupés de la distribution de la lumière à l'intérieur de l'ombre géométrique d'un corps opaque étroit, qu'ici les racines de l'équation (A) correspondent à des minima et celles de l'équation (5) à des maxima.

A l'intérieur de l'ombre géométrique d'un corps opa(|ue étroit les positions des maxima sont déterminées par l'équation

simrepL^ o.

388 LUMIÈRE NON t^OLARISÉE.

et celles des minima par réquation

La première de ces équations est identique à Féquation (A), la seconde diffère très-peu de l'équation (5): on voit donc que les franges extérieures à l'image géométrique d'une fente étroite sont distribuées très-approximativement suivant les m^mes lois que les franges intérieures à l'ombre géométrique d'un corps opaque de même largeur que la fente ; pour obtenir les positions des premières , il faut faire varier |u de e à + c» ; pour avoir celles des dernières, il faut faire varier fi de zéro à e.

Les franges produites par une ouverture triangulaire allongée sont tout à fait assimilables à celles qu'on observe dans l'ombre d'une aiguille, et présentent comme ces dernières une forme hj-perbolique; les asymptotes de ces hyperboles sont la hauteur du triangle qui forme l'image géométrique de l'ouverture diffringente, et une perpendiculaire à celte hauteur menée par le sonnnet. il faut remarquer seulement que, dans le cas actuel, la frange centrale est dans sa longueur alternativement brillante et obscure si Ton emploie la lumière homogène, et teinte de différentes couleurs si l'on opère avec la lumière blanche; cela tient à ce que, à une distance constante du corps diffringent, l'intensité de la frange centrale dans la lumière homogène, et par suite sa couleur dans la lumière blanche, dépendent de la largeur du corps diffringent.

98. Influenee diu diAméfre «piiareiif de te soiu-ce et de l'inelliiAisoii de 1» fente. — L'influence du diamètre apparent de la source, dans le cas d'une fente étroite à bords reclilignes et parallèles, se fait sentir absolument de la m^me manière que lorsqu'il s'agit d'un corps opaque de même largeur que la fente; il est donc possible de distinguer les franges que donne une fente éclairée directement par le soleil, pourvu que cette fente soit suffisamment étroite.

Nous avons enfin h indiquer les modifications que subit l'aspect des phénomènes lorsque la fente est inclinée par rapport à la direc-

tion moyenne des rayons, comme cela a lieu, par exemple, lorsque rouverture diffringente est formée par deux écrans A et B (lig. 77) inégalement éloignés de la source lumineuse. Les phénomènes cessent alors d'être symétriques par rapport à la bissectrice SM de l'angle ASB :

la frange centrale doit en elfet , d'après la théorie élémentaire, passer par un point M, de la droite GH tel, que les arcs efficaces situés de part et d'autre du pôle du point M, sur Tonde tangente à l'écran A aient même longueur; d'où il suit que le pôle D du point Mj doit se trouver à égale distance du point A et du point D' ou la droite M,B j,. prolongée rencontre l'onde

tangente en A au premier écran; ce point M, se trouve donc du même côté du point M que l'écran B le plus éloigné de la source lumineuse, et la distance entre les points M et M, augmente à mesure qu'on éloigne l'écran B de la source lumineuse. Les phénomènes produits par une fente inclinée permettent d'expliquer certaines apparences observées par lord Brougham ^*^ et qui lui avaient paru en contradiction avec la théorie de Fresnel. Les expériences faites par lord Brougham consistent essentiellement h observer d'abord les franges produites par un premier écran et à constater ensuite les modifications qui surviennent dans l'aspect de ces franges lorsqu'on ajoute un second écran B; d'après ce que nous venons de dire, quand les deux écrans sont placés de part et d'autre de la droite SM et constituent par conséquent une fente diffringente, les phénomènes sont symétriques

^'^ C. f?., XXX, /i3, 67; XXXIV, 127; XXXVI, 891. - Phil. Tram,, i85o, p. 335; Vrocefd, oj, R. 5., VI, 172, 3ia.

par rapperl à une frange centrale qui se déplace du côté de l'écran B à mesure qu'on éloigne celui-ci de la source; lorsqu'au contraire les deux écrans sont placés du même côté de SM, les apparences sont les mêmes (ju'avec un seul écran, car dans ce cas celui des deux écrans qui est en retrait sur l'autre n'a aucune influence sur le phénomène.

