OBUS AIMANTE SUR UN GALVANOMETRE
i. L'obus, aimanté longiludinalemcnt, peul sensiblement être assimilé à un barreau de longueur 2a, portant à ses extrémités deux masses magnétiques -h m et — /?/.
Il nous faut calculer la force magnétique exercée sur un pôle magnétique -h i, supposé au centre O du galvanomètre, ou plutôt la composante X de cette force, parallèle à la vitesse V de Tobus.
Soient {Jfg. 3)
/*, /•' les distances de ses extrémités au centre O du galvanomètre; X la distance de son milieu à la perpendiculaire abaissée de O sur la trajectoire;
Fig. 3.
'f, cp' les angles de la vitesse V avec les distances r et /.
Les masses -+- /n et — m exercent en O les forces - et jz
EFFET d'un obus AIMA!<ITÉ SUR UN GALTANOMÈTRE. l35
On aura donc
Nous aurons besoin de la dérivée de X par rapport à t
d\ d\ dx __yd\ dt dx dt ~" dx
Or on a, en désignant par h la distance minima de l'obus au galvanomètre,
On déduit de là
d\ frî— 3(x-f-a)« r'î— 3(a? — a)n
dt L ^* '* J
Or la demi-longueur a de l'obus doit être petite par rapport à la distance h ; nous devons donc supposer a* négligeable devant h'^. Dans cette hypothèse, on a
r2 = x* -+- A* H- 7.axj -r = -T J- ,
r^ a:* -h /i* 2ax
d'où résulte, sensiblement.
Par suite on obtient
/ 5ax \
y~x^~nî^/
dt "
(ar« -h /t»)
OU bien, en remarquant que 2am est le moment magnétique M de l'obus,
dt
(ar»-+-/r*)*
Enfin, si l'on pose x = h^^ il viendra
d\ 3MV 3$ --253
2. En vue d^étudierles varialions de celte dérivée, construisons la courbe {fig* 4) qui a pour abscisses les valeurs de \ et pour ordonnées celles de la fonction
Si l'on égale à zéro la dérivée /'(S), on arrive à l'équation bicarrée
dont les deux racines positives ont sensiblement pour valeurs
f-Zr î-=l/f-
Le maximum /($') est sensiblement égal à ^ et le minimum
/($") à -t soit environ seize fois plus petit en valeur absolue
que /($'). Entre ce maximum et ce minimum, /"(Ç) s'annule pour
Fig. \.
Ç = |/-. Par suite, la courbe j^ =/(Ç) a la forme représentée
dans la fig, 2, où Ton n'a tracé qu'une moitié de la courbe; l'autre moitié est symétrique de celle-là par rapport à l'origine des coordonnées.
Maintenant, prenons pour abscisses, au lieu des ç, les temps
comptés à partir de l'instant où l'obus passe juste au-dessus du cadre. Le quotient t- étant énorme, aux mêmes ordonnées corres-
EFFET d'un obus AIMANTÉ SUR UN GALVANOMÈTRE. 187
pondront des abscisses bien moindres; et, comme le rapport j-ç est encore considérable, si le tir est suffisamment précis, les valeurs de -jj- fournies par la formule (-î)' seront représentées par
les ordonnées d'une courbe analogue à la précédente, mais dont les sinuosités seront beaucoup plus resserrées dans le sens des abscisses, tout en ayant les mêmes ordonnées maxima et minima.
3. Si nous appelons t la section embrassée par le contour du cadre du galvanomètre, K la résistance du fil et / l'intensité du courant qui y règne à l'instant ^, la loi de Tinduction donne
et la force F exercée sur un pôle magnétique -f- i, qui occuperait à peu près le centre du cadre, a pour expression
n désignant le nombre de tours du fil et / sa longueur totale. La force F est dirigée perpendiculairement au cadre.
Au moyen des formules (2) et (3) on pourrait, en appliquant les principes de la Dynamique, traiter rigoureusement le problème du mouvement de l'aiguille du galvanomètre sous l'action de l'obus. Mais on arriverait ainsi à une équation dilTérentielle du second ordre et du second degré, qui n'est pas intégrable.
On peut substituer à la solution rigoureuse une solution approchée et tourner la difficulté de la manière suivante :
Remarquons que les fortes valeurs de -r- sont toutes concentrées dans un très petit intervalle, de part et d'autre des abscisses ( =^ ±1 • ' On peut donc remplacer ces forces progressivement variables par deux percussions de sens contraires, appliquées à Taiguille du galvanomètre, l'une au temps — r^ l'autre au temps
— —1 et, par conséquent, séparées par un intervalle »
Toute la question est de savoir si, dans cet intervalle extraor-
l38 FRAGMENTS DIVERS.
(linaircmcnl court, l'aiguîlie peut être déviée par la première impulsion, d'un angle sensible, avant d'être ressaisie par la seconde, qui va l'arrêter sur place, ou à Irrs peu près.
Commençons par évaluer la première percussion P. On se rend facilement compte qu'on peut prendre f = — oo pour limite inférieure de l'intégrale qui exprime P, au lieu du temps que l'obus emploie à son parcours entre la bouche à feu et le galvanomètre; on prendra donc
Or, t étant égal à V:r, la formule (i) donne
\(-oo)=o, \(o) = — ^^3— = -^.
Par suite, la valeur absolue de P est
<^> I' i^-7Tr[^(-*)-^(")i = -7ir Â5-
