DE L«ARC-EN-CIBL

L'élude des phénomènes de diffraction produits par les ondes non sphériques est encore très-peu avancée ; un seul cas a été traité par le calcul : c'est celui de i'arc-en-ciei. Aussi ce chapitre sera-t-il consacré entièrement à la théorie complète de ce phénomène météorologique et des apparences qui s'y rattachent.

\0à, AncleBiie tlàémrke de Tare-eii-eiel. — L'arc-en-ciel est, comme on sait, un phénomène qui consiste en bandes colorées de forme circulaire qu'on aperçoit en tournant le dos au soleil lorsqu'il tombe de la pluie. Dans la plupaft des cas on voit deux arcs, et dans chacun de ces arcs les couleurs se succèdent dans le même ordre que dans le spectre solaire; l'arc le plus brillant est l'arc intérieur ou premier arc-en-ciel , qui présente le rouge en dehors et le violet en dedans ; l'arc extérieur ou second arc-en-ciel est beaucoup plus pâle que le premier, et les couleurs y sont disposées dans l'ordre inverse, c'est-à-dire que le violet se trouve en dehors et le rouge en dedans. Le centre commun de ces arcs est toujours sur la droite qui passe par le centre *du soleil et par l'œil de l'observateur, de sorte que les points culminants des deux arcs-en-ciel sont d'autant plus relevés que le soleil est plus voisin de l'horizon. Leurs diamètres apparents sont constants ; dans le premier arc-en-ciel le demi-diamètre apparent est de Ao degrés pour le violet et de & s degrés pour le rouge; dans le second, le demi-diamètre apparent esl de 5 1 degrés pour le rouge et de 5 A degrés pour le violet. L'espace compris entre les deux arcs-on-ciel esl toujours notablement plus obscur que le reste du ciel.

DIFFRACTION. 403

La production de i'arc-en-ciel a ëlé de tout temps attribuée à la réflexion des rayons solaires dans les gouttes de pluie. La théorie de ce phénomène, ébauchée par Antoine de Dominis, évéquc de Spalatro, fut développée par Descartes et complétée ensuite par Newton en ce qui touche l'ordre des couleurs. La théorie de Descartes est insufiisante en ce qu'elle ne tient compte que de la condensation plus ou moins grande des rayons suivant les différentes directions et non de leur différence de marche; aussi, comme nous le verrons plus loin, ne peut-elle expliquer toutes les particularités du phénomène. Néanmoins, avant de faire connaître la théorie complète due à i\l. Airy, il est utile de rappeler les points essentiels de la théorie cartésienne.

Supposons que sur une goutte d'eau de forme sphérique tombe un faisceau de rayons solaires parallèles entre eux : certains de ces rayons seront diffusés à la surface extérieure de la goutte et feront voir les nuages et la chute de la pluie ; d'autres ne reviendi^ont à l'œil de l'observateur qu'après s'être réfléchis une ou plusieurs fois dans l'intérieur de la goutte. Parmi ces derniers rayons considérons en particulier ceux qui émergent de la goutte après s'être réflécliis une seule fois dans son intérieur; les rayons émergents qui correspondent à des rayons incidents infiniment voisins divergent en faisant entre eux un angle qui en général est un infiniment petit (lu premier ordre; mais il existe toujours une incidence telle, que deux rayons infiniment voisins, entrant dans la goutte sous cette incidence , en sortent en faisant entre eux un angle infiniment petit du second ordre; en d'autres termes, à un faisceau incident infiniment étroit, pénétrant dans la goutte sous cette incidence, correspond un faisceau émergent composé de rayons parallèles et conservant par suite son intensité jusqu'à une grande distance. Les rayons qui émergent parallèlement sont dits rayons efficaces^ et si Ton admet, comme le faisait Descartes i que les intensités des rayons qui arrivent à l'œil s'ajoutent toujours arithmétiquement, il est évident que la goutte paraîtra beaucoup plus fortement éclairée lorsque l'œil sera placé sur la direction des rayons eflicaces que lorsqu'il occupera toute autre position. Cette considération des rayons eflicaces, qui forme la base de la théorie de Descartes, s'ap-

404 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

plique également aux rayons qui subissent plusieurs ri^flexioas à rintérieur de la goutte d'eau.