99. Pliénoiiièiics produits par dciinL tewktmm étroites , éffolesy à bords rectilisnes et porollèles , séparées par un intervalle opaque. — Fresnel, dans son grand travail sur la diffraction , a examiné un certain nombre de cas plus complexes que ceux dont nous avons parlé jusqu'à présent, et en particulier celui où l'ouverture diffringente est formée de deux fentes étroites et séparées par un intervalle opaque, ces deux fentes ayant même largeur et étant limitées par des bords rectilignes et parallèles. Lorsqu'on observe dans ce cas les phénomènes à une distance des fentes qui n'est pas trop considérable, on aperçoit dans l'image de chacune des fentes un système de franges tout à fait semblable à celui qui est produit par une fente unique , c'est-à-dire un système dont la frange centrale change de couleur dans la lumière blanche lorsqu'on fait varier sa distance au corps diffringent. Dans l'ombre de l'intervalle opaque qui sépare les deux fentes se trouve un système de franges qui ressemblent aux franges d'interférence; la frange centrale de ce système est toujours brillante, et les franges obscures sont presque complètement noires. La production de ce dernier système de franges est facile à expliquer : si en efl*et les fentes sont suffisamment étroites et si l'on observe les phénomènes à une distance assez grande du corps diffringent, la vitesse envoyée par chacune des fentes en un point situé dans Tombre de l'intervalle opaque est sensiblement constante dans toute l'étendue de cette ombre, car les franges produites par une ouverture unique sont, comme nous l'avons vu, d'autant plus larges que la fente est plus étroite et que les franges sont observées à une plus grande distance du corps diffringent. Dans ces conditions, il y aura donc maximum ou minimum de lumière en un point situé dans l'ombre de l'intervalle opaque, suivant qu'en menant par ce point un plan perpendiculaire aux bords des

DIFFRACTION. 391

fentes diifringentes les distances du point considéré k deux points compris dcins ce plan et occupant sur les deux fentes des positions homologues diffèrent d'un nombre pair ou impair de demi-longueurs d'ondulation : il résulte de là qu'il doit toujours y avoir un maximum au milieu de l'ombre de l'intervalle opaque, et que les vitesses envoyées par les deux fentes aux points qui correspondent aux minima sont sensiblement égales et de signes contraires, ce qui montre que les minima doivent être presque entièrement noirs.

En réalité, les franges d'interférence qui se produisent dans Tombre de l'intervalle opaque ne sont jamais complètement pures, car les rayons qui , en se rencontrant, donnent naissance à ces franges ont déjà été modifiés par la diffraction ; dans la lumière homogène, la frange centrale, tout en restant toujours brillante, présente un éclat plus ou moins considérable suivant que, pour un point de cette frange, chacune des fentes comprend un nombre impair ou un nombre pair d'arcs élémentaires, et, ^ar conséquent, dans la lumière blanche, cette frange centrale est toujours légèrement colorée. Les franges qui apparaissent lorsqu'on fait tomber la lumière sur deux fentes étroites et rapprochées, si elles ne sont pas très-pures, ont du moins l'avantage de pouvoir être produites avec une grande facilité : c'est à l'aide de ces franges que Young est parvenu à démontrer pour la première fois par l'expérience le principe des interférences; c'est aussi sur ces franges qu'on obser\'e le plus aisément

le déplacement dû à l'interposition d'une lame mince sur le trajet d'un des faisceaux interfèrent» (2/i).

