Arcs auriiuiiiérfilres. — Théorie d'IToiins. — La

théorie que nous venons d'exposer est, comme nous l'avons dit, incomplète en ce qu'elle suppose que les intensités des rayons s'ajoutent toujours arithmétiquement; aussi ne peut-elle expliquer la présence des bandes colorées qu'on désigne sous le nom d'arc* «urnutnéraires ou supplémentaires. Ces bandes se montrent le plus souvent à l'intérieur du premier arc-en-ciel , plus rarement à l'extérieur du second ; immédiatement en contact avec le violet de l'arc principal , on voit du rouge, puis du vert et du violet; ces alternatives de cou- ^•) C./?., IV, 645.

412 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

leur peuvent se reproduire plusieurs fois au-dessous du premier arcen-ciel ou au-dessus du second. Il est à remarquer que les arcs surnuméraires ne sont visibles en général que dans leurs parties calminantes.

Young a essayé le premier de rendre compte de la production de ces arcs surnuméraires^*^; il a remarqué que, la rotation des rayons efficaces étant toujours un minimum, il doit exister des rayons qui, pénétrant dans la goutte de part et d'autre des rayons efficaces, éprouvent des rotations égales et émergent par cbnsécpient parallèlement. Ces rayons, ayant parcouru dans la goutte d'eau des chemins différents, sont susceptibles d'interférer, pourvu que leur différence de marche ne soit pas trop grande, c'est-à-dire pourvu qu'ils ne soient pas trop éloignés des rayons efficaces. Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse des rayons qui se réfléchissent une seule fois

à l'intérieur de la goutte, et soit SI (fig. SA) le rayon efficace, pour lequel la rotation est d'environ 1 38 degrés. Pour les rayons incidents compris entre le rayon efficace SI et le rayon normal SA, la rotation croît de i 38 à 1 8o degrés. Pour les rayons incidents compris entre le rayon efficace SI et le rayon tangent SK , la rotation va également en croissant à mesure qu'on se rapproche du ''^^^' rayon Sk; pour le rayon SK, la

rotation est égale à qtt— tir, r étant l'angle de réfraction qui correspond à un angle d'incidence de 90 degrés; pour l'eau, cet angle dé réfraction est 48°35', ce qui dortne pour la rotation du rayon Sk i65°/io'. II résulte de là qu'à chaque rayon, tel que SB, qui rencontre la goutte d'eau entre le point I et le point k , correspond un rayon incident SC qui éprouve la même rotation et qui est compris entre SI et SA ; il est facile de voir que ces rayons SB

'') Experimenls and Calculations relative lo Pbysical Optics {PhiL Tra$u.y f8o&. p. 8).

DIFFRACTION. 413

et se, qui émergent parallèlement, doivent se réfléchir lians Tintérieur de la goutte au même point. La déviation des rayons eflScaces étant un maximum dans le cas d'une seule réflexion, celle des rayons qui émergent parallèlement doit être inférieure à la déviation des rayons efficaces, et, comme ces rayons parallèles donnent lieu à un maximum ou à un minimum de lumière suivant que leur difl'érence de marche est égale à un nombre pair ou impair de demi-longueurs d'ondulation, il doit se produire à l'intérieur du premier arc-enciel une série de maxima et de minima alternatifs pour chaque couleur simple, et par conséquent une succession de bandes colorées. Les rayons parallèles dont la déviation diffère peu de celle des rayons efficaces présentent seuls une différence de marche assez petite pour que les couleurs dues aux interférences de ces rayons soient distinctes; aussi les arcs surnuméraires ne sont-ils visibles que dans le voisinage immédiat de l'arc principal. Une bande d'un ordre déterminé correspond toujours à la même difl'érence de marche des rayons qui émergent parallèlement, et cette difl'érence de marche pour une même déviation est d'autant plus grande que le diamètre de la goutte est plus considérable; à une même déviation correspond donc une bande d'un ordre d'autant plus élevé que la goutte est plus grosse, et, comme les gouttes augmentent de volume en tombant, les bandes vont en s'écartant dans les arcs surnuméraires à mesure qu'on se rapproche de la partie culminante de ces arcs, ce qui explique pourquoi elles ne sont visibles que dans leur partie supérieure.

