III. — Ligne des déformations réversibles; courbes limites

Ligne des déformations réversibles, — Chacune des courbes (C), étant rencontrée en deux points par une courbe (C), est tangente à l'une de ces courbes (C). Le lieu (L) des points où une courbe d'une famille est tangente à une courbe de l'autre famille s'obtient sans intégration; il suffit évidemment, pour obtenir son équation, d'écrire que les coefficients angulaires des deux courbes sont égaux, ce qui donne

cp(X,x) = tj;(X,ar).

Il est visible que tout cycle est traversé par cette ligne; on s'en assureenfaisant varier Tune des courbes du cjcle jusqu'à ce qu'elle devienne tangente à l'autre.

Nous appellerons cette courbe la ligne des dé Jor mations réversibles, parce qu'elle jouît de la propriété suivante :

Etant donnés deux états du corps, représentés par deux points quelconques de la ligne (L), ei distance finie l'un de l'autre, on peut amener le corps de l'un de ces états à l'autre, puis le ramener au premier état, par des déformations dans lesquelles le point figuratif s'éloigne aussi peu qu'on le veut de la ligne (L); le travail total est, à la fin du cycle, aussi petit qu'on le veut.

Il ne peut évidemment être question de faire décrire au point figuratif un arc de la courbe (L), puisqu'il ne peut s'éloigner d'une position déterminée A dans le plan que suivant la courbe (C) de déformation directe, ou la courbe {CI) de déformation inverse, courbes qui passent en A et qui, d'ailleurs, se touchent en ce point quand il appartient à la ligne (L).

Figurons la ligne (L) et les deux points A et A' de cette ligne qui représentent les deux états considérés {fig* ^5). Marquons sur (L), entre A et A', un grand nombre de points de division très

Fig. 25.

rapprochés, A|, Ao, ..., A,i; traçons les courbes directes qui passent en A, A| , . . • , A„, les courbes inverses qui passent en K^ , A2, . . ., A«, A', et limitons chacune d'elles à ses points d'intersection B,- et D| avec la courbe de l'autre famille qui coupe (L) au point de division le plus voisin de celui où elle-même la traverse.

Nous formons ainsi /i -h i cycles, tels que AB| A« D< A, tous divisés en deux parties parla ligne (L), et dont nous représenterons les aires totales par o'^ , 0*2, . . . , o-/|.

Supposons, pour fixer le langage, qu'il s'agisse de phénomènes d'aimantation. Aimantons de A en B| ; désaimantons de B4 en A| ; aimantons de A4 en B2; désaimantons de B^ en A2, et ainsi de suite. Nous arriverons de la sorte à Tétai A', après des déformations conduites avec une lenteur infinie. Pareillement, désaimantons de A' en D,,^.| ; aimantons de D/i^i en A/, ; en continuant ainsi, nous ramènerons le point figuratif en A. Le travail total, accompli pour aller de A en A' et de A' en A, est égal à la somme des aires des cycles élémentaires

Îp = ffj -4- ffj -f- . . . -4- a,j.

Si le nombre n est suffisamment grand, tous les points B/ et tous les points D, seront aussi voisins qu'on le voudra de (L), et le travail 6 sera aussi petit qu'on voudra, ce qui démontre les deux parties de notrç énoncé.

Après avoir ainsi justifié la désignation donnée à la ligne (L), nous avons à étudier son allure. Nous admettrons ces deux postulats qu'en tout point de (L) le coefficient angulaire de la tangente est positif et qu'il est supérieur aux coefBcients angulaires des deux courbes (G) et (C) qui passent en ce point.

