Principe de la «uperposition des éliMtieité». — Les

composantes parallèles aux axes de la force élastique développée par un déplacement égal à e et faisant avec les axes des angles égaux

THÉOIUK DE FRKS^EL /lôli

il a, /5, y ont pour expression

Xe = Ae cosa+ Ve cos ^ + Ee cos y, Ye = ¥e cosa 4- Be cos jS + De cos y, Ze = Ee cosa + De cos /S -f Ce cos y.

Pour un déplacement parallèle à Taxe des x et égal à la projection sur cet axe du déplacement e, les composantes de la force élasfujue sont, en posant ecosa = ei,

X^e, = Aecosa, Y,ei= Fe cosa, ZiC, = Es cos a;

de même, pour des déplacements parallèles à Taxe des y et à Taxe des z et égaux respectivement aux projections du déplacement e sur ces axes, les composantes de la force élastique sont, en posant e cos /S = e^ , e cos y --- es ,

Xae^ = Fe cos j8 , Y.2 e2 ==- Be cos j8 , ZgCs = De cos j8 ,

Xaea =^- Ee cos y, Yse^ - De cos y, Zjes =- Ce cos y.

On a par consé<[uent

Xe = Xj ei + X^e^ + Xjea , Ye-= Yjei + Y.^e^ ^Yges, Ze = Zjej + Z.2e2 + Zge».

De ces dernières équations on déduit le principe suivant, connu sous le nom de principe de la superposition des élaslicilés, et qui joue un rôle important dans la théorie générale de l'élasticité :

La force élastique développée par un déplacement très-petit d'une molécule peut être regardée comme la résultante des forces élastiques qui seraient mises enjeu, si la molécule recevait successivement trois déplacements parallèles à trois axes rectangulaires et égaux respectivement aux projections du déplace^nent réel sur ces axes, * -*'**«^»**'* <>' ' *

Ce principe n*est vrai qu'autant que le déplacement est trèspetit, car, dans le calcul qui noi^s a conduit aux équations ( 3 ) ,

470 DOUBLE REFRACTION.

nous n'avons tenu compte que des termes qui sont de Tordre de la première puissance du déplacement.

121. raiipMMe liiTene des éimmtàmàiém. ~ Si Ton projette la force élastique produite par un déplacement très-petit, égal à Tunité et faisant avec les axes des angles a, /3, 7, sur la direction même du déplacement, cette projection Pa pour valeur

P = A cos*^ «4- B cos*/S + C cos^y + aD cos /S cosy + aE cosy cos e + aFcosacos/3.

Supposons qu'on construise une surface dont le rayon vecteur, faisant avec les axes les angles a , /3 , y, soit en raison inverse de V^, c'est-à-dire une surface telle, que les rayons vecteurs soient en raison inverse des racines carrées des projections sur ces rayons des forces élastiques développées par des déplacements très-petits, égaux à l'unité et respectivement parallèles aux rayons vecteurs.

L'équation de cette surface est, en désignant par u le rayon vecteur et en supposant le coefficient de proportionnalité égal h l'unité,

-^= A cos*a+ Bcos*/3-f Ccos^y +aD cosj8cosy+ aE cosyco^a

+ aF cos a cos /S,

d'où , en remarquant que l'on a

cosa = -^ cosp = '-» cosy = -^

La surface est donc du second degré, et, comme elle est nécessairement fermée, ce ne peut être qu un ellipsoïde; elle porte le nom Sê&pmàt inverse des ilastiàlés ou premier ellipsoide : nous ^appelle^on^, pour abréger, l'ellipsoïde (E).

122. Ames dTélMiticIté. — L'ellipsoïde inverse des élasticités peut être rapporté à ses trois axes de symétrie; son équation prend alors la forme

Si Ton choisil ces trois axes j30ur axes des coordonnées, les coellicients des termes qui, dans l'expression de P, contiennent les produits cosjScosy, cosy eosa, cosacosjS, doivent devenir identiquement nuls, sans quoi l'équation de l'ellipsoïde renfermerait des ternies où figureraient les rectangles des coordonnées. Donc, en prenant pour axes des coordonnées les trois axes de symétrie de l'ellipsoïde (E), les composantes parallèles aux axes de la force élastique développée par un déplacement très-petil . égal à l'unité et faisant avec les axes des angles a, j8, y, sont représentées par

\=-Lcosa, Y = Mcosj8, Z = ^co8y.

Cherchons maintenant quelles sont les directions telles, qu'un déplacement parallèle à l'une de ces directions produise une force élastique parallèle au déplacement. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il sufiît que les angles a, jS, y, formés avec les axes par la direction cherchée, satisfassent aux relations

cos a cos/3 cos y '

qui peuvent être mises sous la forme

L cos a cos jS ^ M cos a cos j8 , M cos j8 cos y — N cos /S cos y, N cos y cos a = L cos y cos a.

Lorsque les trois coefficients L, M, N ont des valeurs diiïérentes, c'est-à-dire lorsque le milieu est inégalement elasti((ue suivant trois directions rectangulaires, ce qui est le cas général, ces trois équations ne peuvent être satisfaites que si, l'un des trois angles a. jS^ y étant nul, les deux autres sont égaux à 90 degrés, ou, en d'autres , termes, si le déplacement est parallèle à l'un des trois axes des coordonnées. Nous arrivons ainsi à cette importante proposition :

Dans un milieu homogène, il existe toujours trois directions rectangulaires telles, quun déplacement très-^etit d'une molécule parallèlement « tune de ces trois directions produit une force élastique parallèle au déplacement, et en général aucune autre direction ne jouit de celte projmété.

