l^ltemne de propasation des onde» planes. — Les
hypothèses admises par Fresnel permettent d'appliquer à la propagation des ondes planes les résultats que nous venons d'obtenir. En
THÉORIE DE FKESNEL. 475
effet, comme les forces élastiques mises en jeu dans la propagation d'une onde plane ne différent de la force élastique développée par le déplacement d'une seule molécule que par un facteur constant, v\ que d'ailleurs la composante parallèle au plan de l'onde est seule efficace, pour qu'une onde plane puisse se propager sans altération, c'est-à-dire en conservant sa direction et sa polarisation , il faut et il suffit que les déplacements des molécules sur cette onde soient parallèles à l'une des directions singulières du plan de l'onde. Si. sur l'onde plane, le déplacement a une direction quelconque, on peut toujours, en vertu du principe delà superposition des élasticités, supposer ce déplacement décomposé en deux autres s'effectuant parallèlement aux directions singulières. Une onde plane donne donc en général naissance à deux systèmes d'ondes sur lesquelles les vibrations sont parallèles aux directions singulières du plan de Fonde et perpendiculaires entre elles. Les vitesses de propagation de ces deux systèmes d'ondes , estimées normalement au plan de l'onde, sont différentes. Ces vitesses, d'après la quatrième hypothèse, sont proportionnelles à la racine carrée de la composante efficace de la force élastique, et par suite, d'après la construction de l'ellipsoïde (E), elles sont en raison inverse des longueurs des axes de la section elliptique déterminée dans cet ellipsoïde.
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
A une même direction de propagation mrmale correspondent deux systèmes fondes planes sur lesqtieUes les vibrations s'effectuent parallèlement aux axes de la section elliptique déterminée dans F ellipsoïde (E) par un plan passant par son centre et perpendiculaire à cette direction, et dont les vitesses de propagation normale sont inversement proportionnelles aux lon^ gticurs de ces axes.
Cette proposition constitue à proprement parler la loi fondamen* taie de la double réfraction et s'est toujours trouvée d'accord avec l'expérience. Fresnel y était arrivé par voie de généralisation avant d'avoir tenté de la justifier par la théorie mécanique que nous venons d'exposer.
H est facile maintenant de trouver l'expression de la vitesse de propagation d'une onde plane. Soient en effet a, /3,^ les angles que
forme avec les axes des coordonnées l'un des axes de la section elliptique faite parallèlement au plan de cette onde dans rellipsolde (E): les composantes de la force élastique développée par un déplacement parallèle à cet axe seront
X = fl2cosa, Y =^ b^cosl3, Z=-c^cosy.
La projection de la force élastique sur la direction du déplacement, c'est-à-dire la composante efficace de cette force élastique, aura donc pour expression
a^ cos^ a -j- 6-* cos^ jS + c^ cos^ y,
et la vitesse de propagation de l'onde plane sera représentée par
i/fl^ cos*-^ a+ i*^ cos'-^ jS + c^ cos^ y.
En donnant aux angles a, jS, y les valeurs qui conviennent au\ deux axes de la section elliptique, on aura les vitesses de propagation des deux systèmes d'ondes qui peuvent cheminer dans le milieu parallèlement à un plan donné.
Si le plan de Tonde est parallèle à Fun des axes d'élasticité du milieu. Tune des directions singulières de ce plan coïncidera avec cet axe, et par suite l'une des vitesses de propagation de Tonde plane sera égale k a, k b on h c suivant que Tonde est parallèle à Taxe des X, à celui des y ou à celui des z.
Si le plan de Tonde est parallèle aux sections circulaires de Tcllipsoïde (E), Tonde pourra se propager sans altération, quelle que soit la direction des déplacements moléculaires, et sa vitesse de propagation sera indépendante de la direction de ces déplacements.
