V. - Énergie électrique d'un disque plan

La méthode de calcul qui précède n'est pas directenietit applicable à rénergie des disques, calottes, zones, etc. Il faut connaître la distribution de réleclricilé sur les corps épais dont l'aplatissement peut donner naissance à ces surfaces.

Avant d'aborder le calcul de l'énergie d'un disque plan à contour quelconque, nous ferons quelques remarques relatives à la distribution de l'électricité sur l'ellipsoïde

Si c désigne le demi petit axe, cet ellipsoïde est aplati dans le sens de l'axe des z. On sait que la densité électrique e en un point de la surface est proportionnelle à

/• et 'i représentant les coordonnées polaires dans le plan des xy. Le plan qui passe par Taxe des s et par le point considéré coupe l'ellipse du plan des xy suivant un diamètre dont la demi-longueur a est donnée par la formule

cos*<{/ sin'tj;

Posons maintenant

(10) ; — cos^J/H — — sin-6=--

et désignons par Cq la densité au sommet du petit axe; nous aurons

l4 DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ.

Si rdlipsoïde dégénère en disque elliptique (c = n), e^ iQn(\

vers i, et le rapport — tend vers une limite A*-, finie et différente de zéro,

Remarquons enfin que, si y désigne le rayon de courbure au sommet le plus aigu de la section correspondant à l'azimut ^, le

rapport — reste toujours égal à la quantité finie a.

Cela posé, considérons un disque plan à contour quelconque. Nous prendrons son plan pour plan xy (ou des r, d/), et, pour fixer les idées, nous placerons Torigine au centre de gravité O du disque. Nous supposerons que le contour ne présente pas de point anguleux. En général, le disque résultera de Taplatissemenl continu et indéfini d'une surface fermée dépourvue de toute singularité. A.UX environs d'un point, cette surface pourra être confondue avec un ellipsoïde; les parties extrêmes des sections azimutales seront assimilables à des arcs d'ellipse très fortement courbés.

Nous supposerons le corps aplati symétrique par rapport au plan des xy (ou des /*, i). 11 suffira de calculer l'énergie pour la moitié supérieure et de doubler. De celte façon la formule (6) devient^

(f)') W — 4?: /c2pcos(/i, p)d7.

Par analogie avec ce qui a lien pour l'ellipsoïde, nous pouvons poser

OL étant la valeur de r en un point de la ligne de contour, )» et e deux fonctions de /* et de ^, dont la seconde prend la valeur i lorsque, le corps dégénérant en un disque, son épaisseur centrale c

tend vers zéro, de telle façon que le rapport tende vers une

limite k'^ finie et différente de zéro. Enfin, si Ton désigne par y le

rayon de courbure minimum d'une section azimutale, le rapport —

tendra aussi vers une limite finie p.

ÉQUATION FONCTIONNELLE DES CONDUCTEURS FERMÉS. l5

Concevons l'ellipse osculatrice au sommet aigu de la section considérée, et soit son équation

Son rajon de courbure minimum —7 ajant pour valeur y, on en conclut facilement

Maintenant, comme on a

cos(/t, z) l'expression (6') de Ténergie devient

L'intégrale par rapport à /• est une intégrale singulière qui n'a de valeur sensible que pour /• = a. En effet, sauf dans le voisinage

de la liffne de contour, le rapport — - -'-7 a une valeur insensible ;

sur cette ligne même, il est infini^ il nous suffira donc de calculer sa valeur pour les points voisins du contour, et nous serons en droit d'écrire les égalités approchées

ros(/i, p) cos(n', r') dz cos^/i,;;) cos(/i', j) <//•'

et, en tenant compte de l'équation (i4)>

cos(n, p) c'^r c r' c'

cn^in.z) 3i'*z a' ^>x'2__/2 ^^'i^ji

c' / OL -\- r c c' /a c

finalement, en vertu de l'équation (i5),

cos(/i, p) __ h c

l6 DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ.

En portant celte valeur dans Texpression de W, où nous ferons p = a el où nous remplacerons e par sa valeur (i3), nous obtiendrons

Si l'on pose

et si Ton se rappelle que ; tend vers la limite finie A-, l'intégrale

r cr dr

Jo ( OL^ - f^ r^ ) \fa'—r^ devient

r* h^cdt A / eA7\« T,A

On a donc enfin

On voit que l'énergie électrique d'un disque plan s'exprime par une seule intégrale simple prise le long de son contour.

Pour appliquer la formule au disque elliptique, il faut faire

P = a, X = ey,

remplacer a et k par leurs valeurs tirées des relations (9) et (12). On trouve ainsi