Pour déterminer la direction des rayons efficaces, il est nécessaire de suivre la marche des rayons lumineux dans une goutte de pluie. Tout est symétrique autour du rayon qui, tombant normalement sur la surface de la goutte , va passer par le centre : il suffit donc de voir ce qui se passe dans un plan quelconque mené par ce rayon. Soit SI (fig. 81) un rayon incident quelconque : ce rayon se réfracte

suivant IF, se réfléchit une première fois suivant ITet émerge en partie suivant FR ; une autre partie du I rayon se réfléchit suivant rr'' et émerge suivant IX et ainsi de suite. Nous appellerons en général rotaùm d'un rayon , lorsque ce rayon change de direction, l'angle de la nouvelle direc- Fig 81. lion avec le prolongement

de l'ancienne; lorsqu'un rayon change plusieurs fois de direction, nous nommerons rotation totale la somme des rotations partielles qui correspondent à chacun de ces changements de direction; nous désignerons au contraire sous le nom de déviation l'angle formé par la direction définitive du rayon estimée dans le sens de la propagation avec sa direction primitive estimée en sens contraire de la propagation : ainsi la rotation du rayon émergent T'R est égale à la somme des angles HII', HTF, H^^R, et sa déviation à l'angle de la direction FR avec la direction IS. Ceci posé, désignons part l'angle d'incidence du rayon SI, par r l'angle de réfraction correspondant: la rotation produite par la réfraction en I est égale à i—r; celle qui résulte de la réflexion qui s'opère en F, et en général de toute réflexion à l'intérieur de la goutte d'eau, est représentée par v — 3r; enfin, quand le rayon émerge, l'angle d'incidence à l'intérieur de la goutte est égal à r, et par suite l'angle d'émergence à t; la rotation qui a lieu à IVmergenre a donc encore pour valeur 1 — r. On voit

DIFFRACTION. /Î05

par là qu'en dësignani par p la rotation totale d'un rayon qui subit k réflexions à l'intérieur de la goutte, on a

p=3 (î — r) + A(7r— ar).

Les rayons efficaces sont évidemment ceux dont la rotation est maximum ou minimum; il faut donc, pour déterminer la valeur de l'angle d'incidence qui correspond aux rayons efficaces» annuler la dérivée de p par rapport à t,*ce qui donne

De la relation

sin 1 sinr^''

tire

dr cos i

di II cos r

L'équation précédente devient donc

^ ni cos r

n^ cos- r ^ ( A H- 1 )2 cos^ t ;

d'où

on a d'ailleurs

w-sin^r = sin^ i;

en ajoutant membre à membre, il vient

n^= 1 +(Â?+ 9^) cos^ f, d'où

cos t =^ V / Tt r •

Pour l'eau, l'indice de réfraction n est égal à | environ, et par suite n^— 1 à ^; le dénominateur Ic^-h sk est au moins égal à 3 : la valeur trouvée pour cos t est donc toujours admissible, et, quel que soit le nombre des réflexions intérieures, il existe toujours pour une couleur déterminée une valeur, et une seule, de l'angle d'incidence, pour laquelle les rayons émergents sont efficaces.

406 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Nous avons mainienanl à chercher si la rotation des rayons efficaces est un maximum ou un minimum. Pour décider cette question

il faut connaître le signe de ^; or on a

dp /] , \^''

le signe de tt est donc toujours contraire à celui de -r^ ^

De la relation

dr cos i

di ncosr

on tire d'ailleurs

— w*cos' r sin i-+-fi sin r cos* i

dT*-

n'cosV

et, en remarquant que Ton a

n sin r = sin t , n^ cos-^ r = n^ — sin^ i ,

il vient

(Pr (i— «*)sini

On voit que j^ est toujours négatif et que, par suite, -j^ est toujours positif. La rotation des rayons efficaces est donc un minimum, quel que soit le nombre des réflexions.

On peut encore se proposer de déterminer la position du point d'émergence d'un rayon quelconque SI par rapport au point d'émergence du rayon normal SA. Ce dernier point d'émergence est le point A ou le point A', suivant que le nombre des réflexions est impair ou pair; après k réflexions, l'arc compris entre ce point d'émergence et le point A est donc représenté, en prenant le rayon de la goutte pour unité, par (A;+ t) tt. On voit facilement que, pour le rayon SI, l'arc compris entre le point d'incidence et lepoinl d'émergence est égal, après k réflexions, à (Ar-f- i) (w — ar); \\ en

DIFFRACTION. 407

résulte que, pour Tare compris entre le point d'émergence du rayon SI et celui du rayon normal SA, arc que nous désignerons par S. on aura

J=3(Jk+ i)r-t.

