EXPÉRIENCE DE HERTZ
1. Nous commencerons par étudier la propagation de l'éiectricité dans un conducteur cylindrique (voir Maxwell, Trait*' (V Electricité et de Magnétisme, n" 689). Soient
a le rayon de la seclion du conducteur;
/• celui d'un cercle intérieur;
iv rintensité du courant sur tout le cercle de rayon /•;
II le potentiel dû à Tinduction ;
E la force éleclromotrice extérieure ;
p la résistance spécifique ;
/ la longueur du cylindre.
On u les deux équations
\ ù l dW\ ' * r Or\ Ot /
H ot iv dépendent à la fois du rayon /• et du temps t; mais E ne dépend que de t. Posons
Ci) ..= ^
et cherchons à déterminer t.
DiflTérentiant l'équation (1) par rapport à /•, on a
c)m' ^ ^ àU ^ Vr ~ ~^ Jt ôr
THÉORIE d'une EXPÉRIENCE DE HERTZ. l4l
d'où, en intégrant par rapport au temps,
Substituons dans la relation (2) les expressions (3) et (4); il viendra
équation aux dérivées partielles que la fonction o* doit vérifier dans tout le conducteur. Pour achever de la déterminer^ nous allons chercher la condition qu'elle doit remplir sur le contour du cylindre.
Or, si Ton appelle I l'intensité totale du courant, on a, à la surface,
(6) Ha -AI,
A étant une constante. Mais
I — :>. - / IV r dr = 2 ir / -- /• dr.
ce qui, en vertu de Téquation (5), peut s'écrire
ou finalement
^ __ pg d^a
^-^ - . or
D'autre part, en difierentiant l'équation (6), on trouve Or ré(|uation (1) donne, pour tous les points de la surface,
07a 1^ <^Ha
Rapprochant ces deux derniers résultats, on obtient Téqualion
que la fonction a* vérifie à la surface, savoir
dja K Ko a dia
^ ()f l 1 dt dr
OU, en introduisant le coefficient de sel/induction L -= A /,
On voit que la fonction a* est complètement déterminée par les deux équations (5) et (8). Une fois cr connue, les intensités (v et I sont déterminées par les relations (3) et (7).
L'équation (8) donne la formule ordinaire de Tinduction lorsqu'on suppose le courant (v uniforme dans toute la section; car alors on a
— - = il' = )
dt TUl^-
et, comme la résistance totale R du fil a pour expression -^^» Téquation (8) devient
2. Dans l'expérience de Hertz, deux conducteurs cylindriques, de rayon «, de longueur /, sont placés dans le prolongement l'un de l'autre. Leurs extrémités en regard sont reliées chacune à Tune des extrémités du fil induit d'une bobine de Ruhmkorff. Les extrémités opposées portent chacune une sphère de capacité G.
On a, par suite, en appelant q la charge d'un des deux conducteurs,
d'où résulte, en vertu de l'équation (7),
dq pa dia
dR pa d7a
dt 1 dr dt dr
Si maintenant on dlfférentie l'équation (8) par rapport à /, en tenant compte de ces valeurs, il vient
d'fJa , a dSa '7Ï- 0^(Sa
^y) ^ dt^-'-^QW-^ — dF-dî^''-
THÉORIE D*UNE EXPÉRIENCE DE HERTZ. l43
Il est aisé de trouver une fonction a* salisfaisanl aux équations (5) et (9) quand on suppose a, et par suite aussi /', extrêmement petit. Posons à cet effet
L'équation (5) devient alors
ar^ r dr p
Développons 2 en série et bornons-nous aux deux premiers termes
En substituant cette expression dans Téquation (10), on trouve
P On peut donc prendre
/ Trarn
Cette valeur de a-, portée dans Téqualion (9), donne
Si Ton introduit la résistance des cylindres
cette dernière relation devient
(11) (L4-/)|JL2-RHi-i-2 =0.
La théorie ordinaire aurait donné
(12) J^,a2 Kj^+l = 0,
^désignant le coefficient de self-induction. On a donc (i3) ^^L^/.
l44 FRAGMENTS DIVERS.