Les arcs surnuméraires qu'on aperçoit quelquefois à l'extérieur du second arc-en-ciel s'expliquent d'une manière analogue par les interférences des rayons qui émergent parallèlement après avoir subi deux réflexions; ces arcs sont Irès-pâles et restent souvent invisibles. Les arcs surnuméraires s'observent en grand nombre lorsqu'on produit des arcs-en-ciel artificiels. M. Babinet a vu jusqu'à seize franges colorées à l'intérieur du premier arc-en-ciel formé par un jet d'eau, et a pu distinguer huit franges à l'extérieur du second arc principal ^^K

ûl4 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

1 06. Théorie d'Alrj. — Explication complète de Tore- CB-ciei. — L'explication donnée par Young n'est en réalité qu'un simple aperçu, et son principal mérite est d'avoir montré ce qu'il y a d'inexact dans les anciennes théories. M. Airy est le premier qui ait donné une théorie complète de toutes les particularités que présente le phénomène de l'arc-en-ciel ^^^ Cette théorie est fondée sur la considération de l'onde qui correspond aux rayons émergents. L'onde émergente, dans une quelconque de ses positions réelles ou virtuelles , est évidemment une surface de révolution ayant pour axe le rayon incident normal , et toute section méridienne de cette onde est une développante de la caustique formée par les rayons émergents compris dans le plan de la section. 11 suffit d'après cela de voir ce qui se passe dans un plan mené par le rayon normal SA (fig. 85). Supposons qu'il s'agisse des rayons qui ont subi une réflexion unique à l'intérieur de la goutte d'eau, et occupons-nous seulement des

ri,; S5.

rayons qui pénètrent dans la goutte au-dessus du rayon incident normal SA. Les rayons émergents qui proviennent des rayons incidents compris entre le rayon normal SA et le rayon efficace SI forment une branche ADE de la courbe caustique, branche qui est asymptote au prolongement FT du rayon émergent efficace TR, puisque le rayon émergent tend à devenir parallèle à TR à mesure

^'^ Intensity of Liglil in Ihe Neighhourliood of a Caustic {Traun. oflhê Sœ. ofCambr., VI, 379).

DIFFRACTION. /ilS

que le point d'incidence se rapproche du point I; de plus cette branche est tangente en A au rayon normal SA. Une seconde branche de la caustique est engendrée par les rayons émergents qui proviennent des rayons incidents compris entre SI et le rayon tangent; cette seconde branche E'FG est asymptote au rayon émergent efficace T'R et tangente en F au rayon émergent dont le point d'émergence est sur la circonférence à une distance du point A aussi grande que possible, rayon qui, comme nous l'avons vu (105), correspond à un rayon incident voisin du rayon tangent.

La section de Tonde émergente par le plan de la figure est une développante de la caustique dont nous venons d'indiquer la forme générale; de plus, en vertu du théorème de Gergonne (3), elle coupe orthogonalement les rayons émergents compris dans ce plan. Cette courbe , au point 0 où elle rencontre le rayon émergent efficace FR ou son prolongement, est donc normale à la direction de ce rayon;

son rayon de courbure devient infini en ce point, d'oii il résulte qu'elle présente un point d'inflexion en 0 et qu'elle affecte dans le voisinage du point 0 la forme figurée en HOL. Prenons pour origine ce point 0 (fig. 86), pour axe des y le rayon émergent efficace et pour axe des x une perpendiculaire à ce rayon , les x étant comptés positivement du côté d'où pj jjg viennent les rayons incidents et

les y du côté vers lequel se dirigent les rayons émergents, c'est-à-dire au-dessous du point 0. La courbe HOL, qui est la section de l'onde émergente par le plan de la figure, passe par l'origine et est normale en ce point à l'axe des y; de plus elle présente à l'origine un point d'inflexion : on doit donc avoir au point 0 sur cett'e courbe