Pour savoir si la distance angulaire S de ces deux points d'émergence est susceptible d'un maximum ou d'un minimum, il faut égaler à zéro la dérivée de S par rapport à t , ce qui donne

d'où et enfin

4(4+ t)^ COS*-* l = H*— 1 -f-COS^ î,

COS^t—TTïT. "lî

La valeur ainsi trouvée pour cosi est toujours très -petite, car dans le cas d'une seule réflexion elle est égale à v/^) et elle diminue à mesure que k augmente ; de plus, comme on a

(PS f , .(Pr

et que j^ est toujours négatif, la valeur obtenue pour l'angle d'incidence correspond toujours à un maximum de S.

La distance angulaire S du point d'émergence du rayon SI au point d'émergence du rayon normal, nulle quand le point d'incidence du rayoq SI se confond avec le point A > va donc d'abord en augmentant avec l'angle d'incidence et atteint un certain maximum qui a lieu lorsque l'angle d'incidence est voisin de 90 degrés, c'està-dire quand le rayon SI est voisin du rayon tangent à la goutte d'eau.

Nous avons maintenant à montrer comment l'existence des rayons efficaces peut servir à expliquer la production de l'arc-en-ciel. Occupons-nous d'abord des rayons qui ne se réfléchissent qu'une seule fois à l'intérieur des gouttes d*eau : ce sont ces rayons qui donnent naissance au premier arc-en-ciel ou arc intérieur. En faisant dans

i08 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

les formules précédentes A = i et en adoptant pour Tindice de réfraction la valeur approchée 3, on trouve pour les angles d'incidence et de réfraction qui correspondent aux rayons efficaces et pour la rotation totale de ces rayons les valeurs suivantes :

î = 59'93', r= 40^12', p = 7r+Qt-~4r=i37"58'-

La déviation des rayons efficaces est dans ce cas, comme le montre la figure 8a, égale au supplément de la rotation, c*est-4dire à environ A3 degrés. Si donc on conçoit un cône ayant pour sommet l'œil de l'observateur, pour axe la droite qui joint cet œil au centre du soleil et pour ouverture angulaire 43 degrés, chacune des génératrices de ce cône qui rencontre une goutte d'eau peut être regardée comme l'axe d'un faisceau de rayons efficaces, et par suite ce cône coupe les nuages suivant un arc lumineux qui est le premier arc-en-ciel.

La rotation des rayons efficaces n'a pas la même valeur pour les différentes couleurs : d'après la valeur trouvée plus haut pour cos 1', l'angle d'incidence des rayons efficaces est d'autant plus petit que l'indice de réfraction est plus grand, d'où il résulte qu'à mesure que

la réfrangibilité des rayons augmente la rotation devient plus grande, et par conséquent la déviation plus petite; dans le premier arc-cn-ciel, le violet doit donc se trouver en dedans et le rouge eu dehors. Les valeurs exactes des déviations, calculées d'après les formules précédentes, sont lio^i 7'pour les rayons rouges, 42**i'Ao'' pour les rayons violets.

^*** *** La rotation des rayons ef-

ficaces étant toujours un minimum, leur déviation dans le premier arc-en-ciel est un maximum , d'où il faut conclure que les gouttes

DIFFRACTION. 409

d'eau placées au-dessus du premier arc-en-ciel ne peuvent envoyer à Toeil aucun rayon ayant subi une réflexion unique à l'intérieur de ces gouttes.

U est évident d'ailleurs que la partie visible du premier arc-enciel provient de rayons qui ont pénétré dans la goutte d'eau audessus du rayon incident normal, car les rayons tels que SI^ (fig. 89), qui pénètrent dans la goutte par la partie inférieure sous l'incidence qui convient aux rayons efficaces , se relèvent à l'émersion et sont alors dirigés vers le haut. La portion d'arc formée par ces derniers rayons peut être observée, soit lorsqu'on se trouve sur une haute montagne au-dessus des nuages, soit dans les ascensions aérostatiques.

