G^sina+H^cosa + Gûsinj84-lLcosj

d'où, en effectuant les calculs,

p=.Kf(G^4-G^+H; + H^+QGj;^cos(/3-a)+QH,H^cos(/3-a)

-3G^H^sin(ie • a) + QG^H,sin(/3-a)].

Il est avantageux de mettre cette expression dé l'intensité sous une forme plus compliquée en apparence, mais en réalité plus commode pour la discussion. Remplaçons à cet effet 13 — a par îîwe/ùt, et remarquons que l'on a

G^-i- Gq+ *îG^ Gflcos Q7refi=^(G^ + Gfl)*'^cos''^7re/!z4-{G^ ~ Gû)^sin^7rejùt, Hl+H^+3H^H^cosM7re^^H^ + H^)2cos^Teitx+(H,-H^/^sin27re^t, •j(GflH^ — G^ng)sin2we/ix-- M^jS^^«~ G^H^)sinwe|ùtcoswe/!z

= a[(G,4-0^)(n, H^)- (fi, fi,)(H.-f-n.)lsinT£M'-os7reM.

368 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

En substituant ces valeurs dans l'expression de Tintensiiëy il vient

(9) p= K t f (G. + G^) cos7re|^+(H^ - Hp) sinwe/^p

+ [(G«-G(3)sinwe|^-(H.+ H^)co8we|^pj.

En remplaçant dans Téquation (1), qui détermine les maxima et les mininia, les intégrales G et S par leurs valeurs en fonction des intégrales G et H, on a

(G^cosa — H^sina+GflCos/S— Hflsinj8)(cosa — cosjS)

+(G^sina + Hj^cosa+Gflsin/S-l-HflCOSj8) (sina— sinjS)=o:

cette équation se simplifie singulièrement si Ton remarque que Ton a

(G^ cosa + GflCos/3) (cosa — cos/S) + (G^ sina+ G^sin j8)(sina — sinjS) = G.-G^-G.cos(^-a) + G^cos(^-«) -=(Ga-G^)|i-cos(/3-a)] *=2(G^- G^)sin27rejùt,

~(H^sina+HflsinjS)(cosa— cos/S)+(H^cosa+HflCos/S)(sina— sinjS) = — H^ sin (/3 - a) — H^sin (jS — a) == — 2 (H^ + Hg) sin^eficosirefi.

L'équation qui donne les valeurs de [x correspondant aux maxima et aux minima prend ainsi la forme

(3) (G^ — G|g)sin^7re|ùt — (H^ + Hfl)sinwe|aicos7re//=o

et se divise en deux autres qui sont

(M sinw£|ùt=--o

(5) (G^ G^)sin7rejùt — (H^ + H^)roswe// = o.

il est facile de s'assurer que les racines de l'équation (6) corres-

DIFFRACTION. 369

pondent toutes îi des niaxima. Soit on effet fXi une dcs^-racinos': le premier membre de l'équation (3) étant toujours de même signe (jue la dérivée de l'intensité par rapport à j^t, la racine /ùt, correspondra à un maximum si ce premier membre est positif pour une valeur de fjL un peu inférieure à /eX], et négatif pour une valeur de [i un peu supérieure h ftp C'est ce cjui arrive en réalité, car les racines de l'équation (/i) doivent vérifier la relation

n étant un nombre entier, et . par suite , pour une valeur de (i voisine d'une de ces racines, le signe du premier membre de récjuation (3) est celui de son second terme, qui, puisque la (juanlité Ha + H/g est essentiellement positive, est lui-même positif ou négatif suivant que la valeur de (i est inférieure ou supérieure à celle de la racine. Si l'on se reporte à la définition des quantités e et fi, on voit que les positions des maxima de lumière situés à l'intérieur de l'ombre géométrique et déterminés par l'équation (^i) sont données par l'équation

qui, en désignant par x la distance du point éclairé au milieu de l'ombre géométrique et en remarquant que l'on a

devient

Ainsi la théorie exacte assigne aux maxima situés à l'intérieur de Tonibre géométrique les mêmes positions (|ue la théorie élén)entaire.