1° Dire que le coefficient angulaire de (L) est positif, c'est impliquer que, pour faire croître la variable intrinsèque en allant (Vun point de (L) à un autre, il faut faire croître la force de déformation. Pour faire croître x le long d^une courbe de déformation, il faut aussi faire croître la force de déformation : pour étirer un fil en équilibre, pour le tordre davantage, il faut augmenter le poids qui agit sur lui. C'est là un pur fait d'expérience ; et cette dépendance entre la variable intrinsèque et la force de déformation n'est ni nécessaire, ni évidente, comme on le croit communément. Mais, ce que nous affirmons relativement à deux points de la ligne (L) est un véritable postulat : comme on ne peut faire passer le point figuratif d'un point A de la ligne (L) au point infiniment voisin A| qu'en opérant deux déformations successives, de sens contraires, on ne peut savoir a priori si, après ces deux opérations, la force de déformation aura augmenté ou diminué.

Nous admetlons qu'elle a augmenlé, si la variable intrinsèque a augmenté : c'est un postulat, mais un postulat vérifiable directe-' ment. Nous n'en admettons point d'autre sorte, nous rappelant qu'on ne vérifie jamais un principe par ses conséquences.

2** Que le coefficient angulaire de (L) soit plus grand que celui des deux courbes (C) et (C) au point considéré, revient à ceci : pour faire varier la variable intrinsèque x dans un certain sens,

Fig. 26.

en allant d'un point de (L) à un autre, il faut d* abord opérer une déformation dans le sens où l'on veut que x ait finalement varié, puis une déformation en sens contraire. C*est encore un

Fig. 27.

postulat. Nous traduisons ce postulat par la propriété de la tangente à la courbe (L), telle qu'elle est représentée dans \^Jig. 26 C'est évidemment le contraire qui aurait lieu si les choses se passaient comme dans \difig. 27.

G. R. - II (a). i5

Hérédité; courbes limites. — Les corps susceptibles de déformations permanentes sont, comme les êtres vivants, des systèmes à hérédité, leur avenir dépendant de leur passé. Je précise : la valeur à laquelle se fixera la variable intrinsèque ^, quand la déformation sera devenue permanente, la force de déformation ayant finalement la valeur X, loin d'être déterminée par cette valeur, dépend essentiellement des étals antérieurs du corps; la force de déformation X n'intervient que pour limiter la variable j;, qui est prise pour mesure de la déformation.

Ainsi une aiguille de fer, placée dans un cliamp magnétique d'aimantation donnée X, se fixe dans un état d'équilibre où son intensité d'aimantation x ne dépend pas seulement de X, mais de ses états antérieurs; la valeur donnée de la force magnétisante X influe sur x en lui imposant une limite supérieure et une limite inférieure que nous représentons {Jig* 28) par les points M et M'. Les ordonnées de ces points seront de signes contraires quand l'aimantation du champ sera voisine de zéro. Mais, quand le champ

Fig. 28.

ir)y^ ' '' .

ioy X

sera très fort, l'aiguille ne pourra conserver une aimantation négative; les points limites M et M' seront tous deux au-dessus de l'axe des X. En joignant ensemble tous les points M et tous les points M', on obtiendra deux courbes limites, qui admettent une asymptote commune parallèle à l'axe des abscisses, car l'aimantation de l'aiguille reste finie quand la force magnétisante augmente de plus en plus.

Il existe, pour tout corps susceptible de déformations permanentes, deux courbes limites, de même déGnition que les précé-

niAP. XII. — DÉFORMATIONS PERMANENTES. 227

(lentes. Toutes les courbes de déformation directe et toutes les courbes de déformation inverse sont nécessairement comprises entre les courbes limites; par suite, la ligne des transformations réversibles (L) est, elle aussi, d'après sa définition, comprise entre ces courbes, et conséquemment leur est asymptote.

Pour le fer parfaitement doux, et, plus généralement, pour les corps réfractaires aux déformations permanentes, les deux courbes limites (F) et (V) se confondent avec la ligne des transformations réversibles (L) ; pour ces corps, à chaque valeur de la force X correspond une seule valeur de la variable intrinsèque, et toutes les transformations isothermiques de l'espèce de celles que nous considérons sont réversibles.