. Les rayons qui subissent deux réflexions à l'intérieur des gouttes d'eau donnent naissance au second arc ou arc intérieur qui, par suite de l'afi'aiblissement qu'éprouve la lumière à chaque réflexion, doit être plus pâle que le premier. On obtient dans ce cas, en faisant Â: = 9, w = ji pour l'angle d'incidence des rayons efficaces et pour leur rotation totale, les valeurs suivantes :

La déviation des rayons efficaces est alors égale à p — tt, c'est-àdire à oa'^So'. Cette déviation augmente en même temps que la rotation avec la réfrangibilité ; dans le second arc-en-ciel , le violet

doit donc être en dehors et le rouge en dedans. Les valeurs exactes des déviations sont ici 5o'58'5o" pour les rayons rouges, 54°()'9o'' pour les rayons violets. La partie visible du second arc-en-ciel provient d'ailleurs de rayons qui ont pénétré dans la goutte par la partie inférieure et qui, après avoir subi une rotation de sSa^^So', sortent du côté de la goutte par lequel entrent les rayons

&10 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

incidents et sont dirigés vers la terre, ainsi que le montre la figure 83.

Dans le second arc-en-ciei , la déviation des rayons efficaces est un minimum comme leur rotation ; les gouttes d*eau situées au-dessous de cet arc ne peuvent donc envoyer à l'œil aucun rayon ayant subi deux réflexions intérieures. En comparant cette remarque à celle que nous avons faite plus haut au sujet des gouttes placées audessus du premier arc-en-ciel, on voit que les gouttes qui se trouvent dans la région comprise entre les deux arcs doivent paraître très-peu éclairées, car aucun des rayons qui ont subi à Imtérieur de ces gouttes soit une réflexion unique, soit deux réflexions, ne peut arriver jusqu'à l'œil.

On doit se demander pourquoi, dans les conditions ordinaires, on n'aperçoit pas plus de deux arcs-en-ciel, bien que la théorie en indique une infinité. On conçoit bien que, par suite des réflexions successives, la lumière s'affaiblisse de telle sorte que les arcs d'un ordre élevé ne puissent être distingués ; mais la différence d'éclat entre le premier et le second arc n'est pas assez considérable pour qu'on puisse attribuer l'absence du troisième à son peu d'intensité. La véritable raison qui empêche de voir le troisième et le quatrième arc-en-ciel, c'est que ces arcs ne se projettent pas sur la partie du ciel qu'embrasse le regard d'un observateur tournant le dos aa soleil; le premier arc visible pour cet observateur après le second est le cinquième, qui est déjà trop faible pour pouvoir être reconnu.

On trouve en effet, pour la rotation des rayons efficaces, 3 18 degrés dans le cas de trois réflexions, et lioà degrés dans le cas de quatre réflexions; d'où il résulte que les rayons qui se sont réfléchis trois ou quatre fois dans l'intérieur des gouttes d'eau , qu'ils aient pénétré dans les gouttes par la partie supérieure ou par la partie inférieure, en sortent toujours par le côté opposé au soleil. Pour voir le troisième et le quatrième arc-en-ciel , il faudrait donc que l'observateur fût tourné vers le soleil et qu'il tombât de la pluie entre lui et cet astre ; mais dans ces conditions les arcs sont noyé^ dans la lumière solaire et restent invisibles.

Pour le cinquième arc-eii-ciel la rotation des rayons efficaces est de 486 degrés, c'est-à-dire d'une circonférence entière plus 1 96 de-

DIFFRACTION. 411

grés; la portion de cet arc due aux rayons qui pénètrent dans les gouttes par la partie inférieure serait donc visible pour un observateur tournant le dos au soleil , si la lumière n'était pas trop affaiblie par les réflexions successives.

Les couleurs des différents arcs-en-ciel ne sont pures que sur les bords; car, le soleil ayant un diamètre apparent d'environ 3o minutes, la bande qui, dans chaque arc-en-ciel, correspond à une couleur simple a une largeur égale à ce diamètre apparent ; il y a donc superposition partielle des bandes de différentes couleurs , sauf vers les bords de l'arc.

Enfin on peut remarquer que les dimensions transversales des faisceaux efficaces sont d'autant plus considérables que le diamètre des gouttes de pluie est plus grand; l'arc-en-ciel doit donc être d'autant plus brillant que ces gouttes sont plus grosses, ce qui explique pourquoi des gouttelettes très-fines ne peuvent jamais pro* duire d'arc-en-ciel.

On peut obtenir des arcs-en-ciel artificiels en éclairant un jet d'eau cylindrique , soit au moyen des rayons solaires pénétrant dans la chambre obscure par une petite ouverture, soit par une lumière artificielle de petite dimension; il devient alors possible de distinguer les arcs formés par les rayons qui émergent du c6té opposé à celui par où pénètrent les rayons incidents. M. Babinet a observé les arcs formés par un jet d'eau jusqu'au quatorzième et mesuré leurs dimensions angulaires, qui se sont trouvées peu différentes de celles qu'indique la théorie ^^K