Nous avons maintenant à chercher les racines de l'équation (5), qui peut être mise sous la forme

il'

Vfudet, V. — OpliqiiA, I. *»A

tang7re/!z =

370 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Celte équation ne se prêle pas à une discussion aussi générale que Féquation (Â); car, dans son second membre, entrent d'une manière assez compliquée les quantités e et fi qui dépendent des données particulières de la question.

Il est cependant possible d'acquérir des notions sur la position des racines de cette équation, en s'aidant de quelques considérations géométriques. Construisons à cet effet les deux courbes représentées par les équations

y = tang7reft.

Ga-G^

en prenant pour abscisses les valeurs de fi; les racines cherchées seront égaies aux abscisses des points d'intersection de ces deux courbes. La première courbe se compose (fig. 7 4) d'une infinité de branches asymptotes a une série de droites parallèles à l'axe des y et équi-

Kig. 7*.

distantes; les abscisses de ces asymptotes sont respectivement

— , — , — , .... Quant à la seconde courbe, elle est asymptote a

l'axe des y, car, pour ft= 0, on a a = j8 et y=» 00; son ordonnée est toujours positive, car, a étant constamment plus petit que ^. G^ est plus grand que G a. Lorsque la variable ft croissant à partir

DIFFRACTION. 3?1

de zéro finit par atteindre la valeur qui convient à un point siluiJ à la limite de Tombre géométrique, (x devient égal à e, el l'on a

a=o, /3==Q7rfi2,

d'où

les quantités Gget Ha sont alors négligeables vis-à-vis de G^ et de H^, et, par suite, l'ordonnée de la seconde courbe est sensiblement égale à l'unité. Cette ordonnée décroît donc depuis une valeur infinie jusqu'à l'unité. Il résulte de là que la seconde courbe coupe chacune des branches positives de la première en un seul point. Il y a par conséquent toujours une racine, et une seule, de l'équation (5),

comprise entre ~ " et ■ ^ - 1 n étant un nombre entier quelconque. Les racines de l'équation (â) étant données par la formule

on voit qu'entre deux racines de l'équation (4). il y a toujours une racine de l'équation (5), et une seule, d'où il suit que, les racines de l'équation (&) correspondant exclusivement aux maxima, celles de l'équation (5) correspondent exclusivement aux minima.

Les positions des minima à l'intérieur de l'ombre géométrique ne sont pas, d'après ce que nous venons de voir, soumises à des lois simples. On peut remarquer seulement que, pour les premiers minima, les points d'intersection des deux courbes diffèrent peu des points d'intersection de la seconde courbe avec les asymptotes de la première, et que, par conséquent, les valeurs de fx qui correspondent à ces minima vérifient approximativement la relation

^ = (9n4-i)i' d'où Ton tire

c'est donc seulement dans le voisinage du milieu dv l'ombre que les

372 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

positions assignées aux minima de lumière par la théorie exacte coïncident sensiblement avec celles qu'on déduit do la théorie élémentaire.

L'évaluation des intensités que présentent les maxima et les minima à l'intérieur de l'ombre n'offre aucune difficulté. L'équation (•>), dont le second membre représente d'une manière générale l'intensité à l'intérieur de l'ombre, devient, pour les points où l'intensih' passe par un maximum,

puisqu'on ces points on a

sinitefÂ -^ o . costrefi -=^ db i . Au milieu de l'ombre on a

et par suite

si récran opaque était indéfiniment étendu d'un côté, reiqiression de l'intensité à l'intérieur de l'ombre serait, comme nous l'avons vu (90),

l^=K(fi, + HJ=':

d'où l'on peut conclure que l'intensité de la lumière au milieu de l'ombre d'un écran étroit est le quadruple de ce qu'elle serait si l'écran était indéfiniment prolongé d'un côté.

