I. — Digression sur les développements en série

Soit à développer en série entière un produit de puissances de séries ou de polynômes A* B? . . . L^ :

A :rz aQ-\- a^x -{- a^x^-^- . . . , H :- bo->- bx X -\- hiX'^ -\- . . . ,

1^ — /o H- l\Jr -^ I^x^-k- . , .,

les exposants a, ^, . . ., A étant quelconques.

Lorsque aucun des termes constants rto, f'o» • • •> 'o n'est nul, ce développement est toujours possible pour des valeurs suffisamment petites de x. En appelant

la série cherchée et en égalant la dérivée logarithmique de U à celle du produit donné, on a

l8 DISTRIBUTION DE L'ÉLECTRICITÉ.

L'identification des deux membres de cette égalité, qui sont rationnels en j:, fournit les inconnues Wq, W|, Wj, .... Voici le résultat de ce calcul.

Désignons par Sp la somme de tous les produits ab. . .1 pour lesquels la somme des indices est égale à p. En convenant de traiter les indices comme des exposants, on fixe la signification

des symboles (g:), (fe), .... (.|f), (» ^) Posons

Les coefficients u seront donnés par la relation récurrente à laquelle il faut adjoindre l'expression du premier terme

On conclut de là, pour exprimer //^, un déterminant qu'il est inutile d'écrire. Les «, f>, ..., / étant finis par hypothèse, les coefficients u sont visiblement finis. Si Ton appelle poids d^iine lettre a le produit de son indice par son exposant, poids d^ un terme ab...l lai somme des poids des lettres qui y entrent, Up est une fonction rationnelle, homogène et de poids p des a, 6, ...,/.

II. — Solution du problème par une série d'intégrales définies.

Soit en coordonnées polaires (p, 0, A)

l'équation du sphéroïde. Considérons la famille de surfaces

(21) P = H(i-+- an),

où a désigne un paramètre compris entre o et i; elles sont toutes comprises dans les parties du sphéroïde primitif extérieures à la sphère de rayon R et dans les parties de la sphère extérieures au

sphéroïde. Nous allons chercher la distribulion de l'électricité sur Tun quelconque de ces sphéroïdes intermédiaires.

Soient M et M' deux de ses points; p, 6, ^ et p', 8', ^' leurs coordonnées; r la distance de M à M', en grandeur et direction.

Au système fixe (0', i^') il est avantageux d'adjoindre un système de coordonnées (eu, ç) mobile avec le point M, dans lequel le nouvel axe des z passe par ce point. On passe du premier système au second par les formules bien connues

/ cosO'= cosÔ cos(i> — sinOcoscp,

{'11) \ ,., ,, cosO COSO -h sinO cotio

J cot(tL'— iL)= K

\ ^ ' siii<p

Désignons par v l'angle de la normale extérieure au point M avec la direction de r; par e, e' les densités électriques aux points M, M'; par qi{i= i , 2, ...,/?) la charge du point électrisé Q/; par p/, 6/, ^/, Wi, cp/, /v, v/ les quantités relatives au point Q/ analogues aux quantités p', 0', A', w, cp, /*, v relatives au point M'.

Lorsqu'on se donne le potentiel constant V du sphéroïde, la densité électrique au point M est complètement déterminée par Téquation fonctionnelle

Commençons par évaluer — ^«

Si l'on appelle ^ l'angle des deux directions p et /*, ÎJ l'angle de la normale extérieure au point M avec la direction p, X l'angle du plan déterminé par p et par cette normale avec le plan méridien correspondant à Tazimut «j^, le trièdre dont les arêtes sont p, r cl la normale donnera

cosv = cos^cosj H- sin^ sin Jcos(çp — X) ou bien

(a3) cosv = cos p cosÇ -f- sinp(sinî cosX cosïpH- sin2[ sinX sincp). Dans le triangle dont les côtés sont p, p', r, on a

(24) /-îrrpî-hp'î ipp'cOSO),

o p'cosw — p . Q p'sino) (25) cos? = ^^ ^, sinp = ll—

30 DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ.

Les produits sinÇcosX, sinîJsinX se calculeront de la manière suivante : la normale extérieure fait avec les directions des coordonnées polaires p, 6, ^ des angles !J, JI|, ^2 déterminés par les formules

cosÇ cosÇ, COS^i I

(aC) — — = - — —

En projetant la normale extérieure sur un plan perpendiculaire au rayon vecteur p, on obtient les relations

(•27) sinÇ cosX = cosji, sinÇ sinX = cosÇî,

où cosîJi, cosÇj doivent être remplacés par leurs valeurs (26).

Portant dans l'équation (a3) les valeurs (î>.5) et (^^7) trouvées pour cos^, sinp, sinîJcosX, sinÇsinX, et divisant les deux

membres de celte équation par /• = ^/p^ -f- p'^ — 2pp'cosa), on obtient finalement

/ . / àp sino ()z>\ p* — zp cos w -h p sin OJ ( cos o -r^ -h -r— ^ -t] \ • c^O sinO d^J

cosv

( pî + p'î - 9. pp' cos Oi)y/p2 4--^^

sin^O â^-

L'expression de ^ se déduirait de la précédente par le

changement de p', co, '^ en p/, w/, '^/; mais, dans les transformations que nous ferons subir à l'équation (i'), nous aurons besoin de connaître la valeur de

p«— pp/CosW|-+-p/Sin(o/ coscp/-^ -h -.-I- -y ) (•>9)

V/< ?' -^ p/ - ■^- ?P'- *^°' ""^'{p'-^Tm-^lik^^)

Enfin, pour achever le calcul des termes qui figurent dans

notre équation fonctionnelle, il faut évaluer le quotient — • Si

Ton conçoit que, dans l'expression du rayon vecteur p', on ait éliminé 8' et '!^' au moyen des formules de transformation (22), on trouvera aisément

1 ' t>a>* sin-w à'Si^

p*-r- p'*— '2 pp' cos W

Cela posé, clans les expressions (a8), (29), (3o) de — ' — ^ et clans celle de la quantité

cosv

^^f'i aRy/p^ — p: — 2pû/Cosa)/

c{ui apparaîtra dans le§ transformations ultérieures de l'équation fonctionnelle, remplaçons p par R(i -f- a/i) et p' par R(i 4- a/t'); si Ton met en évidence le paramètre a, elles prendront la forme

/ cosv r