HT V
au rayon vecteur détermine dans VelUpsoide ri + ii + t = i .
Représentons par <p, ^, X '^^ angles que fait avec les trois axes de coordonnées l'un des axes de cette section elliptique; il s'agit de démontrer que les trois droites (a, j8, y), (X, jsjt, v), (^, >^, x) ^°* contenues dans un même plan.
Remarquons d'abord qu'entre les angles a, /3, 7, que fait avec les axes des coordonnées l'un des axes de la section elliptique déterminée dans l'ellipsoïde a^jr^H- ft^y^-|-c^z*= 1 par un plan perpendiculaire à la droite {l, m, rt), on a les relations
cos/ cosm cos/i
/^\ r^—a* r* — 6* /*— r* / cos*/ cos* m cos'n
^'^ côsflT ~ côsjS" ^ côsy "~ V (''*- «V ('^ - by "^ (r*- c*)' '
et que par suite les angles ^» >^. X- ^"^ ^^^^ ^^'^^ '^^ ^t*®* ^^ ^^^^' données l'un des axes de la section elliptique déterminée dans Tel-
lipsoïde ^ï + Is + :s = * par un plan perpendiculaire à la droite (X, jEJt, r). sont liés par des relations qui s'obtiendront en remplaçanf
THÉORIE DE FRESNEL. /ië7
dans les précédentes i-^, a, /3, y, l, m, w, «2, fr^. c^ respectivement par -i»^, +, X- ><y fJ^y ^''^«'p'?'^® 4"^ ^^""^ a*cosX b*cùSfA c*cosv
(18) J cos<p cos>f/ cosx
Ceci posé, considérons une droite auxiliaire perpendiculaire à lu fois aux deux droites (X, /ut, v) et (^, >{/, x)? 6t faisant avec les axes des angles A, B, G; nous aurons
(19) COS A COS X + COS B COS fit + cos G COS V = o,
(30) COS A cos^+cos B cos>|/ + COS G cosx= o.
L'équation (ao), en y remplaçant cos^, cos>^, cos^ par les quantités qui leur sont |)roportionnelles d'après (18), devient
i^t COS A + t^ COS B + -TTi^f COS G = 0. En ajoutant cette dernière équation et Téquation ( 1 9 ) , il vient
COSX 4 , COS lit „ , COSf .,
-i^^t COS A + -r^p COS B + ^rr^ cos G = o,
et en remarquant que, d'après les équations (7) et ( 1 4), cosX cos/x COSI'
cosa cosjS cosy ' on a définitivement
cos a COS A + COS j8 cosB 4- cos y cos G = 0.
Donc les droites (a, j8, y), (X, fi, v), (^, >|/, x). étant toutes trois perpendiculaires à la droite (A, B, G), sont contenues dans un même plan, ce qui démontre le théorème suivant :
/j88 double KÉFRACTION.
Les plans qui contiennent à la fois un même rayon vecteur de la surface de tonde, les deux vibrations et les deux directions de propagation normale correspondantes, sont rectangulaires,
130. Crlfliiue de la théorie de Fresnel. — Les hypothèses dont Fresnel avait fait les principes de sa théorie de la double réfraction ne résistent pas à un examen approfondi. Sans rechercher s'il est vrai que Tabsence des vibrations longitudinales prouve Tincompressibililé de Téther, l'hypothèse qui consiste à regarder comme seule eificace la composante parallèle au plan de Tonde de la force élastique doit être rejetée comme incompatible avec le point de vue où Fresnel s'était placé. Lorsqu'on se propose d'expliquer les phénomènes lumineux par la considération d'un éther formé de molécules séparées par des intervalles assez grands pour que ces molécules puissent être assimilées dans leurs réactions mutuelles à des points mathématiques, on ne doit avoir recours à aucune hypothèse accessoire. Les actions réciproques des molécules doivent rendre compte de tout, de l'incompressibilité de Téther, si elle est réelle, comme des lois de la propagation des ondes. Les seules ondes dont on puisse admettre qu'elles se propagent sans altération sont celles qui développent des forces élastiques parallèles aux vibrations, et le problème est de trouver l'arrangement moléculaire et la loi d'action réciproque qui conduisent à déterminer la vitesse et la polarisation do ces ondes en conformité des lois de Fresnel. Cauchy a démontré (|ue ce problème ne comporte pas de solution rigoureuse. Il n'esl possible, avec un milieu ainsi constitué, de satisfaire aux lois de Fresnel que d'une manière approchée et seulement dans l'hypothèse d'une double réfraction peu énergique.