A mesure que (i augmente,* c'est-à-dire lorsque, partant du milieu de l'ombre, on s'approche de sa limite, a décroît de~e^à zéro

tandis que /3 croît de - e^ à 4 - e^ : G^ augmente donc dans ces conditions ainsi que H^, tandis que G^ et ¥La diminuent; mais, comme G^ et H^ sont toujours respectivement plus grands que Gg et Ha, et que les différences qui existent entre G^ et Ga d'une part, entre H^ ei Uq de l'autre, croissent rapidement avec /:/, l'expression qui représente l'intensilé des maxima de lumière augmente aussi avec fi: t^o*^

1)IFFRAGTI0.\. 373

jiiaxiuia vont donc en augmentant d'éclat depuis le milieu de Tombre géométrique jusqu'à sa limite. L'éclat du maximum qui occupe le milieu de l'ombre étant représenté par 4K (Gj^ + H^)-, et le facteur K étant indépendant de la largeur du corps opaque, cet éclat, en supposant les dislances a et b constantes, sera d'autant plus grand que a sera plus petit, c'est-à-dire que le corps opaque sera plus étroit, résultat entièrement conforme à l'expérience.

Pour les intensités des minima de lumière à l'intérieur de l'ombre on a, en tenant comjite de l'équation (5) (jui détermine les positions de ces minima,

1-^ K [(^«+^5) coswe/!/+ (H^— H-5) sinTrejtxl-; l'éipialion (5) donned'ailfcurs Mn7r£a=- — .

cosirefi —

l'cvpression (!e l'iiitentiité devient donc pour les luininiu de luiiiièrc

Pour les minima voisins du milieu de l'ombre, a et jS sont trèsprès d'être égaux; par suite, le nuftiéraleur de la fraction qui ligure dans l'expression de l'intensité est très-petit, tandis que le dénominateur se réduit sensiblement à AH^, quantité peu différente de l'unité. Les minima situés près du milieu de l'ombre géométrique doivent donc être presque nuls : ainsi se trouve expliqué ce fait que, dans l'ombre d'un corps opaque étroit, les franges obscures situées de part et d'autre de la frange centrale brillante sont presque entièrement noires.

La distribution de la lumière à l'extérieur de l'ombre géométrique est soumise à des lois beaucoup plus compliquées qu'à l'inté-

37A LUMIÈKE NON POLARISÉE.

rieur; nous allons cependant faire connallre ce qu'indique la théorie sur cette distribution. Pour un point situé en dehors de Fombre géométrique, les limites des intégrales C et S sont* en convenant de compter positivement les arcs situés du même côté du pôle que le corps opaque, — c» et A — /, /i + / et + 00 , ou, en conservant aux lettres fx et e leur signification, — 00 et fA— e^ fi + s et +c»: l'expression qui représente l'intensité est donc dans ce cas

et l'équation qui détermine les positions des maxima et des minima devient

+ («+S^-e-S,^.)[sm7(M-e)^-sinf{M + e)^] = o.

En remplaçant les intégrales C et S par leurs valeurs en fonction des intégrales G et H et en posant^ comme précédemment,

l'expression de l'intensité prend la forme

P = K[(i-G^cosa + H.sina+GpCOSi8-H^sin/S)2

+ ^1 — G^sina — H^cosa + GflsinjS + HcCosjS)^],

et l'éciuation qui détermine les positions des maxima et des minima devient

( 1 + Gû cos jS — Hfl sin jS - G^ cos a + H^ sin a\ (cosa — cos j8)

+ (i +Gflsinj8+HflC0Si8— G^sina — H^cosa) (sina— sinjS) = o,

d'où -(G.+G^)[.-cos(/3-a)] + (H,-H^)sin(/3-a)

+ COS a — cos /S 4- sina — sin /S = 0.

DIFFRACTION. 375

Kn reiuarquaiit i|ue Ton a

celfe dernière équation jieut s'écrire

— (^»a + (i«j sin-7re/ùi+ (H«— Ha) siwrrefxcos'nefi

^sin7r5/ùt[sinJ(e2 + |ùt2)--cosJ(f'^ + f*2)]==o

et se déroniposc en deuï autres qui sont (()) sin7rejùt=o

— COS-(£^ + |ùt2) = o.

Les racines de Téqualion (6) vérifient, comme nous l'avons déjà dit, la relation

n étant un nombre entier, et sont équidistantes ; mais, à l'extérieur de l'ombre, elles peuvent correspondre soit à des maxima, soit à des minima.

