G. R. — II. Q
l30 FRAGMENTS DIVERS.
2. Au bout de p tours, G est revenu en contact avec B. Soient alors les charges rrip sur A, \kp sur B, qp sur G, m sur A', \l' sur B'.
Il y a d'abord une relation entre m^,, u^ et qp. En effet, la charge \f-p-\'qp peut être regardée comme la somme de deux autres, l'une -^r^nip — ô/ny,(7| et ô constantes positives, de somme moindre que l'unilé) due à Tinlluence de nip, si le conducteur B 4- G était au potentiel zéro, Tautre ( |^/> -4- ^j nip) -{-{qp-h^ /?'/>), qui serait d^ elle-même en équilibre sur B -|- G. Or il y a évidemment proportionnalité entre la charge qp-h ^mp de G et la charge [f-p 4- Tj mp de B :
d'où, en posant on tire
(i) qp=cimp-^^ixp.
Exprimons maintenant que B et B', qui communiquent, sont au même potentiel. La charge sur B -f- G peut être considérée comme la somme de deux autres, l'une — (Ti-^^)mp qui, conjointement avec la charge mp du corps A, maintiendrait B au potentiel zéro, l'autre I^/? 4- yy> -f- ( -r» 4- 9)/??^,, en équilibre d'ellemême. Si l'on appelle K la capacité du conducteur B 4- G, le potentiel de B 4- G est, par définition,
fip-^ (/p-^- ( r, -4-0) m; , K
De même, si l'on appelle k la capacité de B' et — hm' {h étant une constante positive inférieure à l'unité) la charge qui y serait induite par A', si B' était en communication avec le sol, le potentiel de B' sera
En égalant ces deux potentiels, on a
\i.p-hqp-h(r,-^(i) mp [kp-^/imp (^> K = 1
Enfin, en écrivant qu'aucune quantité d'électricité ne s'est créée ni détruite dans tout le système, on trouve
( 3 ) nip -4- iip -^Çp-h m'p -H fXp = Wo.
THÉORIE DU <( REPLRNISHER )> DE THOMSON. l3l
En vertu de celte relation, la précédente pourra s'écrire
fi p-4-<y/i-4-'(TQ -^^) nip a;»o~ nip — m) , H- ( r^ - h ) ni /, -¥■ h m), K ~ K-^-X '
si Ton pose
on déduira de là
Substituant cette valeur de ^-p dans l'équation (i), on trouve
(5) ( I -+- ?) 7/, = ?Y^*o -h I a - ?Y -+- ?( ^i -^-^)J nip—ii — h) pvw'^.
3. Telle serait l'expression exacte de qp, s'il n'y avait déperdition par Tair. Mais, si Ton appelle t le temps très court d'une demi-révolution, la charge de A, qui était m' au moment où G venait de toucher A, a diminué de )"m' (). désignant le coefficient de déperdition, compris entre o et i) quand C est arrivé en A et est devenue (i — At)/w' . On a donc
(5)' (i -+- ?) (jp = Pv/wo -^- [^ - Pï -H ?(t^ + ^)] nt,,-- (I - >i) (I- Xt)?y/w;,.
D'ailleurs, lorsque C revient en A', sa charge est devenue qp{\ — )vt) et la charge de A' est devenue ni {\ — Xt)^. Lorsque C touche A' à son intérieur, la charge de A' devient donc
Si l'on pose
il vient
(6) Dm;, = 1(1 — X-;*— i] m;, H- (.i - Xt) ij ,,,
ou bien, le carré de t étant négligeable,
Si Ton substitue dins cette relation la valeur (5)' de qp^ on trouvera
(8) D//i^ = — a//i;j — ômp-{-cmof
l32 FRAGMENTS DIVERS.
en posant
/^\ ; A (i-/0(i — Xt)ïq .
(9) < ^= ——a ^Py-+-2^- (^>o),
De la formule (7), on déduira visiblemcnl Dm^, en changeant /;?' en /??^ et nip en //î»^.,, qui n'est autre chose que ni' -r- D /?/',. Ou trouve ainsi
(10) Dnip= — bnip— a{m'p-i- Dni'p) -\- crfiQ.
Les charges inconnues rrip et m' vérifient donc deux équations (8) et (10) aux différences finies , linéaires et à coefficients constants. On sait intégrer de telles équations.
4. Pour simplifier les calculs, nous supposerons le corps C très petit par rapport aux conducteurs B et B'. Alors ^ et 8 sont très petits; comme t a été supposé très petit, a, />, c définis par les relations (9) sont également très petits; par suite aussi les différences D/?i' , Dmy, en vertu des équations (8) et (10) sont très petites; ti est très voisin de A, K de A*, et le rapport y diffère très peu de^. En conséquence, les relations (9) deviennent
(«)) i b =^ h jtAT.
et Téquation (10) se réduit à
(10)' D/n^= — bnip— ain'p-^ c in^i.
Les intégrales des équations (8) et (lo/ sont de la forme suivante :
(wi„ = A(i — a — b)i'-^ 13(1 -h « — by'->r - — 7 Wo,
( m' = Xii — a — b)P-- B(i'\- a ^ù)f'-^, -. m^i;
THÉORIE DU (( RRPLEMSHER » DE THOMSON. l33
les constantes A et B se déterminent par la condition que, pour /> ^= o, les charges nip et m' se réduisent respectivement à m^ v\ à zéro, ce qui donne
. moi a -^ h — 'IV) ^ wi,»
Des formules (la) on déduit immédiatement
ce qui montre que la différence des charges des deux récepteurs \ et A' croit en progression géométrique ai^ec le nombre de tours, conformément ù la théorie classique.
Ceci suppose d'ailleurs que la différence a — b soit positive, condition qui, en vertu des formules (9)', revient à
— ?. Xt > o.
Comme 9 est positif, cette inégalité est vérifiée d'elle-même (|uand le mouvement de rotation du transmetteur C est extrêmement rapide (t ^^ o).