Quant à l'hypothèse qui consiste à admettre que l'élasticité mise en jeu par la propagation d'un système d'ondes planes à vibrations rectilignes soit dans un rapport constant avec l'élasticité développée par le déplacement parallèle d'une seule molécule, quelle que soit la direction du plan de l'onde, elle est, comme l'a fait voir Cauchy, erronée de tout point. Il n'est donc ])as évident que dans les cristaux à un axe les vibrations ordinaires soient perpendiculaires à Taxe, el les phénomènes de la double réfraction ne peuvent servir à décider
si dans la lumière polarisée les vibrations sont perpendiculaires ou parallèles au plan de polarisation. L'une et l'autre hypothèse sont également légitimes; seulement elles exigent que, pour la représentation approximative des lois de Fresnel , on admette des relations différentes entre les coefficients d'où dépendent les grandeurs et les directions des forces élastiques mises en jeu dans les vibrations de l'éther.
THÉORIE DE CAUGHY'.
Cauchy, dans sa théorie de la double réfraction , n'a recours à aucune hypothèse; il s'appuie uniquement sur ce principe évident, que les seules ondes planes qui puissent se propager sans altération dans un milieu élastique sont celles dont les vibrations produisent des forces élastiques parallèles aux déplacements moléculaires. Nous allons exposer la théorie de Cauchy avec les simplifications qui y ont été introduites par Béer, et montrer comment les résultats de cette théorie peuvent s'accorder d'une manière approximative avec ceux qu'a obtenus Fresnel.
131. Exprcmrtoii analjtliiue des forées ébMtiv>«« déircloppécfi dans le meuireBieiit d*ini sjstèBie de m^l •ollieitéee pmw des foreee d*attraetioii eu de ■mtuelle et trée peu éeartéee de leur posltioii d*é^piilibrc«
— Gomme, dans la théorie de Cauchy, on n'admet aucune relation nécessaire entre les forces élastiques mises enjeu par la propagation d'un système d'ondes planes et la force élastique développée par le déplacement d'une molécule unique s'opérant paraUèlement aux vibrations de ces ondes, il est indispensable de considérer le cas général où toutes les molécules d'un système reçoivent simultanément des déplacements très-petits, et de déterminer les forces élastiques qui résultent, dans ces conditions, des actions attractives ou répulsives que les molécules exercent les unes sur les autres.
Soient X, y, z les coordonnées, par rapport à trois axes rectangulaires quelconques, d'une des molécules du système, et m la masse de cette molécule; représentons ^rt x + àx, y + Ay, z + àzles coordonnées d'une autre molécule de masse /ut, et par r la distance des
') Caught, Exei'c. de MathémaL, t III, p. 188; t. IV, p. 199; t. V, p. 19. — Nour. Ex9rc. de Mathémat,, p. 1. — Exerc. d^AruU. et de Phys, nuithémal., L I, p. 388. — M^. de VAcad. (i<ni »c., IX , 1 1 A ; X , 398 ; XVIIl , 1 53. Béer, Pfùi Mag., (4), II, 297.— GruimCê Archit., XVI, aaS.
deux molécules. L'action réciproque de ces deux molécules est dirigée suivant la droite qui les joint et a pour expression
mfif{r)^
, /étant une fonction indéterminée de la distance. Si le système est en équilibre, on a les trois relations
Supposons maintenant qu'à un certain moment les molécules du système soient écartées de leur position d'équilibre d'une quantité très-petite, et soient Ç, >;, ^ les projections sur les axes du déplacement de la molécule m^ déplacement que nous désignerons par e; soient au même instant Ç+ÂÇ> >; + A);, ^ + A^ les projections sur les axes du déplacement de la molécule fi^ et r + p la valeur que prend la distance des deux molécules. En représentant les composantes parallèles aux axes de la force élastique qui s'exerce sur la molécule m par Xe, Ye, Ze, de sorte que X, Y, Z soient les composantes de la force élastique rapportée à l'unité de déplacement, on aura
Ye=.miV(r+p)^' Ze=m2^/(r+p)^^iA..