3. Dans le cas général, on peut toujours poser comme plus haut
ce qui transforme l'éqnalion (5) en Téquation déjà obtenue
d^Z i dZ 47rfJL ^
(lO) -7-r -T- - -7- H -2 = 0.
La fonction II qui satisfait à cette équation et qui reste finie pour r = o est nécessairement de la forme
S- yJo r
Y désignant une constante arbitraire et Jq la fonction de Bcsscl, de sorte que l'on a une solution de l'équation (5) en prenant
(i6) 'j^-(e-[»-nJr
Si l'on substitue cette expression de t dans la condition (9), on trouve
Posons maintenant
Télimination de ji. entre ces deux dernières relations donne
Appelons R' la résistance du fil; la résistance vraie R sera plus grande que R'à cause de rélincellc ; représentons-la par n R'(/i> 1 ). L'équation précédente deviendra
Passons aux nombres. Dans Texpérience de Hertz (Annales rie
THfiORIE d'une expérience DE HERTZ. l45
fViedemann, t. XXXI, 1887) les sphères avaient i5*^" de rayon; par conséquent
3*.io»o
Chacun des fils du condensateur avait i5o*^" de longueur (/=r i5o) et un demi-centimètre de diamètre (rf= o,5). Or le coefficient de self-induction L est représenté par la formule de Helmholtz
L = 9./^log:^— 0,75-+- \~j
où /r = I dans la théorie de Neumann et A* = o dans celle de Maxwell. Avec A: = i on trouve
par suite, l'hypothèse A — - o donne
nombre que nous adopterons.
Quant à la résistance d'un fil de cuivre de o*^"', 5 de diamètre elle est, pour une longueur de i™, égale à o"**"*, 0008; donc on • aura, en unités C.G.S,
A raison de ces valeurs de /, C et R' Téquation (ao) devient
On peut, en considérant comme connue la résistance de Tétincelle, c'est-à-dire n, calculer la partie imaginaire de z^. En effet, nous avons
Si donc on fait
il faut, pour que la vibration s'éteigne, que [x' soit positif-, quant à [x*^, en appelant t le temps d'une vibration complète, on a, si G. R. — II. 10
l46 FRAGMENTS DIYERS.
la théorie de Maxwell est vraie,
et, comme on a, d^autre part,
on trouve immédiatement
1,77 Par suite
..= ii
nR "^ i" / «2000/1 20oon w
ce qui fait connaître la partie imaginaire de z*^.
Comme le coefficient d'extinction e~^'^ doit décroître très rapidement quand t augmente, il faut que \k' soit très grand. Nous sommes donc conduits à calculer la valeur de Jq {z) • Jo(^) pour les valeurs de z qui ont un très grand module. Pour de telles valeurs on a (Jordan, Cours d^ Analyse, t. III),
J.(.)=^[e'(=-^)-*'Ve-'('-?)],
avec /r = o ou Ar = 1 , suivant que la partie réelle de 9 est positive ou négative. En prenant la dérivée logarithmique des deux membres et négligeant l'inverse de 5, on trouve
Or e~*^' est égal à -4- i si A* = o, à — i si /r = i ; soient Zo et Z| les valeurs de Ji(5):Jo(5) qui correspondent à ces deux hypothèses. On a visiblement ZqZ, = — 1; il suffit donc de calculer Z©. Posons
5 = a-h eu, a — 7 = a,
nous aurons
THfiORIE d'une expérience DE HERTZ. ll^
OU, en introduisant les sinus et cosinus hyperboliques.
ou enfin
"" cos2a'-+.Gh2p '
® "" sinaa+Gh2p
Ce morceau étant inachevé et présentant une lacune, il peut être bon de rappeler que, une fois s^ et par suite fx, tiré de Téquation (21), la so> lution physique du problème sera donnée, non pas par la formule (16), où Y 6st comme fx une constante imaginaire, mais par
Œ = partie réelle de y^-I^' Jo ( r l/^^^ ) *
C'est cette fonction qu'on devra employer pour calculer q au moyen de
la relation
dq pa 09 a
dt "^ 1 dr
On trouvera ainsi pour la charge q une loi de variation dont la forme analytique sera la même que dans la théorie de Sir W. Thomson.
