FONCTIONS DE DEUX YARIABLES. APPLICATIONS

vertu d'une proposition fondamentale (Chap. IX, n® 5) sur les fonctions primitives uniformément difTérentîables, on a nécessairement

\ogz — \ogzi = k 1 '^(x)dx,

le nombre ^4 étant arbitraire dans un certain intervalle qui comprend Xq^ mais ne pouvant être pris égal à œo lui-même (à cause de la condition z = o pour x = a:o); quant à 5^, c'est la valeur qu'on peut assigner arbitrairement à z pour x = Xi. On peut donc écrire

log— —ki '^{x)dx.

Mais, d'après ce que nous savons de la fonction '^{x), on a

<\xx — x\.

Je ] '^{x)dx

d'où résulte

log-

<k\xi — x\

Or on peut choisir ^Ti aussi voisin qu'on veut de x^. Alors, à cause de la continuité de 5, la valeur z^ est très petite, de sorte que l'inégalité précédente est impossible. En conséquence, la seule hypothèse qu'on puisse faire sur z est que cette fonction soit constamment nulle, ce qui démontre le théorème.