Quant aux racines de l'équation (7), on peut se faire une idée approximative de la manière dont elles sont distribuées, à l'aide de considérations géométriques analogues à celles que nous avons déjà plusieurs fois employées. L'équation (7), en tenant compte de la formule

coso; — sina; = v/ïi cosfx+^J»

prend la forme

(H^ - H^Jcos TrefA - (G^ + G|s) siuTrefx = y/a cos ^ ^e^ + f*^ +^) î

si nous construisons les deux courbes représentées paries équalions

y = (H^ — Hfl) cosTreju— ^G^+G^) sin^refe

ij-~^\/ticos'^(^e^ + (i^+'-y

en prenant pour abscisses les valeurs de /x, les racines cherchées seront égales aux abscisses des points d'intersection des deux courbes. Comme il ne s'agit ici que des points extérieurs à l'ombre, il suffit de considérer les valeurs de (i supérieures à e. La première courbe a une forme très-compliquée : tout ce qu'on peut en dire, c'est qu'elle est sinueuse, qu'elle coupe l'axe des x en des points donnés par l'équation

et que l'ordonnée de celte courbe est lrès-|)ctite pour les valeurs de n supérieures à s, de sorte (|ue les points d'intersection des deu\ courbes se confondent sensiblement avec les points où la seconde courbe rencontre l'axe des x. Or il est facile de voir que ces derniers points se resserrent de plus en plus à mesure que (i augmente : soient en effet fx et jtit+ Af/ les abscisses de deux points de renconlre consécutifs de la seconde courbe avec Taxe des x; on aura

d'où

et, en supposant que /x soit grand par rapport à Afe,

L'équation (7) fait donc connaître, en dehors de l'ombre géoniétritjue, une série de franges brillantes ou obscures, qui se resser-

DIFFRACTION. TH

rpnl de plus en jilus à mesure qu'on s'éloigne de la limite de cette ombre.

Pour savoir quelles sont , parmi les valeurs de (i données par les équalions (fi) et (7), celles qui correspondent à des maxima et celles qui correspondent à des minima, il suffit de les ranger par ordre de grandeur et de voir si la dernière valeur de /x qui, à l'intérieur de l'ombre géométrique, annule la dérivée de l'intensité, rend cette intensité maximum ou minimum; si, par exemple, la dernière frange intérieure est brillante, la première frange extérieure sera obscure, la seconde brillante, et ainsi de suite.

En se reportant à l'expression de l'intensité , on voit que, dès que ^jt acquiert une valeur un peu considérable et que, par conséquent, les intégrales G^, G^, H^, Ha deviennent très-petites, cette expression diffère très-peu de qK; il résulte de là ([ue la différence entre un maximum et un minimum consécutifs doit devenir de plus en plus petite à mesure qu'on s'éloigne de la limite de l'ombre, et qu'à une petite distance de cette limite l'éclaireinent doit être sensiblement uniforme.

Lorsque le corps opaque est très-étroit et (|u'on observe les franges à une grande distance de ce corps, leur aspect se simplifie beaucoup : la première frange obscure peut en effet, dans ce cas, se trouver déjà en dehors des limites de l'ombre géométrique; on n'aura alors qu'un seul système de franges et, à l'intérieur de l'ombre, l'intensité lumineuse décroîtra d'une façon continue à partir du milieu.

Nous avons vu que la largeur des franges à l'intérieur de l'ombre géométrique d'un corps opaque est en raison inverse de la largeur de ce corps. Cette conséquence de la théorie peut être vérifiée facilement à l'aide d'une expérience qui consiste à observer les franges qui prennent naissance dans l'ombre d'une aiguille; ces franges, d'après la loi que nous venons de rappeler, doivent affecter la forme d'hyperboles ayant pour asymptotes la frange centrale et une perpendiculaire à cette frange menée par le point où se projette la pointe de l'aiguille. Prenons en effet la frange centrale pour axe des X et la perpendiculaire dont nous venons de parler pour axe

378 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

des y : la dislance de la première frauge brillante à la frange cen- Irale étant donnée par la relation

et la largeur a/ du corps opaque étant proportionnelle a la distance qui sépare le point où l'on considère celte largeur de la pointe de l'aiguille, la courbe formée par la première frange brillante est représentée par l'équation

qui est celle d'une hyperbole ayant pour asymptotes les axes des coordonnées.