Nous citerons encore une expérience remarquable de Fresnel, qui se rattache au cas de diffraction dont nous venons de parler et qu'il a présentée comme un argument contre la théorie qui attribue les phénomènes de diffraction à la déviation des rayons par les bords des corps opaques. 11 découpa une feuille de cuivre de façon à lui donner la forme représentée dans la figure 78, et observa les

Fig. 7«.

franges produites par ce système diffringent forme à la partie inférieure de deux fentes très-étroites que sépare un intervalle opaque relativement beaucoup plus large, et à la partie supérieure d'un cor|Ks opaque d'une largeur peu considérable ^'l En éloignant du corps diffringent la loupe avec laquelle il regardait les franges, il vit bientôt les franges produites par les fentes étroites CE et DF sortir de l'ombre géométrique de CDEF, qui ne recevait plus alors que de la lumière sensiblement blanche de chacune de ces fentes : à ce moment les franges étaient très-brillantes et présentaient des couleurs très-vives dans l'ombre de CDEF, tandis que dans l'ombre de ABCD les frange^ étaient beaucoup moins brillantes et offraient des couleurs grisâtre^^. A mesure qu'on observait le phénomène à une plus grande distance du corps diffringent, Téclairement diminuait dans toute l'étendue de l'ombre de ABEF, mais moins rapidement dans la partie supérieure que dans la partie inférieure, de sorte que les franges inférieures, d'abord beaucoup plus brillantes que les franges supérieures, leur devenaient à un certain moment égales en intensité, puis finissaient par devenir plus obscures, quoique leurs couleurs fussent toujours plus pures. Ces apparences peuvent s'expliquer d'une manière trèssimple : considérons un point P situé au milieu de l'ombre de ABCD ; à mesure qu'on s'éloigne du coq)s diffringent, la portion de Tonde interceptée par le corps opaque ABCD comprend relativement au point P un nombre de plus en plus petit d'arcs élémentaires , et par conséquent l'éclaircment du point P irait en augmentant si les vitesses envoyées par chaque arc élémentaire en P ne variaient pas en raison inverse de la distance de cet arc au point P; le décroissement d'intensité résultant de l'augmentation de la dislance du point P au corps diffringent se trouve ainsi ralenti. Soit au contraire un point Q situé au milieu de l'ombre de CDEF : lorsque la distance du point Q au corps diffringent augmente, les fentes CE et DF comprennent, relativement au point Q, tantôt un nombre pair, tantôt un nombre impair d'arcs élémentaires, d'où résulte dans le premier cas une augmentation et dans le second une diminution de la rapidité avec laquelle l'intensité décroît en ce point; mais il arrive toujours un

'*) Supplément au Jp-uxiènie Mémoire sur la diffraclion (OEuoret compUteM , 1. 1 , p. 1 65 ). — ^lémoire couronné sur la diffraction {(Euirei complétée, t. I , p. 376, 356).

instant où chacune des fentes ne comprend plus qu'une petite fraction du premier arc élémentaire, et alors les vitesses qu'elles envoient en Q sont plus petites que celles qu'envoient en P les portions efficaces de l'onde situées de part et d'autre de ABCD, puisque ces dernières tendent à devenir égales aux vitesses qui seraient envoyées en P si l'écran opaque ABCD n'existait pas.

Si la diffraction était due à une déviation des rayons par les bords des écrans opaques, les franges inférieures résulteraient de la superposition de plusieurs systèmes de franges et devraient, contrairement à ce qui a lieu , être moins nettes que les franges supérieures : de plus, les franges inférieures proviendraient dans cette hypothèse des rayons déviés par les quatre bords CE, DF, CE', D'F'; elles devraient donc être toujours plus brillantes que les franges supérieures qui proviendraient du concours des rayons infléchis par les deux bords AC et BD.