Si l'on développe /(r + p) et si l'on néglige les termes dont l'ordre de grandeur est inférieur à celui de p^, ce qui est permis puisque les déplacements sont toujours très-petits, il vient, en remarquant que AÇ, A);, A^ sont du même ordre de grandeur que p, tandis que Ax, Ay, Az peuvent être d'un ordre de grandeur quelconque,
Xe=.m2^l/(r) + p/{r)| (^) (, -£)
i92 DOUBLE RÉFRACTIOiX.
On a d'ailleurs
(r+pf-^ {^x + AÇf + (Ay + àfiY+ (Iz + AÇ)^ . d'où, en se bornant au même degré d'approximation que plus haui, .
En portant celle valeur de p dans les expressions qui représentent les composantes de la force élastique, il vient définitivement
Z.^»ï.j[/(r)-Ûl]飻!«-+[/(r)-£:l]^i,
132. Belafloii ewktrm la witeMM de propasmti^ii d*lnM owkém plane et la forée élaetiiiue. — Considérons dans un milieu homogène une onde plane, c'est-à-dire un plan dont tous le$ points sont animés de mouvements identiques, et soit R la distance de cette onde plane à l'origine des coordonnées. Soient /au temps /, e le déplacement d'une des molécules de Tonde, ^, n, ^ les projections de ce déplacement sur trois axes rectangulaires quelconques. En supposant le mouvement vibratoire rectiligne et en désignant par a, jS, y les angles que fait avec les trois axes la trajectoire rectiligne de chaque molécule de l'onde plane, on a
Ç=(p(R,t)cosa, u = (p(R,<)cos/S, Ç = ^(R,<)cosy.
THKORIK DE CAI:CHV. 49à
Pour que Tonde se propage sans aitc^ration dans le milieu, il faut :
1° Que les angles a, /3, 7 restent constants;
fi* Que Ton ait, en appelant V la vitesse de propagation de Tonde plane, •
condition qui ne peut être remplie que si la fonction ^ est de la forme (p(R-V/).
Nous avons vu d'ailleurs que les phénomènes de diffraction s'expliquent jusque dans leurs moindres détails en admettant que les mouvements vibratoires des molécules de Téther suivent les mêmes lois que les oscillations infiniment petites d'un pendule. On peut donc poser, en représentant par X la longueur d'ondulation et par S une constante.
d'où
Soit Le la force élastique développée par le déplacement e: lorsque Fonde plane se propage sans altération, cette force est parallèle au déplacement et Ton a
I» ^ ou
Donc , loraqutnio onde plane se propage sam nitéralion dam un milieu homofrèiie, sa vitesse de propagation est proportionnelle à la racine carrée de la force élastique développée par le mouvement d'une de ses molécules.
On retrouve ainsi sans faire aucune hypothèse Tun des principes admis sans démonstration par Presnei.
fi9h DOUBLE RÉFRACTION.
133. EmpFM«ioii analjrtliiue «m Comm élMii«iiM dévcloppécfi émnm la prmpm^gtMowk d*uiie oiiéte plmie. — Nous allons maintenant appliquer à la propagation d'une onde plane dans un milieu homogène les formules établies plus haut pour un système quelconque de molécules en mouvement, et chercher quelle doit être la direction du déplacement pour que Tonde plane se propage sans altération.
Soient /, m , n les angles formés avec les axes, que nous supposons toujours choisis arbitrairement , par la normale à une onde plane, et R la distance de cette onde à Torigine; les coordonnées x, y, : d'un point de l'onde plane satisferont à l'équation
(3) j:ros/ + y cosm-+-2COSW== R.
De même, si^r + Ax, y + Ay, z + àz désignent les coordonn^fes d'un point d'une deuxième onde plane parallèle à la première, et R + AR la distance de cette deuxième onde à l'origine, on aura, en tenant compte de l'équation (3),
(4) A^ cos / + Ay ros m -h Az cos « = AR.