95. Iiillueiice du dlAinétre »p|Nireiit die 1» ■•urée ei 4c l'Inelliialeoii du eorpe opaque. — En raisonnant comme dans le cas d'un écran à un seul bord (91), on trouve que les phénomènes de diffraction produits par un corps opaque très-étroit cessent complètement d'élre visibles lorsque le diamètre apparent de la source lumineuse dans un plan perpendiculaire aux bords du

corps difiringent devient égal aTî' car alors le milieu de Tombre

géométrique relative à l'une des extrémités de la source se confond avec le premier minimum relatif à l'autre extrémité. Il résulte de là qu'on obtient des franges visibles même avec des sources lumineuses d'un assez grand diamètre apparent, pourvu que le corps opaque soit suffisamment étroit : c'est ainsi qu'il est possible d'observer des franges très^istinctes dans l'ombre d'un cheveu éclairé directement par le soleil.

Si le corps opaque, que nous supposons toujours de forme rectangulaire, au lieu d'être perpendiculaire à la direction moyenne des rayons incidenls,* comme nous l'avons admis jusqu'ici, est incliné sur cette direction (lig. 75), l'aspect des phénomènes se trouve modifié, surtout si on les observe à une distance peu considérable du corps diffringent. Dans ce cas, les franges intérieures ne sont plus symétriques de part et d'autre de la bissectrice de l'angle ASB, et les franges extérieures n'ont plus même largeur des deux côtés

DIFFBACTION. 379

(le l'ombre f}é()mé(ri(|ue. H est facile de se rendre compte de ces

particularités en remarquant que l'onde B'X' peut être remplacée par l'onde BX. La frange centrale doit en effet se trouver à égale distance des deux bords du corps opaque; elle e$t donc rejetée du côté où le corps opaque se rapproche de la source lumineuse.

Quant aux franges extérieures, elles diffèrent peu, dès qu'on s'éloigne sensiblement de la limite de l'ombre géométrique, de celles que donnerait un écran limité par un seul bord; elles sont donc d'autant plus '^* ' ' larges que le bord qui leur donne

naissance est plus rapproché du point lumineux, et, dans le cas actuel, les franges situées du côté du bord A doivent être plus larges que celles qui sont situées du côté du bord B.

(i. PnéflOllâlIBS PBODUITS PAB URB PEMK ^TBOITB LIMITEE PAR DEUX BOBDS BBCTIUGIJKS

ET PABALLâl.BS.

96. Hescripfloii des phénoméiiefli et théorie ^bèmentelre. — Supposons que, sur une fente étroite limitée par deux bords rectilignes et parallèles, tombe un faisceau de rayons émanés d'un point lumineux ou d'une ligne lumineuse parallèle à la lejate diffringente, rayons dont la direction moyenne est perpendiculaire au plan de cette fente. Si on observe les phénomènes de diffraction sur un écran qui n'est pas très-éloigné de la fente diffringente , on aperçoit trois systèmes de franges, dont deux sont extérieurs à l'image lumineuse que donnerait la fente sur l'écran d'après la théorie géométrique des ombres, et le troisième intérieur à cette image. Les franges extérieures offrent des maxima et des minima dont les différences d'éclat s'affaiblissent rapidement en même temps que les maxima deviennent de moins en moins brillants, de sorte qu'à une

;J80 LUMIEKE .^ON POLARISEE.

petite dislance de la limite de l'ombre géométrique réclairemeni devient insensible. Les franges intérieures sont remarquables par cette particularité que la frange centrale, dans la lumière homogène, lorsqu'on fait varier la distance de l'écran sur lequel on observe les phénomènes au corps diffringent, correspond tantôt à un maximum de lumière, tantôt à un minimum, d'oii il suit que, dans la lumière blanche, cette frange centrale est colorée et que sa couleur dépend de la distance de l'écran au corps diffringent.

Lorsqu'on observe les phénomènes h une très-grande distance du corps diffringent, ils se simplifient beaucoup : les trois systèmes de franges se fondent en un seul, et la frange centrale, ainsi que nous

l'avons vu précédemment , es!

toujours brillante (70).

