Chapitre 3.4.3
Démonſtration d’un autre inſtrument ſans
le beſoin des Sinus.
ENfin pour avoir une connaiſſance parfaite de la derniére Equerre, ou pour mieux dire du dernier demi-cercle de Torricelli dont nous avons ci-devant expliqué la conſtruction & l’uſage au troiſiéme Chapit. du ſecond livre de la premiére partie, ſous le nom d’un inſtrument ſans le beſoin de ſinus. Il fait ſe ſouvenir qu’après avoir diviſé ſon demi-cercle ſeulement en 90 parties égales comme le précédente, de chacune leſquelles il mene des lignes paralleles au diametre qu’il appelle des Guides ; & après avoir partagé le demi-diametre perpendiculaire en un très grand nombre de parties ; il dit que les amplitudes des Paraboles tirées ſous les angles répondans aux dégrez marquez dans le limbe, ſont entr’elles comme les nombres des parties du demi-diametre prependiculaire compriſes entre le centre du cercle & les Guides qui viennent des dégrez de l’élévation. C’eſt-à-dire que l’amplitude de la Parabole tirée ſous l’angle de 20 dégrez eſt à l’amplitude de celle qui eſt faite ſous l’angle de 30 dég., comme 12812, qui eſt le nombre des parties du demi-diametre F C diviſé en 200, compriſes entre I E guide des 20 dégrez du limbe & le centre F, eſt à 172 nombre des mêmes parties compriſes entre K H guide des 30 dégrez du même limbe & le même centre F. Maintenant ſi nous faiſons voir que les parties contenuës dans l’étenduë E F ſont aux parties contenuës dans l’étenduë G F, comme le ſinus du double de l’angle de l’élévation de 20 dég. eſt au ſinus du double de celui de 30 dég. ; nous pourrons dire que les amplitudes ſeront comme les ſinus du double des angles de leur élévation.
Pour le démontrer il ne faut que conſidérer que le plomb tombant du point A ſur I où il y a 20 dég., la piéce eſt êlevée ſuivant l’angle A B I ; ainſi lors-qu’il tombe ſur le point K où il y a 30 dégrez, elle eſt êlevée ſelon l’angle A B K. Et que la droite I L tirée parallele à F C eſt le ſinus de l’angle A F I double de l’angle A B I, ſuppoſé que le demi-diametre A F ou F C ſoit le ſinus total ; ainſi la droite K H eſt le ſinus de l’angle A F K double de l’angle A B K. Ces droites donc I L ; K H ou leurs égales E F, G F, ſont les ſinus du double des angles des élévations A B I & A B K ; & partant les parties égales compriſes dans la droite E F, ſont aux parties égales contenuës dans G F, comme les mêmes ſinus. Mais nous avons ſuppoſé que l’amplitude de la Parabole faite ſur l’angle A B I de 20 dég. êtoit à l’amplitude de la Parabole faite ſur l’angle A B K de 30 dég. comme le nombre des parties égales de la droite E F, eſt à celui des parties de la ligne G F. Donc ces mêmes amplitudes ſont entr’elles comme les ſinus du double des angles de leurs inclinations.
