II. — Propriétés des intégrales

2. Théorisme. — Si la fonction f {x) est finie dans V intervalle (a, b) et intégrable dans tout intervalle (xq, X) intérieur au précédent, son intégrale prise entre Xq et X est une fonction continue de X dans tout lUntervalle (a, b).

Il suit de la définition de l'intégrale que, si M est la limite supérieure et m la limite inférieure dey*(^) dans rintervalle(^oîX)î on a ( ^ )

M(X — iro)> / /(a:)rfa? > m(X — a^o).

On voit aussi bien aisément que, si X 4- A est compris entre a et by on a toujours

' f{x)dx= l f{x)dx-v- f{x)dx,

JTo ^x^ *^X

quel que soit l'ordre dans lequel se présentent les trois nombres ^Oî X et X -h A, quand on les range par ordre de grandeur croissante.

Gela posé, la différence

,X-t-A ^X ^X-hA

F(X-f-A) — F(X)= / f(^x)dx— l f{x)dx= / f{x)dx

( * ) Cette double inégalité permet d'écrire

f{x)dx =[x(X-a?o),

(JL étant un certain nombre intermédiaire entre les limites supérieure et inférieure de /(a;) dans l'intervalle (ar^X).

est inférieure à M' h et supérieure à m'A, M' et m^ étant les limites supérieure et inférieure àe/{x) entre X et X+ A, ce qui prouve déjà que l'intégrale F(X) est continue pour toute valeur X, comprise entre a et b.

Mais, si Ton appelle M© et nio les limites de /(^) pour tout l'intervalle (a, 6), on peut écrire, a fortiori,

MoA > F(X -f- /^) - F(X) > moA,

et comme M© et /no ne dépendent pas de X, il suit de là que F(X) est une fonction continue de X dans tout V intervalle (a, b).

3. Théorème. — Toute intégrale est une fonction continue à oscillation totale limitée.

Divisons, eu effet, l'intervalle (^o? X) en n autres par les nombres x<, ^2» • • •? ^n-Kt et posons

yr= f '^f{^)dx, Y= f f{x)dx.

Nous allons calculer la somme

et montrer qu'elle est limitée, quels que soient le nombre n des intervalles partiels et leur loi de formation. On a, en effet,

f{x)dx,

et ce nombre est compris entre Mo(^r+i — ^r) et mo(^r+< — ^r)- Si donc on désigne par [jl la plus grande des deux valeurs absolues de Mo et de m©, la somme considérée est moindre que (Ji(X — ^o)> ce qui établit noire lemme.

Maintenant, dans l'intervalle (^rj -^^r+i) 011 peut trouver deux nombres Ç, ç^, auxquels correspondent, pour l'intégrale F(X), deux valeurs, dont l'une vir diffère de moins de e: 2 de la limite supérieure de F(X) dans l'intervalle en question, et l'autre t^'^ diffère de moins de e : 2 de la limite inférieure. Par suite \t\r — 'h'r\ diffère de moins de e de l'oscillation co;. de F(X) dans ce même

intervalle, et l'on peut écrire