/472 DOUttLE RÉFkACTIO.N.

Nous apjïulleroiis axe d'élasticité toute direction telle, <|u'uu déphiceuieut très-petit s'eiTectuant parallèlenient à cette direction doniii' naissance à une force élastique parallèle au déplacement. 11 y a donien général dans un milieu homogène trois axes d'élasticité; ces trois axes sont rectangulaires entre eux et parallèles aux axes de symétrie de leliipsoïde (E).

Si le déplacement a lieu parallèlement à l'axe des x^ on a

X = L, Y= o. Z = o; s'il a lieu parallèlement à l'axe des y,

s'il a lieu parallèlement à Taxe des z,

On voit donc «pic les forces élastiques développées par des déplacements égaux s'effectuant parallèlement aux trois axes d'élasticilé, forces qui sont elles-mêmes parallèles à ces axes, sont invorsenieiil proportionnelles aux carrés des longueurs des trois axes de l'ellipsoïde (E).

Si deux des quantités L, M, N sont égales, l'ellipsoïde E a deiii axes égaux ; dans ce cas cet ellipsoïde est de révolution , et toute droite située dans le plan des axes égaux est un axe d'élasticité. Donc, si dans un milieu homogène des déplacements égaux s'effectuant suivant deux droites rectangulaires donnent lieu à des forces élasti(pios parallèles aux déplacements et égales entre elles, tous les déplacements s'effectuant suivant une direction comprise dans le plan de ces deux droites produisent des forces élastiques parallèles aux déplacements et égales entre elles si les déplacements sont égaux: c'est ce qui a lieu dans les milieux cristallisés à un axe.

Si les trois quantités L, M, N sont égales entre elles, l'ellipsoïde (E) devient une sphère, et toute droite est un axe d'élasticité. Donc, si dans un milieu homogène des déplacements égaux s'effectuaiil suivant trois droites rectangulaires donnent lieu à des forces élastiques parallèles aux déplacements (»t égales entre elles , tout dépla-

THÉORIE DK FRESNEL. 473

cernent, quelle que soit sa direction, produit une force élastique qui lui est parallèle, et la grandeur de cette force élastique est indépendante de la^ direction du déplacement.

Revenons maintenant au cas général : si nous représentons par a, bâcles vitesses de propagation des déplacements parallèles aux aies, ces vitesses, étant proportionnelles à la racine carrée de la force élastique, seront inversement proportionnelles aux racines carrées des quantités L, M , N : l'équation de l'ellipsoïde (E) peut- donc être mise sous la forme (E) a«^ + 62ya + c2^2 j^

et les composantes parallèles aux axes de la force élastique produite par un déplacement très-petit, égal à l'unité et faisant avec les axes des angles a, /3, y, ont pour expression définitive

X = rt^cosa. Y = i2cosj8, Z = c^cos7.

123. Dipection» «insulières. — Nous allons actuellement chercher (juels sont, parmi les déplacements moléculaires très-petits qui peuvent s'effectuer dans un même plan , ceux pour lesquels la projection de la force élastique sur ce plan est parallèle au déplacement.

Si l'on coupe l'ellipsoïde (E) par un plan quelconque passant par son centre et qu'on choisisse pour axes des x et des y les axes de la section elliptique ainsi déterminée, l'équation de l'ellipsoïde prend la forme

le coeilicient F du terme en xy devenant nul. Les trois composantes de la force élastique sont alors représentées par

X =- A cos a + E cos y, Y = Bcos/3+Dco8y, Z = E cos a + D cos jS + C cos y.

Si le déplacement a lien parallèlement au plan des xy^ on n y - () o°, cos j8 — sin a ,

ilfi DOUBLE RÉFRACTION.

et par suite

X=^ A cosa, Y=-Bsina, Z = K cos a + D sin a.

Pour que la projection de la force élastique sur le plan des x^ soit parallèle à la direction du déplacement, il faut et il suffit que

Ton ait •

cosa sina ou

A cos a sin a =- B sin a cos a;

lorsque A et B ont des valeurs différentes, cette équation ne peut être satisfaite que si a est nul ou égal à 90 degrés, c'est-à-dire si le déplacement est parallèle à Tun des nxes de la section elliptique. Nous sommes conduits ainsi à la proposition suivante :

Parmi tous tes déplacements moléculaires qui peuvent s'exécuter dont un même plan, il ny en a en général que deux qui donnent miissance n une force élastique dont la projection sur ce plan soit parallèle au déplacement; les directions de ces deux déplacements sont rectangulaires et parallèles aux axes de la section elliptique quon détermine en menant par le centre de l'ellipsoïde (E) u/i plan parallèle à celui dans lequel ont lieu le* déplaceinents.

Ces deux directions sont ce qu'on appelle les directions singulièm du plan considéré.

Si le plan dans lequel s'effectuent les déplacements est parallcie aux sections circulaires de l'ellipsoïde, toute droite située dans ce plan est une direction singulière, et, par suite, tout déplacement s'opérant dans ce plan donne lieu, quelle que soit sa direction, à une force élastique dont la projection sur le plan est parallèle au déplacement.