C(?' COS 2 7T

aira'sin 97r . ^ + <xbb' sin 9^ * > * %

A Al. X — X jm

. ,, I SinQTT-r-^K,

k étant une nouvelle constante égale à

C («* + # + ** + fl * + *'* + c'*),

on voit qu'elle sera satisfaite, pour toute valeur de x — x f , si l'on a simultanément,

$—<P fl/ y— y' . J/— J/

a« cos27r T t r 4- 00 cos air ^-t-* 1 + ce cos 9w - l -t- l - = o,

«a' sin 97r > + W sin 97r ^y^ + ce' sin 9w > = o;

et ces conditions peuvent être vérifiées d'une infinité de manières, qui paraissent toutes également admissibles, si l'on n'a recours à d'autres considérations.

Voici maintenant comment la démonstration peut être rendue rigoureuse. Soient

u= asin97r ( j — v )'

(i) / v = b sin97r (x — f )'

W = C Sin 97T ( y — j- 1 i

les équations d'un rayon qui se propage suivant la direction 0\ parallèle à a, et qui est polarisé dans le plan YOX parallèle à w et à„(fi 6 . ,8).

Si Ton ajoute une inéinc quantité S aux quantités <p, %, if», el qu'on multiplie a, h, c par un coefficient constant m, on aura le système suivant :

y, = mb sm -i-n { ;.-. — — ) <

tv, = me sut a* (f~ X ')'

ijui re présentera encore un rayon polarisé dans le plan VOX. Mais ce rayon n'aura pas la même intensité que le précédent, et il y aura entre les deux une différence de inarche égale à S. Si maintenant

on Tait tourner de 90 degrés le second rayon autour de l'axe OX, dans le sens indiqué par une flèche sur la figure, on aura un ravon polarisé dans le plan ZOX, et les composantes de sa vitesse de vibralion seront exprimées, parallèlement à OX, par

parallèlement à OY, par

- - ntcsinair 1

-*tt)<

''' Le siglio — de celle formule s'explique facilement. Dans une rotation de 90 degré? autour de OX. faite dans le sens indiqué, OZ vient «e placer auifitnl OY', r'wl-i-din' « l'opposé de la direction positive de l'aie des y.

parallèlement à OZ, par

w = ma sin air ( ™ — ^ — J •

Le système de ces équations, que nous appellerons les équations (a), ne peut pas être pris, a priori, pour l'expression la plus générale des rayons polarisés perpendiculairement au rayon des équations (1), mais il est évidemment une forme possible de cette expression , ce qui suffit à nos raisonnements.

En effet, l'intensité de la lumière résultant de la superposition des rayons (1 ) et (2) étant

S (a 2 + b 2 + c 2 ) (1 + wi 2 ) + ama^cos an <

— amoc (cos an - — j- — - — cos27r - — j- — -1 »

il résulte de la loi d'Arago et Fresnel qu'on doit avoir, quel que soit <î,

a 2 cosQ7TT — oc (cos 27T- 1 — 5- — - — cosaw- — r — - 1 ==L.

dette équation se met aisément sous la forme

a 2 cos97TT — lancsinaTr^-y- 1 - sma^T-» C,

et l'on en conclut immédiatement

tf 2 =o, 6c sin an \ = o, C = o.

La condition « 2 = o indique que les vitesses de vibration n'ont pas de composantes parallèles à la direction de propagation des rayons lumineux, et, par conséquent, que les vibrations sont transversales. La seconde condition peut être satisfaite en posant

oc=o ou sin 27T "* y =0.

Si l'on adopte l'hypothèse ic= o, on voit que b ou c doit être nul, et qu'en conséquence les vibrations sont parallèles ou perpendicu-

laires au pian de polarisation. Il suffît donc d'examiner si l'hypothèse

sinair^-j — = o donne vraiment une solution de la question.

Or, la condition sin iit \ = o peut être vérifiée par deux systèmes de solutions, savoir: par

X— ^=o, x~ + = X, X"- + = 9i - ■ • ■ et par

Le premier système correspond à des vibrations rectilignes dirigées suivant une droite telle que PP' (fig. 19), qui fait, avec le plan de polarisation et au-dessus de ce plan, un angle POY = « déterminé par la formule

tang«=j-

Le second système correspond à des vibrations dirigées suivant la droite QQ\ qui fait pareillement un angle égal à a avec le plan de polarisation, mais en dessous. L'expérience ne distinguant en aucune manière le dessus et le dessous, la droite et la gauche d'un plan de polarisation, on doit considérer les deux solutions comme également admissibles.

F «- '»• Ainsi, les deux rayons dont les vibra-

tions sont dirigées suivant PP' et QQ' doivent être également regardés comme polarisés dans le plan YY'. Faisons maintenant tourner le rayon QQ' de qo degrés autour de sa direction de propagation, de façon que ses vibrations soient dirigées suivant RFV; il devra être regardé comme polarisé dans le plan 7.7,', perpendiculaire au plan YY', et, en conséquence, il faudra que les rayons PP' et RÏV ne puissent pas interférer l'un avec l'autre, quelle que soit leur différence de marche. Mais il est visible que ces deux rayons sont placés dans des conditions où ils peuvent interférer. Nous sommes ainsi conduits à une conclusion contradictoire avec l'expérience.

L'hypothèse sin q7T' ^ = o doit donc être rejetée, et il ne reste <(u'une seule solution de la question, savoir :

bc = o.

On retrouve ainsi les conclusions de Fresnel.