I. — Établissement de l'équation fonctionnelle

Considérons un point M de la surface o- du conducteur où la densité électrique a pour valeur e. Ce point subit les actions des divers éléments électriques e' d^j' du reste de la surface o- et des charges qi(i =z i ^ 2, . • . , p) des points éicctrisés extérieurs, que nous supposons au nombre de /?. Le potentiel au point M a pour valeur

/• et /•/ désignant les distances au point M de l'élément d^' et du point de charge r/j. Si l'on prend la dérivée de V suivant la normale intérieure /i, on sait nue la valeur de la fonction — en un

* I on

point de la surface est la moyenne arithmétique des valeurs, o et /{t:<?, de cette même fonction en deux points, l'un intérieur, l'autre extérieur, infiniment voisins du premier : c'est donc 2?:^;

et, comme

f) I cos(r, n)

an r r'

on aura

Telle est l'équation fonctionnelle que nous avions en vue d'obtenir. Comme le potentiel n'y figure pas, il est bon d'en donner une démonstration directe.

8 DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ.

Coupons la surface a* par un plan infiniment voisin du plan tangent en M. Ce plan partage le conducteur en deux calottes s et S, la première infiniment petite. L'aire de la section 5| diffère infiniment peu de s. D'un point quelconque de 5, on voit Si sous un angle solide infiniment voisin de 2Tt, si la surface ne présente aux environs du point M aucune singularité. Donc, la densité étaiU continue, la calotte s exercera sur Si une répulsion dont la composante normale, d'après un théorème de Gauss, est sensiblement égale à 2'7:es,

Soit F la composante normale de la répulsion exercée sur 5| par la calotte S et par les points électrisés extérieurs. La condition d'équilibre est

et, comme on a visiblement

on en conclut l'équation (i). Cette équation fonctionnelle détermine l'inconnue e; les deux variables indépendantes sont les deux angles dont la relation avec le rayon vecteur définit la surface du conducteur. Elle a toujours une solution et une seule; car elle exprime, comme il est facile de s'en assurer, que, sur une surface intérieure à or et infiniment voisine, la composante normale de la

répulsion est nulle en chaque point ( -— = oj.

Avant d'utiliser la formule (i) pour la solution du problème des sphéroïdes conducteurs, nous allons en faire quelques applications très simples, qui en feront ressortir les avantages (*).

(') Voici une application de l'équation fonctionnelle (i) à réquilibrc électrique de l'ellipsoïde, qui permet de retrouver analytiqueinciit le résultat obtenu par le procédé synthétique des ellipsoïdes homothétiqucs. Soit, en effet,

. cosTr, n') , ,

dit) = , — CtT

l'angle solide sous lequel, de l'élément de surface e/7, on voit l'élément c/^' dont la normale intérieure est n. Au cas où il n'existe pas de masses inductrices, l'é-