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1 côs -(«î^ — ww)rfir.
Kn définitive, l'intensité au point M est donc proportionnelle au carré de cette dernière intégrale, qui peut être regardée comme une fonction du paramètre m; ce paramètre est lui-même proportionnel à -» c'est-à-dire à la tangente de l'angle formé par la droite
0\1 avec la direction du rayon émergent efficace, lequel angle est égal à la différence des déviations du rayon que reçoit l'œil placé en IVf et du rayon efficace.
M. Airy a calculé les valeurs que prend l'intégrale
I cos - {11^ - mw) dw
lorsqu^on donne au paramètre m des valeurs positives ou négative» variant par dixièmes à partir de zéro; il s'est fondé sur cette remarque que la valeur de l'intégrale reste sensiblement la même lorsque la limite supérieure varie depuis une valeur un peu grande jusqu'à l'infini, remarque tout à fait analogue à celle que nous avons faite sur les intégrales de Fresnel. La méthode de calcul employée par M. Airy est une méthode d'approximation différant peu de celle dont s'est servi Fresnel pour évaluer ses intégrales, et consi^e à diviser l'intervalle compris entre les limites extrêmes de l'intégrale en un grand nombre d'intervalles très-petits. Il a trouvé ainsi que, si l'on donne à m des valeurs négatives, l'intégrale décroît à mesure que la valeur absolue de m augmente et tend rapidement vers zéro; si, au contraire, on attribue à m des valeurs positives croissantes, l'intégrale commence par croître, atteint bientôt
4âO LlJMIKftE NON POLARISÉE.
un premier maximum , puis passe par une série de minima et de maxima, le premier maximum ayant une valeur beaucoup plus grande que tous les autres. De là résultent plusieurs conséquences importantes relativement à la distribution de la lumière. On voit
en premier lieu qu'à une valeur nulle de m et par conséquent de -
ne correspond pas un maximum d'intensité, et que le premier
maximum, qui est de beaucoup le plus intense, a lieu lorsque - a
une valeur positive peu différente de zéro; il faut en conclure que la déviation du premier arc-en-ciel nVst pas exactement égale à celle
des rayons efficaces, mais un peu plus petite. Lorsque - est négatif,
c'est-à-dire lorsque la déviation est plus grande que celle des rayons ellicaces, l'intensité décroît très-rapidement : Téclairement de la région située au-dessus du premier arc-en-ciel devient donc insensible à une petite distance de cet arc, du moins si Ton ne tient compte que des rayons qui ont subi une réflexion unique à l'intérieur des gouttes d'eau. Lorsque - est positif et croit à partir de
zéro, c'est-à-dire lorsque la déviation est inférieure à celle des rayons efficaces, l'intensité passe par une série de maxima et de minima; le premier maximum produit l'arc principal; les autres, qui correspondent à des déviations de plus en plus petites, les arcs surnuméraires qu'on observe à l'intérieur de cet arc principal.
Le calcul donne les valeurs de m pour lesquelles l'intensité est maxinmm : ces valeurs sont proportionnelles aux valeurs correspondantes de -ï c'est-à-dire aux distances angulaires des différents arrs surnuméraires à l'arc dont la déviation est égale à celle des rayons efficaces; la constante par laquelle il faut multiplier ^ pour avoir le
paramètre m ne pouvant être évaluée exactement, on ne pourra déterminer que les rapports entre ces distances angulaires, rapports qui sont indépendants des dimensions des gouttes d'eau.
Les valeurs absolues des distances angulaires des arcs surnuméraires à l'arc efficace varient au t^ontraire avec le diamètre des goutto d'eau. En effet, un m«^me maximum correspondant toujours à une
DIFFRACTION. 421
même valeur de m, ia valeur de - pour un arr surnuméraire d'un
ordre déterminé est d'autant plus petite que a est plus grand. Or il est facile de voir que le paramètre a est proportionnel au rayon de la goutte d'eau : il suffit pour cela de remarquer que, pour deux gouttes d'eau de rayons différents, les sections méridiennes de l'onde émergente doivent être semblables et avoir pour rapport de similitude le rapport des rayons, d'où il résulte qu'en prenant pour origine les points où les deux courbes rencontrent le rayon efficace et en désignant par r et r les rayons des deux gouttes d'eau, par a et a les valeurs du paramètre pour les deux courbes, par x, y et x\ y' les coordonnées de deux points homologues de ces deux courbes, on aura
et par conséquent
Pour un même maximum, la valeur de - est donc d'autant plus petite que le diamètre des gouttes d'eau est plus considérable, et les arcs surnuméraires sont d'autant plus écartés les uns des autres que les gouttes sont plus fines, ce qui explique pourquoi ces arcs ne sont visibles que dans leur partie culminante. On voit de plus que l'écart entre la déviation du premier arc-en-ciel et celle des rayons elBcaces augmente à mesure que les gouttes deviennent plus fines.