Les phénomènes de diffraction produits par une fente étroite présentent, avec ceux qui résultent de l'interposition d'un corp> opaque étroit sur le trajet de la lumière, des analogies remarquables que la théorie élémentaire ne met nullement en évidence; nous commencerons néanmoins par exposer cette théorie et par en tirer tout ce qu'elle peut donner. Nous considérerons \ei> phénomènes dans un plan mené par le point lumineux peq)endiculairement aux bords de la fente (fig. 76) : ce plan coupe l'onde sphérique tangente aux bords de la fente suivant le grand cercle ACB, et il suffit de chercher l'action de la portion efficace AB de cette onde circulaire sur les différents points d'une droite GH perpendiculaire à SC. Posons h cet effet

SC = .(, Œ^b, AC=CB = /,

et proposons -nous, en premier lieu, de déterminer réclairemenl

DIFFRACTION. 381

du point M, qui occupe ie milieu de la projection conique de la fente lumineuse. Tout étant symétrique de part et d'autre du point M, l'intensité en ce point doit toujours avoir une valeur maximum ou minimum; d'autre part, les vitesses envoyées en M par chacun des arcs AC et CB , vitesses qui sont toujours concordantes, sont beaucoup plus petites lorsque ces arcs comprennent un nombre pair d'arcs élémentaires que lorsqu'ils en comprennent un nombre impair; l'intensité est donc nécessairement maximum en M lorsque la différence des chemins AM et CM est égale à un nombre impair de demi-longueurs d'ondulatiou, mininmm lorsque cette différence est égale à un nombre pair de demi-longueurs d'ondulation. D'après les formules qui donnent les longueurs des arcs élémentaires voisins du pôle d'une onde circulaire, on a

il y aura donc en M un maximum si l'on a un minimum si l'on a

Supposons, pour fixer les idées, que cette dernière relation soit satisfaite, et qu'il y ait par conséquent en M un minimum d'intensité : proposons-nous, dans cette hypothèse, de déterminer l'éclairement d'un point P situé dans l'intérieur de la projection conique de la fente diffringente, à une petite dislance du point M, et tel que l'on ait, en désignant par D le pôle de ce point P,

BP-DP^(9n+i)^.

Nous aurons une idée suffisante de l'éclairement du point P si nous parvenons \\ calculer la différence dc^s chemins AP et DP. A cet effet, remarquons que la somme des dislances d'un point de la droite GH aux deux points A et B, étant minimum en M, varie très-

382 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

lentement dans le voisinage de ce point, de sorte que, si le point P est voisin du point M, on n sensiblement

AM4-BM = AP + BP;

par la même raison, CM étant la distance minimum de Fonde circulaire AB a la droite GH, on peut admettre que les distances CM et DP sont égales. On a donc

(Qw-ht)^ + {AP-DP)^=BP~DP + (AP- DP)

= qBM -9CM=4w-.

d'où

\?-W=fxnl-{an + i)l^{an~i)l;

les deux arcs AD et DB comprenant un nombre impair d'arcs élémentaires, l'éclairement en P est beaucoup plus considérable qu'en M. En continuant le même raisonnement on ferait voir qu'en un point P', tel que l'on ait

l'intensité lumineuse est beaucoup plus petite qu'en P, et ainsi de suite. La théorie élémentaire indique donc l'existence de maxima et de minima de lumière à l'intérieur de la projection conique de l'ouverture, et montre que les maxima doivent être voisins des points pour lesquels la différence des distances au pôle et à l'un des bords de l'écran est égale à un nombre impair de demi-longueurs d'ondulation, et les minima des points pour lesquels cette différence est égale à un nombre pair de demi-longueurs d'ondulation. Quant à la région située en dehors de la projection conique de la fente diffringente, c'est-à-dire dans l'ombre géométrique, la théorie élémentaire prouve seulement que, dans la partie de cette région qui est voisine de la limite de l'ombre^ tout se passe à peu près comme si la portion de l'écran située de l'autre côté de la fente n'existait pas, et que, pour des points un peu éloignés de cette limite, l'éclairement est insensible.

ftiPPRACTION. 883