100. Pliéiioiiiéiies produits par une petite ouverture circulaire. — Fresnel , dans son grand mémoire sur la diffraction, ne s'était occcupé que des phénomènes produits par les écrans rectilignes à bords indéfinis; Poisson, qui faisait partie de la commission chargée de juger ce mémoire, remarqua que les intégrales dont l'auteur faisait dépendre le calcul des intensités de la lumière diffractée pouvaient s'évaluer exactement pour le centre de l'ombre d'un petit écran circulaire opaque et pour le centre de la projection conique d'une petite ouverture circulaire. Dans le premier cas, elles donnaient la même intensité que si Técran circulaire n'existait pas; dans le second, elles donnaient une intensité variable avec la distance et sensiblement nulle pour un certain nombre de distances déterminées par une loi très-simple. Fresnel fut invité à soumettre à l'épreuve de l'expérience ces conséquences imprévues et paradoxales de sa théorie, et l'expérience les confirma entièrement ^^^

Considérons d'abord le cas d'une petite ouverture circulaire, et supposons que le rayon qui passe par le centre de l'ouverture soit perpendiculaire au plan de cette ouverture. La distribution de la

^*) Calcul de Tintensité de la lumière au centre de Tombre d^un écran et d'une ouverture circulaires éclairés par un point radieux ( CEuvf^tê complétée de Ft^esnel, 1. 1, p. 365).

:m LUiMIEKE NON POLARISÉE.

lumière s'o|)ère évideuinieiit suivant des lignes circulaires; mais, sans entrer dans le calcul complet de tous les éléments du phénomène, nous nous bornerons à chercher Tédairement du centre de la projection conique de l'ouverture.

Prenons pour plan de figure un plan mené par le point lumineux perpendiculairement à celui de l'ouverture circulaire (fig. 75); soient S le [)oint lumineux, M le centro de l'image de l'ouverture, AB Tonde qui passe par le bord de l'ouverture, onde dont la surface se ^•onfond sensiblement avec le plan de cette ouverture, I) un point quelconque de la portion efficace de cette onde. Posons

Sij^^fi, CM =-6, AC = r,

l^ij- 79-

et désignons par p la distance variable DC. L'élément de l'onde circulaire qui a pour milieu le point D est égal à rfp, et, lorsque la figure tourne autour de la droite SC, cet élément engendre une zone dont la surface est égale à 37rp(/p. La vitesse de vibration que celte zone envoie en M peut être représentée par

ÛTlpclp sin 27r ( Tp — y J ^

en désignant par <J la dill'érence des chemins DM et CM , et en admettant que la vitesse envoyée par l'élément de l'onde qui correspond au pôle C ait pour expression

^Vsin 97ry.-

D'après la formule qui donne les longueurs des premiers arcs élémentaires d'une onde circulaire (52), on a

la vites.se totale envoyée en M est donc égale à

£a,rpsinQ,r(^,-p^;^*)rfp.

et par suite on <i, pour l'intensité au point M,

[a \ h]- I abk \ ah A ) \

d'on enJia

1" à 7^. — rriSiiï' Tr-

ia-;:'l7y''''' '• 2abX '

rintensilé au point M est donc variable avec la distance de ce point à l'ouverture diffringente. Les valeurs niîninia de l'intensité en M sont toutes nulles, et cesminima se produisent lorsqu'on a

aa6X ou

r'est-à-dire lors(|ue la diH'érence de marche entre le rayon central MC et le rayon marginal MA est égale à un nombre pair de demilongueurs d'ondulation.

Les valeurs maxima de l'intensité sont toutes égales à A . , >,;

celte valeur est celle de l'intensité envoyée en M par la zone élémentaire la plus voisfne du pôle, c'est-à-dire par une calotte spbérique ayant pour pôle le point C et limitée par une circonférence telle, que la diiïérence des distances du point M au point C et à un point de cette circonférence soit égale à une demi-longueur d'ondulation; la vitesse envoyée par celte première zone élémentaire en M étant double de celle qu'enverrait en M l'onde spbérique tout entière, il en résulte que les valeurs maxima de l'intensité en M sont égales au quadruple de l'intensité que produirait en ce point l'onde spbérique tout entière.

396 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

L'intensité est maximum en iM lorsqu'on a

[n-hhW* 3fn- 1 2abX 2

OU

MA-M(: = (aw+i)^

c'est-à-dire lorsque la différence de marche du rayon centrai et du rayon marginal est égale à un nombre impair de demi-longueurs d'ondulation.

