FONCTIONS DE D£UX YARIABLES. APPLICATIONS

nous obtIendroDs

Or, quand kx est positif, on a

i-hkx <,e^'.

Les Xi se succèdent par ordre de grandeur croissante ou décroissante; l'inégalité précédente pourra donc s'écrire

(8) ij^;-r«i<||«*''-'-'~-«!.

Nous avons précisé quelle était la subdivision à partir de laquelle cette inégalité a lieu. Elle prouve que les y obtenus par le procédé indiqué, en fractionnant de plus en plus les intervalles, tout en conservant à chaque nouvelle subdivision les extrémités des intervalles de la subdivision précédente, forment une suite convergente.

Donnons-nous maintenant deux lois de subdivision absolument quelconques; à un certain degré de fractionnement de l'intervalle (^Tq, x)y on aura, pour l'un et pour l'autre mode de subdivision,

|/(^/+i,jr/-hi)— /(a?/, j-/)l <£.

Soient alors Y et j' les valeurs que les deux lois de subdivision font correspondre au nombre x; il suffit de superposer les deux divisions et de les comparer l'une et l'autre à la division auxiliaire ainsi obtenue pour conclure de l'inégalité (8)

En conséquence, nous avons bien, par notre procédé, formé une fonction j^ de la variable ^, dans le sens que nous donnons à ce mot. Cette fonction est égale àyo pour x =^ Xq, et elle est définie de part et d'autre de Xq dans un intervalle dont l'amplitude est égale au plus petit des deux nombres a et blM,

12. Il reste à faire voir que la fonction y formée par le procédé ci-dessus satisfait à la question, c'est-à-dire qu'elle admet

une dérivée égale ^ f{oc^y). Précisons le sens de ces termes. Pour la valeur x^ la fonction est définie par une certaine suite convergente que nous savons former et pour la valeur voisine x' par une autre suite convergente ; nous pouvons, sans inconvénient, représenter ces deux suites, Tune par ^^4,^2» '-^^ynt •••) l'autre

Il faut montrer que, se donnant une fraction positive e', si petite qu'elle soit, on peut prendre \x' — x\ assez petit, mais d'ailleurs quelconque, pour qu'on ait

pour des valeurs quelconques, mais suffisamment grandes, de m et 71. Or on sait (Chap. V, n** 4) qu'il suffit de prouver Texislence de la dérivée, à l'aide d'une certaine suite convergente, définissant la fonction : l'existence de cette dérivée se trouve par cela même établie, lorsque la fonction est définie par toute autre suite équivalente.

Nous pouvons donc supposer la suite j^^, j^'^j •••?^//î ••• obtenue grâce à des subdivisions de plus en plus serrées de l'intervalle (^0; ^') mais dans lesquelles le nombre x sera toujours pris comme limite d'un intervalle. Cette remarque nous permet d'opérer, pour former la suite j^^, sur les nombres x et x\ comme nous avons opéré plus haut (n** 11 ) en vue d'obtenir la suite convergente qui définit j^ pour la valeur x. Nous considérerons donc l'intervalle {x, x') en faisant correspondre au nombre x la valeur j^,;,, et nous pourrons prendre comme premier terme j^^ de la suite à former le nombre obtenu par l'application de notre procédé général à l'intervalle {x^ x'), savoir :

Après un nombre quelconque de fractionnements successifs de l'intervalle (x, x')^ nous obtiendrons, par l'application du même procédé, une certaine valeur y^ et nous savons que l'on a, les notations du n® H étant ici changées,

w-r;.i<li«*'-'--'-«|.

FONCTIONS DE DEUX YABIABLES. APPLÏCATIONS. 209

pourvu que l'unique întervalle (^, x^) de la division initiale satisfasse aux deux conditions

grâce auxquelles a lieu l'inégalité

i/(^',r;)~/(^,ym)i<e.

On peut alors écrire

yx-y'n = e I je*u'-^i-- 1} (- , < 6 < I)

et, remplaçant j^'^ par sa valeur, on trouve

Or on peut prendre e, et par suite tj, assez petits pour que l'on ait

D'autre part, si l'indice m est suffisamment grand, f{x^jm) différera de f{x^ Xm^p) de moins de e': 2 à cause de la continuité de la fonction /par rapport à y. De là et de tout ce qui précède résulte bien l'inégalité (9) qu'il s'agissait d'établir.

Il est facile d'aller plus loin et de montrer que la fonction y est uniformément différentiahle dans tout l'intervalle où elle est définie. En effet, l'intervalle (^, x^) étant très petit, le module de ^' — X est moindre que l'unité et l'on vérifiera, à plus forte raison, l'inégalité (10) si l'on détermine e par la condition

Mais à un nombre e ainsi choisi correspond, pour le module de X — x\ une limite supérieure r^ (ou 7^ : M si M est plus grand que l'unité) qui est absolument indépendante de x d'après sa définition même (n® H). Donc la fonction y est une fonction uniformément différentiable de x»

âlô OHAHTRE X.

13. Théorème. — V intégrale y^ définie par ce qui précède, est la seule fonction uniformément différentiable qui satisfasse à V équation

et qui prenne la valeur y q pour xr= Xq,

Supposons, en effet, qu'il en existe une autre; on pourra la représenter par y -\- z,

La fonction z{x) devra se réduire à zéro pour ^ = ^o? être uniformément différentiable et satisfaire à l'équation

(il) ^ =/(^5r-»-«)— /(^,7)-

Or, en vertu de l'hypothèse 3° du n° 10, on a

6 étant une fonction de x^ àey et de z dont la valeur reste comprise entre — i et H- i . C'est une fonction continue de x^ àe y et de z dans toute la région où elle est définie, sauf pour z^=o. Si l'on suppose la fonction z exprimée au moyen de x et qu'on la substitue ainsi que y dans la fonction 6, la différence f{Xj y-i-z) — /(^, y) est une fonction de x (n° 6) parce que y et z^ étant uniformément différentiables, sont des fonctions continues de X. Cette différence divisée par z est une fonction de x] donc enfin 6 devient une fonction de x, que nous appellerons ^(x) et dont le module restera inférieur à l'unité. Par suite, l'équation (il) prend la forme

Elle est évidemment vérifiée si la fonction z est constamment nulle. Nous allons montrer qu'on ne peut supposer z^ o. Dans cette hypothèse, en effet, on divisera les deux membres par z, ce qui donne

Or, z étant uniformément différentiable, log^ l'est aussi et, en