1:25. Détcrminatiop de la «urfaee d'éliMticité. — Nous suivrons dans la détermination de la surface de Tonde la méthode indiquée par de Senarmont, et nous chercherons d'abord Téquatio/i d'une surface auxiliaire dite surface d'élasHcité ou surface des vitesm normales. Pour obtenir cette surface il faut, par un point pris pour centre, mener un plan quelconque et, sur la normale à ce plan, prendre des longueurs inversement proportionnelles aux axes de la
THKOHIK DE FRES.NEL /i77
sertion elliptique faite dans Tellipsoïde (E) parallèlement à ce plan, ou directement proportionnelles aux deux vitesses de propagation des ondes planes parallèles à ce plan qui peuvent cheminer dans le milieu : le lieu des points ainsi déterminés est la surface d'élasticité. Les plans perpendiculaires aux extrémités des rayons vecteurs de cette surface sont les positions occupées au bout d'un même temps par toutes les ondes planes qui passent simultanément par le centre, et, par conséquent, la surface de Tonde n'est autre chose que l'enveloppe de ces plans.
La surface de l'onde se déduisant de la surface d'élasticité, proposons-nous en premier lieu de trouver l'équation de cette dernière surface. Prenons à cet effet pour axes des coordonnées les trois axes d'élasticité du milieu; soient /, m, n les angles que fait avec ces axes la normale à une onde plane , a, jS, y ceux que forme avec les mêmes axes'un des axes de la section elliptique faite dans l'ellipsoïde (E) parallèlement à cette onde; nous aurons
(i ) cos a cos / + cos /S cos m + cos y cos w = o.
La force élastique dévejoppée par un déplacement parallèle à la droite qui fait avec les axes les angles a, /3, y se projette sur le plan de Fonde parallèlement à ce déplacement, et les cosinus des angles (|ue la direction de cette force fait avec les axes sont proportionnels aux quantités a^cos a, A^ cos /3, c^ cos y ( 1 24). Si donc on considère une droite auxiliaire perpendiculaire à la fois au déplacement et à la force élastique, cette droite sera située dans le plan de l'onde, et, en désignant pîir w, t% w les angles qu'elle fait avec les axes, on aura
(9) rt^cosacosM + i^cos/3 cosv+c^cosy cos!t'= 0,
(3) cosacosu + rosjScosr+cosy cosu'==o,
(/j) cos/costt+cosmcosr + cos«.costt' = 0.
Enfm, en représentant par r la vitesse de propagation de l'onde
plane , on a
(5) î^:r^a^ cos^a + fr-^cos^jS H- f^ cos^y.
Si, enire ces équations, on élimine les quantités a^ ^, y, u, r, tr,
«8 nOHBLE RÉFRACTION.
il restera une relation entre r^ I, m, » qui sera l'équation polaire de la surface d'élasticité.
Pour effectuer Télimination des angles u,v,w, nous emploierons la méthode des coefiicients indéterminés ; nous ajouterons les équations (s), (3), (â) après les avoir multipliées respectivement, la première parB, la seconde par A, la troisième par i, et nous déterminerons A et B de façon que les coefficients de cosv et de costr soient nuls. Nous obtiendrons ainsi les trois équations
/ (A + Bfl^),cosa + cos/ = o,
(6) j (A + B62)cosi8+cos»w=o,
( (A-4-Bc2)cos7+cosiî = o.
Si Ton ajoute ces trois équations après les avoir multipliées respectivement par cosa, cosjS, cosy, il vient, en tenant compte des équations (i) et (5),
A-fBr2==o, d'où
A^-Br2.
En portant cette valeur de A dans les équations ^6) , ces équations prennent la forme
cos / == B (r^— fl^) cosa,
cosm= B (r^— A^) cosjS,
cos» = B (r^ — f^ ) cosy.
d'où l'on tire
cos/ cos m cosw
/ V r* — «^ /* — h^ /'*—(•" / cos*/ cos* m cos*h
Si dans IVquation(i) on remplace cosa, cosjS, oosy par les quantités proportionnelles
cos/ cos m cosn.
r«~fl»' P'^'' t-'-c*' il vient
/Qx cos*/ cos*m cos*n
équation polaire de la surface d'élasticité.