Les résultats que nous venons d'obtenir par le calcul peuvent se déduire facilement de la théorie élémentaire de la diffraction. Supposons en effet que la calotte efficace do l'onde sphérique soit décomposée en zones élémentaires, ainsi que nous l'avons expliqué précédemment (53 ) : les surfaces de ces zones, qui sont toutes voisines du pôle, sont sensiblement égales. Si la calotte efficace contient un nombre pair de zones élémentaires, c'est-à-dire si la différence de marche du rayon central et. du rayon marginal est égale à un nombre pair de demi-longueurs d'ondulation , les vitesses envoyées au point M par les différentes zones élémentaires se détruisent donc presque complètement, et l'intensité en M est voisine de zéro; si au contraire la calotte efficace contient un nombre impair de zones élémentaires, son effet se réduit sensiblement à celui qu'exerce la première zone élémentaire, et, par conséquent, l'intensité en M est égale au quadruple de celle que produirait l'onde sphérique tout entière.

Les expériences au moyen desquelles Fresnel a vérifié les conséquences de la théorie relatives à Téclairement du centre de la projection conique d'une ouverture circulaire ont été exécutées, les unes avec la lumière rouge homogène, les autres avec la lumière blanche. Lorsqu'on opère avec la lumière homogène, il est difficile de déterminer avec précision les distances pour lesquelles l'intensité présente un maximum ou un minimun , et la comparaison des résultats de l'observation avec ceux du calcul n'offre dans ce cas aucune espère de rigueur. Lorsqu'on emploie la lumière blanche, on peut au contraire, pour une dislance déterminée du plan dans lequel on obsene les phénomènes à l'ouverture diffringente, calculer les intensités de^ ^('pt espèces principales de rayons au centre de l'image de l'ouver-

DIFFRACTION. 397

ture, en déduire, en se servant de la formule empirique donnée par Newton pour les mélanges de rayons colorés, la teinte que doit présenter ce point, et comparer cette teinte k celle que donne Texpérience. Cette comparaison , faite d'abord par Fresnel , et plus tard par M. Âbria, a toujours confirmé les résultats de la théorie.

Lorsqu'on observe les phénomènes à une distance de plus en plus grande de l'ouverture diffringente , l'éclairement du centre de la projection conique de l'ouverture tend vers une certaine limite : la différence de marche du rayon marginal et du rayon central est en effet représentée par

lorsque b augmente indéfiniment, cette différence tend donc vers une valeur limite égale à — , et par suite l'éclairement variable du point considéré tend vers un état fixe qui est déterminé par la valeur de la quantité — . Lorsque la distance b devient supérieure à

-» la partie variable -r de la différence de marche devient inférieure

à -et ne peut plus par conséquent diminuer de - ; donc, lorsque la

r* distance b croit à partir de la valeur y i il ne peut plus se produire

au centre de l'image de l'ouverture diffringente qu'un seul maximum ou un seul minimum; à partir de la distance qui correspond à ce maximum ou à ce minimum, l'intensité ira constamment en décroissant ou constamment en croissant, et tendra vers la limite que nous venons d'indiquer.

101. Phénomènes produits par un petit éeran eireuiiiire. — Supposons que la lumière émanée d'un point lumineux tombe sur un écran de forme circulaire et de petit diamètre, et que le rayon qui passe parle centre de cet écran soit perpendiculaire au plan de l'écran. En répétant les raisonnements qui nous ont servi à déterminer l'action d'une onde sphérique sur un point extérieur (53), on voit immédiatement que la vitesse envoyée au centre de l'ombre géométrique de l'écran est égale h la moitié de celle qu'en-

;)98 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

verrait en ce point la première zone élémentaire de la région efficace (le Tonde sphérique qui passe par le bord circulaire de Técran. Comme Técran est de petite dimension . et que sur une onde sphérique les zones élémentaires, jusqu'à une petite distance du pôle, ont des surfaces sensiblement égales, la vitesse envoyée au centre de Tombre géométrique diffère très-peu de la moitié de celle qu'enverrait en ce point la zone élémentaire la plus voisine du pôle; la vitesse envoyée par une onde sphérique en un point extérieur étant égale à la moitié de celle qu'envoie la zone élémentaire la plus voisine du pôle, l'éclairement au centre de l'ombre géométrique de l'écran circulaire sera sensiblement le môme que si l'écran n'existait pas. Cette conséquence singulière, déduite par Poisson de la théorie de Fresnel, fut immédiatement vérifiée par Arago au moyen d'un écran circulaire de a millimètres de diamètre.