Nous ne nous sommes occupés dans ce qui précède que des effets produits par les rayons qui se sont réfléchis une seule fois à l'intérieur des gouttes d'eau : le cas où les rayons subissent plusieurs réflexions se traitera d'une façon complètement analogue. On trouvera ainsi que la déviation du second arc- en -ciel est toujours un peu plus grande que ne l'indique la théorie de Descartes, et que l'écart est d'autant plus considérable que les gouttes d'eau sont plus fines; au-dessous de ce second arc-en-ciel l'intensité décroît très-rapide-
/i22 LUMIÈRE NOIS POLARISÉE.
ment, au-dessus elle passe par une série de uiaxiina et de minima donnant lieu à des arcs surnuméraires.
La théorie de M. Airy a été confirmée par les recherches expérimentales de M. Miller, qui a mesuré avec un théodolite les dimensions angulaires des arcs principaux et des arcs surnuméraires que produit un filet d'eau cylindrique éclairé par une source artificielle d'un trèspetit diamètre apparent ^'^.
1 07. Are-en-eiel blanc. — On donne le nom d'arc-en-cie/ blanc à un phénomène qui s'observe principalement au moment où un brouillard épais se résout en pluie très-fine, et qui consiste en un arc d'apparence blanchâtre, à peine teinté de rouge sur son bord extérieur, dont le demi-diamètre apparent est variable et en général notablement plus petit que celui du premier arc -en -ciel. Ce demidiamètre apparent est le plus souvent compris entre 87 et 4 q degrés; à cette dernière limite l'arc-en-ciel blanc se confond avec l'arc-en-ciel ordinaire. Bouguer a vu dans les Cordillères un arc-en-ciei dont le demi-diamètre était de 33°5'; mais aucune observation postérieure n'a donné un angle aussi faible.
L'explication la plus plausible de l'arc-en-ciel blanc consiste à le regarder comme produit par des gouttes d'eau extrêmement fines. La théorie de M. Airy montre en effet que l'écart entre la position réelle du premier arc-en-ciel et celle que lui assigne la théorie de Descartes augmente à mesure que le diamètre des gouttes diminue. Quant à l'absence de coloration, elle tient en partie au peu d'intensité de la lumière que réfléchissent des gouttes très-petites, mais elle s'explique surtout par l'existence de gouttes de diamètres différents donnant lieu à des arcs dont les dimensions angulaires ne sont pas les mêmes; ces arcs en se superposant doivent en effet produire une bande sensiblement blanche, sauf sur les bords.
M. Bravais a essayé d'expliquer l'arc-en-ciel blanc en admettant la présence dans l'atmosphère de gouttes d'eau creuses, dont l'enveloppe aurait une épaisseur comparable au rayon de la cavité intérieure ^*^^ Les rayons qui émergeraient d'une pareille goutte apri»s
'^ Tran». of the Soc. oj Camhr.y VII, 377.
*> C. /?., \X1, 756. — hwu. de VÉc, PoL, XVllI, 97.
DIFFRACTION. /i23
une seule rëflexion seraient en effet compris entre deux surfaces coniques formées, Tune par les rayons émergents qui proviendraient des rayons incidents tangents à la surface extérieure de la goutte , l'autre par les rayons émergents correspondant aux rayons incidents qui, après réfr.action, deviendraient tangents à la surface intérieure de la goutte. Mais l'existence de gouttes d'eau suspendues dans l'atmosphère et présentant la constitution que leur suppose M. Bravais est fort peu probable.
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