V. — Équivalence de la chaleur et du travail

« Nous n'énoncerons d'abord le principe de Mayer que dans un

cas particulier, celui où nous nous sommes placés en premier lieu

pour définir le travail. Grâce aux deux formes sous lesquelles nous

le mettrons, nous serons en mesure de le démontrer dans tous les

cas où nous avons défini le travail.

PREMiEa ÉNONCÉ. — Quatid un système connexe, ou composé de parties séparées, primitivement en équilibre, subit, sous V action d'un système de poids, une série de modifications qui le ramènent à son état initial, le truK^ ail qu'il a finalement consommé est égal à la somme des quantités de chaleur qu'il a dégagées dans les disperses sources (' ) avec lesquelles il a été en contacta multipliée par un nombre positif constant, c'està-dire par un nombre positif qui ne dépend absolument que des unités choisies pour mesurer le travail et la chaleur.

Ce nombre est )! équivalent mécanique de la chaleur, que nous représentons par la lettre J; V équivalent calorifique du travail, qui est l'inverse de J, sera toujours représenté par A. Nous désignerons ce premier énoncé par le nom de principe du cycle fermé.

Second énoncé. — Lorsqu'un système, susceptible de passer d'un état initial d'équilibre à un autre état, peut être amené du premier au second par deux séries de modifications distinctes, la dij/érence entre le travail consommé et le produit de J par la chaleur dégagée est la même pour ces deux processus.

Ce second énoncé constitue \c principe de l'état initial et de l'état /inaL

Si a et g' sont les travaux consommés dans les deux processus, Q et Q' les sommes des quantités de ciialeur qu'ils ont dégagées, le principe de l'état initial et de Tétai final s'exprime par la relation

(') Il n'c^^l pas suj)posc (jue le sv»Lèinc, quand il entre en contact avec l'une des sources ou ({uand il la ijuilte, soit à la iiiènie température qu'elle.

que Ton peut aussi écrire

Il est essentiellement dififérent du principe du cycle fermé, auquel on a cru pouvoir le ramener par le raisonnement suivant :

Soient (A^) et (A|) les états d'équilibre, initial et final, communs aux deux systèmes (S) et (S'). Après avoir fait éprouver au système (S) la série des modifications qui l'amènent de l'état (Ao) à l'état (A|), faisons-lui parcourir, en sens inverse, la série des modifications qui ont amené (S') de l'état (Aq) à l'état (A|). Il sera parti d'un état d'équilibre pour y revenir, ce qui permettra d'appliquer le premier énoncé. Le travail consommé par (S) entre (Ao) et (A| ) est G et la chaleur dégagée Q ; le travail qui a été consommé par (S') entre (A^) et (A,) étant (^', et la chaleur dégagée étant Q', le travail total consommé de (Ao) en (Aq) en passant par (A|) sera (B — ^' ; la chaleur totale dégagée dans les mêmes conditions sera Q — Q'. Ou aura donc

ce qui exprime le second énoncé.

Mais, dans ce raisonnement, on admet sans preuve qu'il est possible de faire revenir le système (S) de l'état (A| ) à l'état (Ao) dans certaines conditions très restrictives; de plus on suppose ^/-aluitement que le travail consommé dans une succession d'états change de signe quand on change le sens dans lequel ces états sont traversés. Or il s'en faut qu'il en soit toujours ainsi. Considérons, en effet, une bille de billard posée sur un tapis horizontal. Pour la déplacer avec une vitesse très petite, d'une certaine longueur A, à l'aide d'un fil passant sur une poulie et supportant un poids juste suffisant /?, il faudra dépenser un travail ph\ pour lui faire parcourir le même segment, en sens contrairey à l'aide d'une poulie opposée à la première, on dépensera le même travail ph^ et non un travail égal et de signe contraire, puisque dans les deux cas c'est le même poids p qui tombera de la même hauteur /i. (Pour plus de détails, voir Chap. X, § I.)

