II. — Diagramme des déformations infiniment lentes

lignes de déformation.

Ayant tracé sur un plan deux axes rectangulaires, nous porterons en abscisses les valeurs X de la force de déformation, en ordonnées les valeurs x de la variable dont dépend le travail. Les états d'équilibre seront représentés par les positions du point (X, x), que nous appellerons point figuratif.

Soit (Xo, Xo) un état d'équilibre du corps. Augmentons brusquement la force de déformation, en la portant de Xo à X|, et attendons que l'équilibre soit rétabli; la variable intrinsèque a augmenté et pris une certaine valeur définitive x\ .

Si, au lieu d'ajouter la surcharge (*) en une fois, on ajoute deux

fois la surcharge —î -> en laissant l'équilibre s'établir chaque

fois, la valeur finale x'[ est différente de x\. Cette propriété caractérise les déformations permanentes et les distingue des déformations élastiques, qui sont réversibles.

Cela étant, nous conviendrons de n'opérer désormais {^u^avec une lenteur infinie; nous réaliserons la surcharge X| — Xo par

(*) Nous parlons ici un langage qui n'est réellement propre que dans les cas où la force de déformation est un poids (étirement, torsion). Il n'y a pas d'inconvénient à faire ainsi, puisqu'il a été bien spécifié que X n'est pas en général une force, au sen^ classique du mot, mais une pure expression mathématique.

degrés insensibles, en ajoutant successivement une infinité de surcharges infiniment petites rfX, a^ant pour somme X| — X©. La valeur finale x^ sera différente de œ\, La marche du point figuratif entre (Xo, ^o) et (X|, a^i) est bien déterminée. A chaque étape de la transformation, l'accroissement dx produit par la surcharge rfX sera déterminé par l'état (X, x) d'où part le corps, et Ton aura

(i) ctr = ç(X, ar)/'/X (t/X > o, ûtr > o).

Le lieu du point figuratif aux divers stades de cette déformation directe, pour laquelle tous les e/X, et par suite aussi tous les dx^ sont supposés essentiellement positifs, est dit courbe de dé/ormat ion directe.

Imprimons au corps une déformation inverse (c'est-à-dire pour laquelle tous les rfX et dx soient négatifs), infiniment lente également. Le rapport de dx à dX. n'aura pas au point (X, x) la même valeur que précédemment. L'expérience montre, en effet, que les courbes de déformation inverse ne coïncident pas avec celles de déformation directe (*). Nous poserons ici

(2) dx = ^{\,x)d\ (d\<o,dx<o).

Concevons que l'on ait intégré les équations (i) et (2). Nous

aurons

pour équation finie de la famille des courbes de déformation directe, ou courbes (C), et

pour les courbes de déformation inverse, ou courbes (C). Les premières sont parcourues dans le sens des X (et aussi des a:) croissants, les secondes dans le sens des X (et aussi des x) décroissants.

Propriétés des courbes de déformation, — Les courbes (C) et les courbes (C) jouissent des propriétés géométriques suivantes :

i** En tout point de chacune d'elles le coefficient angulaire de

(') Ainsi, le point figuratif ne peut pas rebrousser chemin. Il ne le pourrait pas non plus, quels que fussent les corps extérieurs que l'on mettrait en relation avec le corps considéré. C'est pourquoi nous disons qu'il y a ici une irréversibilité intrinsèque^ essentielle et irrémédiable.

la tangente est positif (rfX «te > o), ou, ce qui revient au même, l'ordonnée et Tabscisse varient partout dans le même sens.

2^ Par chaque point du plan ne peut passer qu une courbe de chaque famille, et une seule; ainsi les courbes (C) ne se coupent point entre elles; les courbes (C) non plus.

3° Par tout point du plan, correspondant à un état d^ équilibre, passe effectivement une courbe de chaque famille.

4** Chaque courbe (C) et chaque courbe (C) se coupent en deux points.

Les trois premières propriétés résultent des faits d'expérience que nous avons déjà rappelés. La dernière exprime cet autre fait expérimental que, ayant amené un corps de l'état (Xo,:ro) à l'état (XoJJi), on peut le ramener à l'état initial. Cela exige que chaque courbe (C) coupe chaque courbe (C) en deux points, puisque deux courbes de la même famille ne se coupent pas.

Pour voir comment sont situés l'un par rapport à l'autre les deux arcs des courbes (C) et (C) qui forment un cycle {parties cycliques)^ nous appliquerons le second principe de Carnot.

Soient Xq et x^ {xq <^Xx) les ordonnées des deux extrémités du cycle; x une ordonnée intermédiaire; X et X' les abscisses de la courbe directe (C) et de la courbe inverse (C) qui correspondent à cette ordonnée x.

Les travaux consommés dans la déformation directe et dans la déformation inverse ont respectivement pour expressions

dx.

Le travail total est positif, d'après le second principe de Carnot, puisque le cycle est irréversible. Or c'est le travail correspondant à un cycle qui ne peut être parcouru que dans un sens, le sens indiqué par les flèches {fig* 22) de Xq vers X\ suivant (C), de Xx vers Xq suivant (C). Ce travail, qui est égal à l'aire du cycle enveloppé, a pour expression, en grandeur et signe,

tr-i-C'--= Ç \x — \')dx;

comme tous les dx sont positifs, on doit avoir X>-X', c'est-à-dire que, dans les parties cycliques, la courbe directe (C) est à droite

de la courbe inverse (C). Cette conclusion est conforme à l'expérience (courbes d'hystérésis magnétique).

Passage cyclique d^un état à un autre. — Les propriétés des courbes de déformation que nous venons de faire connaître conduisent au théorème suivant :

Étant donnés deux états quelconques d'équilibrCy il existe toujours deux déformations, faisant partie d^un même cycle, qui permettent de passer dun de ces états à l'autre.

Soit A le point figuratif de l'état final auquel il s'agit d'amener le corps. Par ce point passent deux courbes de déformation qui vont se couper en un second point B. Traçons seulemenX la portion de la courbe (C) qui correspond à une déformation directe aboutissant en A et la portion de courbe (G) qui correspond à une déformation inverse aboutissant en A. Ces deux courbes présentent soit l'une, soit l'autre des dispositions indiquées sur les fig. 23 et 24, suivant que le point A est le sommet droit ou le sommet gauche du cycle AB. Quoi qu'il en soit, la ligne brisée (C) (C) divise le plan en deux régions, l'une située au-dessus d'elle, l'autre située au-dessous.

Si l'état initial donné est figuré par un point Ao de la région inférieure, on suivra la courbe directe qui passe en Ao jusqu'à son point d'interseôtion V avec la courbe inverse (C), puis cette courbe

jusqu'en Â. Si le point figuratif est en A'^, au-dessus de la ligne brisée, on suivra la courbe inverse qui passe en A'^ jusqu'à son

Fig. 23.

intersection F avec la courbe (G), puis celle-ci jusqu'en A. Les fig. 23 et 24 montrent que l'on aura ainsi, dans chaque cas, fait

Fig. i\.

ri(C')

décrire au corps deux portions consécutives d'un même cycle, et cela dans le seul sens où il puisse les parcourir.