I -h Gi a -h G«a

rrt >

COSV/

Ko -H Kl» -f- Ks»'

v/(Lo-+- Lja — Lia*)-(i -f-/i|a-+- /tja*)

, / 1 -+- // ', a H- /15 a* sin o) d/a> û^<p V i-hHia-+-Hja* T^u^co^l

rr- ■ >

î**^''/ 2Kv/Lo-+-Lia-t-L5V^

OÙ G|, G2 ont les valeurs

n — w'-r- sinto | coso Gi=/l4-/l'-^ ^

dn sino dn\ 50 "^ slrTO d^)

1 — cosca

n^ — nn' cosw H-

, . / dn sin© (^/i \

n sin 0) ( cos o — r -h -^-^ — - )

1 — cosw

et U|, H2, A|, /*2) /*'p /^2' ^0" '^«^ '^Sî '-«oj L| , L2 les valeurs

Ko Kl

Lo:

2(1 — cos oj )

A, = ns -h

dn^

I (>/jS

c)0« siii*0 (/<;/='

' dto^ sin*a> t>o*

R — p/ cos O)/, Kj = R /i',

(2R — p,cosai/)n-+-p/sina>,|^ços?— -4-^J ^|

R'H- p? — 2 R pi cos 10/,

2R/2(R — p/coso)/), Lj=Rai2.

Maintenant, les formules (18) et (19) du paragraphe I nous permettent de développer les expressions (Sa) en séries procédant suivant les puissances croissantes de a. Les développements seront de la forme suivante :

rosv I / V^ / \

(34) (;^£^A= ~~l'.-:^=^iyA.a''S

sinb) dtsi d^

cosw)

Le calcul des coefficients A;,,, 6„i, c,n serait pénible et n'offrirait d'ailleurs que peu d'intérêt. Nous retiendrons seulement l'expression de 6|, qui nous servira dans les applications aux sphéroïdes très peu différents de la sphère :

, . / dn sincp dw\

n cosw — w -h sinwf cos9-r;r H — r-i: —.- )

( 35 ) A, = >- - ■ '?o.^!!ill^ .

1 — CUSO)

Revenons à l'équation fonctionnelle (1') que nous pouvons

p écrire, en ajoutant et retranchant à son second membre J^-t-^b^

— > ri

~~ 2TZ J r r 4iiRij /'i

i__ rj / i . cosv/ \

Substituons-y les séries (34) et décomposons l'intégrale / en

deux autres, dont la première correspondra au premier terme — ^

du développement de — — ^ et la seconde aux termes restants. Posons, pour abréger.

il viendra

/(R'-t- p! — îRpiCOSto^y

Posons maintenant

( 38 ) e = eo -^ e i a -h <?2 a* -4- . . . -^ e,;, a"* -4-

Le terme général Cm est une fonction des angles 6, ^ qu'il s'agit de déterminer; si l'on y remplace 0, A par 0', ^', e^ se changera en e^, qui deviendra une fonction de to, '^, lorsqu'on aura éliminé y, 'V au moyen des formules de transformation (22).

Dans l'équation (37), substituons les développements de e et

^ S • ii'est autre

chose que le potentiel V du sphéroïde. Les deux membres sont deux séries entières en a, qui doivent être identiques : on en conclut

L 1 /( H«H- 9] — -2 H Pi COStO/)3

Y */o •A \/i(l— COS(o) j

Les formules (38) et (39) résolvent le problème proposé. Comme elles expriment chacune des fonctions Cm à l'aide des fonctions d'indice moindre, elles permettent de calculer ces fonctions de proche en proche; du moins elles ramènent ce calcul à une suite de quadratures qui, à défaut d'une évaluation exacte, généralement impossible, donnent prise aux méthodes d'approximation indéfinie telles que celle de Gauss. La densité électrique en un point du sphéroïde primitif s'obtient en faisant a= i dans la série (38).

Il peut arriver que le sphéroïde donné fasse partie d'une famille naturelle de surfaces dépendant d'un paramètre a et se réduisant à une sphère pour la valeur zéro de ce paramètre. On dé-

24 DISTRIBUTION DB l'ÉLECTRICITÊ.

veloppera en série suivant les puissances croissantes de a le rayon vecteur

p = R(( -j-a/ii-i-a-/iî^-. . .),

et Ton suivra la marche qui vient d'êlre indiquée. La seule différence consistera en ce que dans les formules (32) figureront actuellement des séries et non des polynômes en a.

Enfin le rayon vecteur peut dépendre de plusieurs paramètres et devenir constant pour des valeurs nulles de tous ces paramètres: on le développera en série multiple.