IV. — Énergie électrique des conducteurs fermés

A la formule (i) se rattache une expression nouvelle de l'énergie électrique qui, art point de vue analytique, n'est pas sans intérêt. Généralement, l'expression de la densité sur un conducteur comporte un facteur arbitraire, que l'on détermine en se donnant, soit la charge M, soit le potentiel V. Chacune de ces opérations

conduit à une double intégration, de sorte que l'énergie W—- - MV

se présente sous la forme du produit de deux intégrales doubles. On va voir qu'une seule intégrale double suffit à exprimer l'énergie électrique d'un conducteur fermé. Nous pouvons d'ailleurs supposer qu'un nombre quelconque de conducteurs, non influencés par des charges fixes, sont en présence.

Soient

M un point de l'iin d'eux,

m = e d'y la charge en ce point,

M' un autre point du système,

m' sa charge,

p et p' les distances des points M et M' à une origine fixe O.

Les divers éléments M' exercent en M une répulsion totale dirigée suivant la normale extérieure n, et dont la valeur est 2Tze.

12 DISTRIBUTION DE l'éLECTRICITÉ.

En projetant les répulsions composantes sur la direction p, on a donc

V ,^ cos(ArM. p)= iT.e cos(n, p).

Multipliant les deux membres de cette égalité par mp = ep </t, puis intégrant sur toute l'étendue des p surfaces conductrices, il vient

SS jpcosdVrM. p)= V / 27:e2pcos(/i, p)d7.

On peut, dans le premier membre, grouper les termes deux à deux de manière à mettre en évidence la somme partielle

'"''' [p cos(M'iM, p)-h p' cos( M'M, p')J.

MM

On reconnaît aisément que la parenthèse se réduit à M'M, en sorte que le premier membre de notre équation, SS vfw' représente l'énergie électrique W de tout le système. Nous avons donc la formule

(6) W=27:^ I e-p cos{n^ p)ch.

Elle est susceptible d'une légère transformation. Appelons clio Télément de surface sphérique décrite du point O comme centre avec l'unité pour rayon; suivant que le rayon vecteur p sort du conducteur ou y pénètre, on aura

cos(/z, p) <ij = ih p2 rfto,

et, en regardant comme négatifs les rayons vecteurs qui entrent dans le conducteur, comme positifs ceux qui en sortent, l'équation (6) devient

(7) \V = 5i7rV fe^z^do).

Pour une sphère de rayon R, la formule (-) donne immédiatement l'expression connue W = Stc^R^^s^

ÉQUATION FONCTIONNELLE DES CONDUCTEURS FERMÉS. l3