II. — Différentiation des formules intégrales; conséquences
Nous allons voir ce que donne, pour les modifications infiniment petites, l'hypothèse que, fidèles à l'esprit de notre méthode, nous avons faite au Chapitre VIII (§ 1), et qui consiste à admettre (\\x^après une transformation quelconque, un système peut être ramené à son état primitif par un processus entièrement réversible, composé d^une modification isothermique et d^ une modification à température ^eule variable. Il n'a rien été supposé sur les quantités de travail et de chaleur mises en jeu dans le processus direct et dans le processus inverse; notre hypothèse est donc beaucoup plus large que les postulats qui viennent d'être signalés.
Elle nous a conduit aux formules générales que nous rappelons
-JF(T)-T[^^-e(T)]j,
AT ^ dT
et que nous pouvons difTérentier, sous le bénéfice des observations énoncées au Chapitre IV (§ III), c'est-à-dire que nous y
ferons
a = ao-rfa, p = po -^ ^?, .••, T = Tq -f- rfT,
ce qui conduit à remplacer Q et G respectivement par rf'Q et rf'6, la notation d' étant destinée à représenter une grandeur
1res petile, dont la mesure n^est *pas supposée être une différentielle exacte. Si, enfin, on efface les indices zéro, on arrive aux relations
qui concernent le passage de l'élat (a, ^, . . ., T)à l'étal infiniment voisin (a-f-ûfa, Pn-d/^, ..., T-i-<iT). Il faut remarquer que le passage était supposé brusque, et par suite irréversible, quand il s'agissait de deux sources dont la différence de température était finie. Maintenant que cette différence de température est supposée infiniment petite, la modification élémentaire correspondante /?eM^ (Hre réversible, ainsi que nous Pavons déjà fait remarquer (Chapitre VI, § VI), et Ton a, dans ce cas, mais dans ce cas seulement,
En combinant cette relation, fournie par les principes de Carnot pour les seules modifications réversibles, avec l'équation plus générale (i/, qui traduit le principe de l'équivalence, on trouve aisément cette expression du travail réversible élémentaire
d'^^r-.dF-(~ -0 Ut,
ce que l'on peut écrire
(6) rf'G = oF-i-e^T,
en faisant usage d'une notation déjà définie. Nous reviendrons, au paragraphe suivant, sur la forme analeptique de cette relation.
Sous sa forme actuelle, elle montre que le travail réversible élémentaire est égal à la somme des travaux réversibles mis en jeu par la modijication isothermique et la modification à température seule variable qui amèneraient le système de son état initial à son état JinaL
Mais il y a plus. D'après les équations (3) et (5), on a pour d'Çl et d'ïD^ dans le cas des modifications réversibles, des expressions de la forme
A û^a + B é/p H . . . -h 8 cTT ;
CBAP. X. — FORMULES DIFFÉRENTIELLES. I79
on conclut de là que le travail et la chaleur élémentaires dépendent seulement de rétat initial et de l'état final, mais à la condition d'ajouter : lorsque la modification correspondante est réversible.
Nous avons ainsi substitué, à un postulat concernant les modifications quelconques, un théorème propre aux modifications réversibles, et dont nous ferons usage dans la suite de ce Chapitre. Il montre en particulier que, dans une modification réversible élémentaire, la chaleur mise en jeu est celle de la modifica^ tion isothermique réversible qui, suivie d'une modification adiahatique réversible, fait passer le corps de son état initial à so n état fin a L
Remarque, — Les formules (3) et (5) mettent en évidence les propositions suivantes :
I® Dans une modification quelconque, la chaleur élémentaire, diminuée du travail élémentaire multiplié par A, est une différenlielle exacte.
2" Dans une modification réversible, la chaleur élémentaire est une expression différentielle qui admet comme facteur intégrant l'inverse de la température absolue (la même pour le système et pour la source où il plonge).