C'est seulement dans le cas particulier des phénomènes /enre/sables {voir^W.) qu'on peut déduire le second énoncé du premier. G. R. - II (a). 3

C(ts particulier de la Therniochiniie. — Un cas particulier qui se présente assez fréquemment, surtout en Chimie, est celui où le système n'est soumis à d'autre action extérieure qu'à une pression uniforme et n'éprouve aucune variation de volume, au cours des deux processus considérés. Alors les travaux (T et C^' sont nuls et il reste

résultat qu'il paraît superflu d'énoncer, mais qui tVest valable que si ç et ç' sont égaux.

Un théorème sur le tra\^aiL - Nous avons énoncé au paragraphe précédent une proposition que nous sommes mainlenani en mesure d'établir.

Ln système (S) passe sous l'action d'un système de poids d'ini état (^A) à un autre état (A') en consommant un travail Ç:. Mis en relation avec un système (S|), il passe exactement parles mêmes états dans les mêmes intervalles de temps. Ce système (S,), mis à son tour en relation avec un svstème de poids, consomme un travail Cl en passant exactemenl par les mêmes états ( A|), . . . , ( A'^ < et dans les mêmes intervalles de temps que quand il était en relation avec (S). Je dis que les deux trasraux ^ et d sont égaux et de signes contraires.

Considérons le système complexe (S -\- S|) formé des deux systèmes (S) et (S,) en relation l'un avec l'autre. Ce système complexe est un byslème isolé, sans rapport avec aucun corps élran*j;er : quelque modification qu'il éprouve, il ne consommera ni ne produira de travail. A raison de leur relation, ces systèmes passent, l'un (le l'étal (A) à l'état (V), l'autre de l'état (A,) à rétat(A'/); soientQ <ît (^, les quantités de chaleur qu'ils dégap^ent, le premier dans les diverses sources avec lesquelles il vient successivement en contact, le second dans la source qui l'entoure. Dans cette première série 'de modifications, la diOV-rence entre le travail consommé et le produit (le J par la somme des (| nanti tés de chaleur dégagées se réduit, le travail étant nul, à

Tel est le premier membre de l'étjiiation qui exprime le principe de l'élJit initial et de l'état final.

Considérons encore le système (S-f- S|) dans son état initial, (A) pour (S) et (A|) pour ( S i). Rompons la communication entre ses deux parties, ce qui n'exige, nous l'avons expressément stipulé, qu'une dépense absolument négligeable de travail et de chaleur. Ensuite, mettons (S) et (S|) respectivement en communication avec les systèmes de poids qui les font passer des états (A) et (A') aux états (A|) et (A'J dans les conditions énoncées. Comme ils parcourent l'un et l'autre, par hypothèse, la même succession d'états que quand ils étaient reliés, ils dégageront les mêmes quantités de chaleur Q et Q' que précédemment; quant aux travaux qu'ils consomment respectivement, nous les avons appelés ç: et Ç|. Le second membre de Téquation dont nous avons déjà formé le premier sera donc

et, comme le premier était — J(Qh~Qi)) cette équation donne

simplement

• G -+- Gi = o,

ce qui est la proposition à démontrer.

Démonstration généralisant le principe du cycle fermé. — Nous allons pon\o\r démontrer ce principe dans le cas où le système considéré (S) est en relation, non plus avec un système de poids, mais avec un système (S|), transformable par un système de poids, dans les conditions que nous avons précisées au paragraphe précédent pour définir le travail mis en jeu par le système (S). Nous ferons décrire à (S) un cycle fermé, d'un état initial d'équilibre (A) à ce même état (A); mais l'état final (A,) du systènïe (84) pourra difflérer de son état initial (A').

Dans celte série de modifications, le système complexe (S -}- S|), étant isolé, ne met en jeu aucun travail; soient Q et Qi les quantités de chaleur que dégagent respectivement dans les sources ses deux parties (S) et (S|). l^our appliquer le principe de l'état initial et de l'état final, formons pour cette |)remiére expérience la différence entre le travail consommé et le produit de J par la somme des quantités de chaleur dégagées ; nous aurons simplement, puisque le travail est nul.