dy riV

d'où il suit que, si l'on ne considère la courbe que dans le voisinage

&16 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

du point 0, ce qui est suffisant pour le but que nous nous proposons, son équation peut être mise sous la forme

ou

en posant

Nous allons chercher maintenant à déterminer Tintensité de la lumière en un point M situé dans ]e plan de la figure, et dans une position telle que la droite qui joint ce point à l'origine fasse uo angle très-petit avec Taxe des y, c'est-à-dire avec la direction du rayon émergent efficace. Désignons l'abscisse de ce point par p et

son ordonnée par q; le rapport - sera une quantité très-petite. Un

raisonnement tout à fait analogue à celui que nous avons fait pour substituer une onde circulaire à une onde sphérique prouve que l'intensité envoyée par l'onde émergente en M est proportionneDe à celle qu'envoie en ce même point l'onde linéaire HOL; il suffit donc de calculer cette dernière intensité.

Prenons à cet effet sur la courbe HOL un point S dans le voisinage du point 0; désignons par s l'arc OS, par S la distance SM, et

représentons par sin âir ^ is la vitesse envoyée en M par l'élément

de l'onde linéaire qui a pour milieu le point 0.

En rémarquant que l'on peut négliger les vitesses envoyées en M par les éléments de l'onde linéaire qui sont éloignés du pôle et que ce pôle est toujours voisin du point 0, l'on voit que l'intégrale qui représente la vitesse totale envoyée en M par l'onde linéaire peut, sans qu'il en résulte d'erreur sensible, être prise de — oo à + oo; de plus, comme les seuls éléments qui influent sur la valeur de cette intégrale correspondent à de petites valeurs de s, et que, dans le voisinage du point 0, la courbe s'écarte très-peu de Taxe des X, il est permis de remplacer dans, cette intégrale ds par djr. La vitesse envoyée au poinl M par l'onde linéaire a donc pour

DiPFhACtION. 41/

expression

'+0° . ft S\

f^^sJn.w(^-j;)//.r.

On a d'ailleurs, en désignant par x et y les coordonnées du point S et en remplaçant y par sa valeur tirée de l'équation de la courbe ,

-^px+f + q^-j

-rf

-lf=\^

X étant touj sant

ours

petit.

le terme en

a" peut être négli

igé, et.

en po-

il vient

En développant par la formule du binôme et en négligeant les termes qui contiennent x à une puissance supérieure à la troisième, on a

c vie L if kWvj

Comme p est très-petit par rapport à q, on peut remplacer c ou \^p^+ ff pary + — ' et même plus simplement par q, dans les

dénominateurs des termes de l'expression précédente, ce qui donne, en négligeant p devant q et devante^

le facteur ^ peut ê.tre supprimé comme étant très-petit vis-à-vis de ôT *îl il vient

I 'Kf q '2(f ^(r VF.RDitT, V. — Oplic)ue, I. «7

/il8 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Pour faire disparaître le terme en a^, il suffit de choisir une nouvelle variable x' de telle façon que l'on ait

l'expression de ^deviendra alors, en désignant par/ l'ensemble des lemips indépendants de x\

Celle expression peut encore se simplifier, car a^ étant de Tordre de grandeur de — est négligeable vis-à-vis de hpq; il vient ainsi

L'expression de la vitesse envoyée au poinl M par l'onde linéaire, lorsqu'on y remplace S parcelle dernière valeur, prend la forme

d'où il résulle que l'intensité de la lumière au pôinl M' a pour me-

-^[.c:-Si('---^'-^')^'']'-

sure

En remarquanl que la première de ces inlégrales a une valeur deux fois plus grande que si elle était prise de zéro à + oc et que la seconde est nulle, on voit que l'intensité au point M peut être représentée. j)ar

Si l'on pose

Sa ^ 2 '

1)1 PPR ACTION. li\9

(I ou

et si l'on pose encore

4p 3/:vX l'intégrale dont dépendent les variations de l'intensité prend la

lorme