Applications de la formule de Lambert

Voici à titre d’exercices, divers résultats donnés par Lambert.

1° — Lumière émise dans un cône ayant la normale ON pour axe. Il faut appliquer la formule (1), mais en intégrant de Oà 6; 6 est le demi-angle au sommet du cône. On a : .

O = t:£0 / sin20 . d 0 = ( 1 — cos20) = 7rs0 sin?Ô.

2 0 — Lumière émise dans un secteur compris entre le plan de l’élément ET DEUX PLANS PASSANT PAR LA NORMALE.

Soit ô l'angle des plans.

Puisque le phénomène est de révolution autour de ON, on a :

Il faut en effet retrouver tc£0 quand on pose = 2u..

,3° — Lumière émise dans un cône circulaire quelconque d’angle a.

Soit c? l’angle que fait l'axe OA du cône avec la normale ON.

Divisons le cône au moyen de cônes de demiangles au sommet a e a H- e/a, et de plans faisant avec AON l’angle (B.

L’élément d’angle solide est :

sinaV e/a . c/[B.

La lumière émise dans cet élément est :

e/c? = £0 cosQ . sina . e/a . c/(B .

En vertu de la formule de trigonométrie sphérique :

cosQ = coscp . cos a -b sine? . sina . cos [B, on a : e/c? — £0e/ae/[B (cosc? . cos a . sina-j-sinc? . sin2a . cos JB).

Il faut intégrer par rapport à fB entre 0 et 2 n.

Le second terme de l’intégrale ne donne rien. Il reste :

Q=n=7C£0 / cosc? . sin2a . dy. — TC£0sin2a . cosc?. do

Ainsi la quantité envoyée dans le cône d’axe OA est celle qui serait envoyée dans le cône de même ouverture d’axe ON, multipliée par le cosinus de l’angle NOA.

ÉMISSION. DIFFUSION

loi. Conséquences de la loi de Lambert.

Réciprocité des surfaces émettrice et réceptrice.

Calculons le llux envoyé par l’élément ch sur l'élément do' silué à la

distance r. La droite 00' qui les joint, fait les angles 9 et 9' avec les normales ON et O'N'.

Les angles solides do>, do/, sous lesquels les éléments do, do', sont

respectivement vus d’un point des éléments do', do, ont pour expressions : 1

du — -5..- cosQ ri. J __ d° • cos 0

r1 5 aco — - -

Le flux envoyé par d<j dans da est :

dQ = «„</». cos 9 . do/ = h cos 0 . cos 9' = e„ . r2 . do> : do/.

Ces formules sont parfaitement symétriques. Il revient donc au même de calculer ce qu’une surface a envoie sur une autre surface a, ou de calculer ce que g' envoie sur g, I éclat e restant le même.

Pai exemple, le problème 3° du paragraphe précédent revient à demander quel est le pouvoir éclairant cVune portion circulaire quelconque de la voûte céleste.

2 Impossibilité de reconnaître la