Soient maintenant Ç, f, ^ les projections sur les axes du déplacement e que reçoit à un certain moment la molécule dont les coordonnées sont X, y, z. et a, j8, y les angles que fait ce déplacement avec les axes. D'après ce que nous avons vu phis haut (1 32), on aura
(5) Ç--(p(R--V()cosor, i;^(p(R-V<)cos/8, Ç = (p(R -VOcosy.
Si Ton représente par Ç+A|, );+An, Ç + AÇ les projections sur les axes du déplacement que subit au même moment la' molécule dont les coordonnées sont .r+Ax, y + Ay, z + Az, et si l'on suppose que l'onde plane se propage sans altération et que par conséquent les angles a, j8, 7 soient constants, on déduira des équations (5) les valeurs suivantes pour AÇ, An, A^:
f AÇ = cosy -
THÉORIE DE CAIICHY.
Pour avoir les expressions des composantes parallèles aux axes, de la force élastique qui s'exerce dans la propagation de l'onde plane sur la molécule [x, y, z), il faut dans les formules (s) remplacer Af , Ail , A^ par les valeurs que nous venons de trouver. Les forces moléculaires n'étant sensibles qu'à de très-petites distances, on peut, du moins si l'on se contente d'une première approximation, né^iger les termes qui contiennent AR à une puissance supérieure à la seconde^'); de plus, si le milieu nest pas hémiédrique, tout est semblable de part et d'autre de l'onde, et les termes qui contiennent AR à une puissance impaire s'évanouissent comme étant la somme de quantités qui sont deux à deux égales et de signes contraires. Il vient donc, en faisant la substitution,
-âR'jc«.,,2^[/(r)— ^]
aw
âî?m
H-cos/32|ùt -f-cosy2^
Si l'on porte dans ces équations (7) la valeur de AR tirée de (4), les composantes de la force élastique seront exprimées en fonction des angles /, m, tt et a, jS, y. La grandeur et la direction de la force élastique rapportée à un déplacement égal à l'unité dépendent donc non-seulement de la direction du déplacement , mais encore de celle du plan de l'onde, contrairement à la seconde hypothèse admise par Fresnel.
^'5 On verra plus loin que les termes que nous regardons ici comme négligpabjpf doivent être pris en considéra lion dons la théorie de la dispersion.
m DOUBLE RÉFRACTION.
Pour simplifier les résiiltnts obtenus en substituant la valeur de AR dans les équations (7), il suffit de choisir pour axes des coordonnées les trois axes d'élasticité du milieu (122). Les trois plans menés par la molécule {x,y, z) parallèlement aux plans coordonnés sont alors des plans de symétrie, c'est-a-dire qu'à chaque molécule située d'un côté d'un de ces plans correspond une molécule de même masse située de l'autre côté du plan et h la même distance de ce plan que la première, d'oh il résulte que tous les termes contenant l'une des quantités Ax^ ày, Az h une puissance impaire s'évanouissent. Donc, en prenant pour axes des coordonnées les axes d'élasticité du milieu , on a
in' m
( + c»..[îi.£?4,.+2.[/'(r)-ÛÎ]è^']l
+ a cos p cos / cos m 2/i / (r) — - — - — p^
+ 9 cosy cos /cosnS^ /(r) — ^- — p — y '^^ V IX? Tr^/ \ /(r)l A.r'Ar'
(™s./[2.4lA^+2.[/'(r)-&]^a
V. Vf'/\ /ri A/ A:' + 2rosyro.sm('osM2,fxl/ (r) — ''-— -^ — >
+ 9 COS /S COS m cos w 2jm y (r) — '^ -^-j^ —
(c„s«/[2.-/J^^.^+2.[/'(r)-^]-;^)( ( + cos» « [2,/Ji A- + 2, [/(r) - ^] -^^'1 i
THÉORIE DE CAUCHÏ. 49^
Posons pour abréger
^ = •2(1-1^- àa^.
les formules (8) deviendront définitivement
-^f^-[GA>+A)cos2/+(ul> + F)cos^m+(€ + E)cos2|i]cosa
+ 2F cos / cos m cos j6 + aE cos/ cos « cos y,
— ^^ qF cos / cos m cos a
{[)) ' +[(c.l+F)'cos2/ + (iro + B)cos2m + (G-hD)cos2n]cos^
+ âD cos m cos n cos y,
2 — = 9Ë cos /cos fi cosa+ âD cos m cos 72 cos iS