Considérons encore le syslème (S -h S,) clans son étal inilial. Rompons les communications entre (S) et (S|), ce qui n'exige, par hypothèse, aucune dépense appréciable de chaleur ni de travail. Laissant ensuite (S) inaltéré dans son état d'équilibre (A), mettons (S|) en relation avec le système de poids qui le fera passer de l'état actuel (A') à l'état final (A,) déjà considéré, en lui faisant parcourir dans les mêmes intervalles de temps les mêmes états successifs que lorsqu'il était relié à (S). Dans cette expérience le syslème (S|) consomme un travail G| déjà défini et dégage la même chaleur Qi que dans la première. L'état final du systQ/ne complexe (S 4- S,) est maintenant le même qu'à la fin de la première expérience. Le second membre de l'équation qui exprime le principe de l'état initial et de l'état final est donc ^ i — JQ, . En le rapprochant du premier, on trouve

et, comme — Ç| est égal à (T, cette formule devient

ce qui est le résultat qu'il s'agissait de démontrer.

VI. — Les phénomènes renversables et le principe de l'état initial

et de l'état final.

Renversabililé. — Quand un système est passé d'un état d'équilibre à un autre, il est très souvent possible de le ramener à son premier état : c'est ce qui a lieu, par exemple, pour beaucoup de phénomènes physiques et pour un nombre chaque jour plus grand de réactions chimiques. S'il est possible d'opérer cette transformation inverse au prix d'un travail égal et de signe contraire à celui qu'a mis en jeu la transformation directe, on dit que ces deux transformations sont renversables.

Chaleurs mises en jeu dans deux opérations renv^ersables inverses, — Quand un système, après avoir éprouvé une modification renversablc et la modification inverse, revient à son état initial, la somme algébrique des quantités de chaleur qu* il a mises en jeu est nulle. Il ne faudrait pas croire que cette pro-

priélé résulte du seul fait de la renversabilité. C'est une conséquence de la définition des modifications renversables, rapprochée Aw principe du cycle fermé. En effet, la somme C^ -h G' des travaux produits ou consommés dans une pareille opération et dans l'opération inverse étant nulle, la somme algébrique des quantités de chaleur Q et Q', mises en jeu dans ces deux opérations, est nulle aussi, comme étant égale àA(C5-f-S'). Donc, les chaleurs mises en jeu dans une opération renversable et dans l* opéralion inverse sont égales et de signes contraires.

Retour sur le principe de l'état initial et de l'état final, — Quand Vune des modifications qui peuvent amener un système d'un état d'équilibre à un certain état est rem^ersable, on peut, en s'appujant sur le principe du cycle fermé, démontrer, pour ce système et ces deux états, Téquation qui exprime le principe de l'état initial et de Tétat final.

Soient, en efl'et, G et Q, G' et Q' le travail consommé et la chaleur dégagée dans le passage de l'état initial à l'état final par deux quelconques des modifications possibles, autres que la transformation renversable, pour laquelle nous désignerons par G^ ctQ^ les grandeurs correspondantes.

Après chacune des deux opérations considérées, ramenons le système à son état initial en effectuant l'opération inverse de l'opération renversable; dans celle-ci seront mis en jeu, à raison de la renversabilité, un travail — t^r ^^ une quantité de chaleur — Qr. Le principe du cycle fermé donnera, dans le premier cas,

dans le second cas

r-Gr = J(Q'-Q;}.

On déduit de là, par soustraction,

G- JQ = G'— JQ',.

ce qui est la proposition à démontrer.

Ainsi se trouvent rattachées Tune à l'autre, grâce à la notion de renversabilité, les deux formes du principe de l'équivalence, suivant ce que nous avions annoncé au paragraphe précédent.