1 02. Pliéiioiiiénes de diffraction observés dano une iunette lorsque l'oeulaire n'est pas au point. — Nous avons vu (78) que l'image d'une étoile dans une lunette douée d'un fort grossissement se compose, lorsque l'oculaire est mis exactement au point, d'une tache brillante entourée d'anneaux alternativement obscurs et brillants. Arago a remarqué que, si l'on enfonce graduellement Toculaire, le disque brillant qui occupe le centre de Timage de l'étoile se dilate et présente bientôt en son milieu un point noir qui se dilate à son tour de façon à former une tache obscure; en enfonçant davantage l'oculaire, on voit un disque brillant succéder au disque obscur, et ainsi de suite ^*^. L'explication de ces apparences se rattache facilement à la théorie des phénomènes produits par une ouverture circulaire. La lunette est en effet toujours muni*' d un diaphragme de forme circulaire , et l'onde sphérique concave ayant pour centre le foyer principal F (fig. 8o), qui se forme après que la lumière a traversé l'objectif, peut toujours être considérée dans la position ACB où elle passe par le bord du diaphragme, position qui est réelle ou virtuelle suivant que le diaphragme se trouve placé après ou avant l'objectif. Lorsque l'oculaire est au poini,

^'^ Nolice sur la sciiiLiilalion. {Œuvren complètes, ï. Vît, p. i. — Annuaire du butran fie» longitude» pouri8(}2, p. 368.)

DIFFRACTION. 399

il se forme sur la rétine une image nette des points situés dans le plan mené par le foyer principal F perpendiculairement à Taxe principal; mais, lorsqu'on enfonce l'oculaire , le plan dont l'image se dessine sur la rétine est le plan mené perpendiculairement à l'axe principal par un point M situé entre le foyer principal et l'objectif.

Les éclairements des différents points de l'image rétinienne sont alors proportionnels aux éclairements des points correspondants du plan passant par le point M; pour connaître l'éclairement du centre de l'image, il suffit donc de calculer l'intensité envojée en M par l'onde ACB limitée par le diaphragme circulaire. Posons à cet

Fig. 80. pffpt

CF = M, CM^h. CA^r;

prenons sur l'onde ACB, c|ue nous supposerons pouvoir être confondue avec le plan de l'ouverture circulaire, un point quelconque P et représentons par p la distance CP, par S la différence des chemins

MP et MC, par d'^a- sin ^tt ^ la vitesse envoyée en M par l'élément

correspondant au point C. La vitesse envoyée en M par la zone qu'engendre, lorsque la figure tourne autour de la droite (jF, Télément de l'onde circulaire ACB qui correspond au point P, sera représentée par

fîTTprfp si n 97r fq; — >" j •

Or, le triangle MPF donne

{b+Sf ^^ {a - hy+a'^ - ^a {a-b) cos ^^

liQO LUMIÈRE NON POLARISÉE.

d'où Ton tire, en remplaçant cos-par i — ^'

j p'(fl-fe'.

La vitesse totale envoyée au point M est donc égale à

Celte expression ne diffère de celle que nous avons trouvée dans le cas d'une ouverture circulaire que par la substitution de a — & à a+b; on en déduit, en suivant la même marche que plus haut, pour l'intensité de la lumière au point M, l'expression

on voit par là que l'intensité au point M est maximum ou minimum suivant que la différence de marche entre le rayon marginal MA et le rayon central tAC est égale à un nombre impair ou à un nombre pair de demi-longueurs d'ondulation, et que les valeurs minima de l'intensité sont toutes nulles.