I. — Fonctions ayant une intégrale donnée

1. Quand une fonction f{x) est intégrable, les sommes S,|, S'^, ..., considérées au Chapitre III (n° \ ), définissent une seule et même fonction F(a:) de la variable X. Cette fonction est appelée V intégrale de /(^), prise entre j^o et X, et on la représente par le symbole

f{x)dx',

les nombres ^0 etX sont dits les limites inférieure et supérieure de l'intégrale. Dans ce symbole, dx désigne un intervalle au plus égal à un nombre a tel que toutes les sommes S^ composées avec des intervalles moindres que a diffèrent entre elles de moins d'une fraction donnée e (celle qui exprime l'ordre de petitesse des fractions que l'on est convenu de négliger).

Mais le problème inverse, qui consisterait, se donnant une fonction F(X), à en trouver une autrey(a:) dont la première fût l'intégrale, prise entre Xq et X, n'est pas déterminé. En effet, il existe une infinité de fonctions qui ont même intégrale. En

l68 CHAPITRE IX.

voici d'abord un exemple évident. Supposons que f{x) et ^{x) soient deux fonctions qui, dans Tintervalle (^Cqî ^)? coïncident, sauf pour un certain nombre de valeurs. La différence

est nulle, sauf pour ces valeurs, et Tintégrale de ^{x) est évidemment nulle. Il en résulte, comme on le verra aisément, que l'intégrale de /(x) est égale à celle de ^{x).

Voici un autre exemple, bien plus instructif, par lequel nous prouverons l'existence de fonctions ^(x) non nulles et dont l'intégrale est nulle pour toute valeur X comprise dans l'intervalle (a, 6) où ces fonctions ^{x) sont définies. En effet, tous les nombres x compris entre a et b sont des entiers ou des fractions que nous supposerons réduites chacune à leur plus simple expression. Pour toutes les valeurs x qui sont des fractions irréductibles de dénominateur p (des entiers si /? = !), nous attribuons à ^{x) la même valeur /(/?) : Np, où N^ est le nombre des fractions irréductibles de dénominateur/? comprises entre a etb ; quant à /(/?), c'est un nombre positif, décroissant indéfiniment quand /? augmente, et tel que la série

soit convergente.

Cela posé, considérons dans l'intervalle (a, b) deux nombres (^0, X) et divisons leur intervalle en /i autres. S oient jKmJ^2j "-^yn les plus grandes valeurs de la fonction dans chacun de ces intervalles. La somme un des oscillations de la fonction dans les n intervalles est au plus égale à JK^ + ^"2 + ' • •4-^/1. Or, parmi les fractions ^rj considérons celles dont le dénominateur est/?; leur nombre np est inférieur ou égal à N^. Par conséquent, on a

Cette dernière série étant convergente, l'oscillation totale Q^ est limitée, et la fonction /{x) est intégrable. Pour calculer l'intégrale

(a:i— aro)iKÇ,)H-...-f-(X-a7;,-i)^(J;,),

on peut choisir arbitrairement les valeurs intermédiaires Ç. Or, d'après la loi de formation de ^{x), il existe dans tout intervalle, si petit qu'il soit, des valeurs i pour lesquelles la fonction a une valeur inférieure à tout nombre donné, si petit qu'il soit : ce sont les fractions i dont le dénominateur p est suffisamment grand. En employant ces fractions, on voit que Tintégrale de i/{x) est nulle.