RA 2 RA

L'intégrale se décompose ainsi en quatre autres, qui sont de la forme

I ^-sin 2 m£.

Cette expression étant égale à mw, d'après la valeur de

r°° , sin'ii I au — r" '

qui a été donnée plus haut, on en déduit, pour l'intégrale cherchée, la valeur

JL [ ( fl ai ) ( a Ul + c - c, )

laquelle est nulle évidemment.

Considérons de mênie dans l'intégrale (k) l'intégration relative à £. Si l'on change £ en — f , dans l'expression différentielle , on obtient évidemment des éléments égaux et de signes contraires; et par conséquent l'intégrale, prise entre l'infini négatif et l'infini positif, doit être regardée comme nulle, pourvu qu'elle ne soit ni infinie ni indéterminée lorsqu'elle est prise entre zéro et l'infini positif. Or, si l'on désigne par p un nombre fini quelconque, on peut remplacer l'intégrale, prise entre zéro et l'infini positif, par la somme des deux suivantes :

J y.sin7rïttSin*TûSin 9 7r îtt

+ J P £^*itt sin *îtt sin27r

qui, toutes les deux, ont une valeur finie. La première ne contient, en effet, aucun élément infini, et est prise entre des limites finies; la seconde est évidemment plus petite que

L'intégrale n'est donc pas infinie. Elle n'est pas non plus indéterminée, car il est visible que l'élément différentiel tend vers la limite zéro , lorsqu'on fait croître £ indéfiniment. Il est donc démontré que l'intégrale désignée plus haut par (4) est nulle.

Ainsi l'expression définitive de l'intensité lumineuse se réduit aux termes dont la somme est proportionnelle à la somme des ouvertures des deux diaphragmes. Le principe est donc vrai dans le cas particulier de deux ouvertures , comme dans le cas d'une seule.

Il est facile de passer de là au cas plus général d'un nombre quelconque d'ouvertures rectangulaires de grandeurs quelconques, séparées par des intervalles quelconques, et assujetties à la seule con-

dition d'avoir leurs bords parallèles à deux droites rectangulaires fixes. Sans recommencer de nouveau les calculs, on voit que l'expression définitive de l'intensité contiendra deux séries d'intégrales , savoir : i° les intégrales suivantes :

R*X 4 .„ . . c,£ . , dji

RX s,n *RX

lesquelles, prises entre l'infini négatif et l'infini positif, donnent une somme égale à

P^'^crf+Cj^ + CarfaH rf,.,'',.,),

c'est-à-dire proportionnelle à la somme des étendues superficielles des ouvertures, et u' une série d'intégrales de la forme suivante:

dUn

3 R 4 X 4 C rdÇd)

sinw

f • d m i .c m £.dl