THEORIR DE FRRSNEL A79
126. Détcriniiuition de la «urfface de Tonde. — Soient r, l, fn,n les coordonnées polaires d'un point de la surface d'élasticité; menons par ce point un plan perpendiculaire au rayon vecteur de cette surface, et désignons par p, X, fx, f les coordonnées polaires d'un point quelconque de ce plan.
L'équation du plan ainsi déterminé sera
((j) cos/cosX-h rosmcos^+cosw cosv = -^
et l'on aura entre les paramètres de ce plan les deux équations de condition
Icos*/ + cos^m 4- cos^n = i , cos*/ . cos*m , cos*n
La surface de l'onde est l'enveloppe des plans définis par l'équation (9): pour obtenir l'équation de cette surface, il faut donc, entre les trois équations (9) et (10) et les six équations obtenues en les difi'érentiant par rapport aux paramètres indépendants, que nous supposerons être cos/ et cosm, éliminer les huit quantités
, Jcos/i c/cos/i dr dr
' ^ acosl dcmw dcosi (/cosm
de façon à obtenir une relation qui ne contienne que p, X, /lit, v.
Les six équations obtenues en différentiant (9) et (1 0) par rapport à cos/ et h cosm sont
. dcosn 1 dr
cos A + cos V 1 -. = - -. . ^
' rfcos/ pr/ cos/
- ■ , f/cos« (11)' i()s/-4- cos;/ 7 -= o ,
cos/ cos/i (/ vos II dr P cos-/ cos* m cos*n 1
dco&n 1 dr ^ ' r/cosw pr/cos/ii
. r dcOSIl
( I îi ) ' cosm + cosw -7 --= o .
\ / i ' rfcosm
cosm
' 4- ^'^^^* </ ^'Q*^ " f/'" r ^^^^ / . cos* m cos* rt ]
« + r' - (- r/ cos m "" r/cosm '' lr*~ay '^' (r*-6*)* "^ (r*-f*n
/i80 DOUBLE RÉFRACTION.
j^our effectuer l'élimination des quantités ^^, j^.;^,^ -1 nous aurons encore recours à la méthode des coefficients in-
dcosm
déterminés; nous ajouterons les équations des deux systèmes (ii)
et (i a), après les avoir multipliées respectivement, la première par i,
la seconde par A , la troisième par — B. 11 est facile de voir que
les valeurs de A et de B qui annulent les coefficients de -j-— 7 .1 d cost
et de j— î dans l'équation provenant du système (11) annulent
aussi les coefficients de j et de -j—- — dans Téqualion pro-
acosm acosm » *^
venant du système (ta); nous aurons donc deux équations pour déterminer A et B. Si à ces deux équations nous joignons les équations auxquelles se réduisent celles qui proviennent de l'addition des systèmes (11) et (iq) lorsque A et B sont ainsi déterminés, nous obtiendrons le système
rosX + A cos/ = D 1 î^
, 4 D cosm
cos fi-\-A cos m = D TZ~M 1
cosv -f-A cosu =15-1 ô^
* — R r cos"*/ . cos* m cos^n "1
Si l'on ajoute les trois premières de ces équations (i3) après les avoir multipliées respectivement par cos/, cosm, cosw, il vient, en tenant compte des équations (9) et (10),
Si l'on ajoute les mêmes équations après les avoir élevées au carré, il vient
On lire de \h pour A pI B les valeurs suivantes :
TMiî:ORIE bK F^RESNEL 481
En portant ces valeurs dans les équations (i3), elles deviennent
prosX rcos/
p*— rt' r—(r pcosjEJt rcos/«
(i4) i pcosy rcosy?
