Chapitre 3.5.1

Pour la portée ſur un plan incliné d’une piéce
pointée ſous un angle donné.

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GAlilée n’a rien dit de particulier ſur cette matiere ; mais Torricelli conſidérant que l’on a quelque-fois beſoin pour l’uſage de l’Artillerie, de ſavoir à quelle diſtance un coup peut porter ſur un plan incliné ? ou à quel point d’une hauteur perpendiculaire, un coup de Canon ou de Bombe peut arriver ſuivant une élévation déterminée ? à raiſonné de cette maniére.

Soit, dit-il, A D l’amplitude horizontale d’un Parabole A C D décrite par un boulet ou par une Bombe tirée ſuivant l’angle de l’inclination D A B ; & ſoit le plan incliné ſur l’horizon A E. Pour ſavoir à quel point le boulet rencontrera le plan incliné

comme en C, & connoître la longueur A C & la hauteur perpendiculaire C F ; il faut du point D êlever la perpendiculaire D H, à laquelle la ligne F C B doit être parallele, paſſant par le point C, où l’on propoſe que le plan incliné A E eſt rencontré par la ligne parabolique A C D ; puis mener la droite E F, laquelle par ce qui a êté démontré par Archimede, ſera parallele à A H tangente de la Parabole au point A. Et partant A D ſera à D F, comme H D à D E ; mais les trois lignes A D, H D, D E ſont connuës ; car A D eſt l’amplitude de la Parabole donnée A C D ; H D & D E ſont les tangentes des angles donnés D A H qui eſt celui de l’inclination du mortier ou de la piéce, & D A E qui eſt celui de l’inclination du plan A E ; & partant la droite D F ſera auſſi donnée, auſſi-bien que la ligne A F. Et partant dans le triangle rectangle A F C le côté A F & l’angle aigu F A C étant connûs, tout le reſte eſt auſſi connû : car A F eſt à F C comme le ſinus total eſt à la tangente de l’angle F A C ; & A F à A C comme le même ſinus total eſt à la ſécante du même angle.

Où l’on voit la raiſon des pratiques que nous avons enſeignées au 2 Chap. du 3 livre de la 2 partie, lors-que pour trouver la longueur inclinée A C ou la hauteur perpendiculaire F C à laquelle le boulet arriveroit pouſſé ſuivant l’inclination D A B, nous avons fait deux régles de Trois. Dans la premiére le 1 terme étoit la tangente de l’angle de l’inclination de la piéce D A H c’eſt-à-dire D H, le ſecond étoit la tangente de l’angle de l’inclination du plan D A E c’eſt-à-dire D E, le 3 êtoit l’amplitude A D de la Parabole donnée ; & pour 4 nous avons eu la longueur D F, laquelle étant ôtée de la toute A D, nous a fait connoître le reſte A F. L’autre régle de Trois avoit pour premier terme le ſinus total, pour ſecond la ſécante de l’angle de l’inclination du plan, & la longueur horizontale A F pour 3 ; afin d’avoir pour 4 la longueur du plan incliné A C que nous demandions. Si au lieu de la ſécante de l’angle de l’inclination du plan F A C, nous aviõs pris pour 2 terme de nôtre ſeconde régle de Trois, la tangente du même angle, nous aurions eu pour 4 terme la hauteur perpendiculaire F C, à laquelle la bombe ou le boulet ſeroit arrivé.

C’eſt preſque le même raiſonnement pour les coups qui portent ſur des plans inclinez au-deſſous de l’horizon. Comme ſi A D eſt l’amplitude de la parabole faite ſous l’inclination D A B & continuée en C où elle rencontre le plan A E incliné ſous l’horizon A D ; il ne faut que mener par les points D & C des perpendiculaires à l’horizon B D E coupant A E en E, & H F C coupant A D continuée en F ; & joindre la droite E F, laquelle ſera parallele à A H tangente de la Parabole A D C par ce qui a êté démontré par Archimede ; & partant dans les triangles ſemblables A D B & E D F la droite B D tangente de l’angle donné D A B qui eſt celui de l’inclination de la piéce, eſt à D E tangente de l’angle auſſi donné D A E de l’inclination du plan A E, comme A D qui eſt l’amplitude horizontale de la Parabole donnée A D C & par conſéquent auſſi donnée, eſt à D F, laquelle ajoûtée à A D donne la toute A F. Maintenant A F êtant à A C comme le ſinus total eſt à la ſécante de l’angle donné F A C : & A F à F C comme le même ſinus total eſt à la tangente du même angle ; il paroît que la longueur A C du plan incliné à laquelle le boulet ou la bombe arrivera, eſt donnée, auſſi-bien que la profondeur perpendiculaire F C.

Ce raiſonnement eſt le fondement de nôtre pratique dans laquelle : pour trouver les mêmes longueurs, nous avons fait deux régles de Trois, la premiére pour trouver la droite A F ; en faiſant que comme la tangente de l’angle de l’inclination de la piéce ou du mortier eſt à la tangente de l’angle de l’inclination du plan, ainſi l’amplitude horizontale de la parabole eſt à une autre : car cette quatriéme quantité étant ajoûtée à la même amplitude, nous donne la longueur horizontale A F. Dans le ſeconde régle de Trois, nous avons fait que comme le ſinus total eſt à la ſécante de l’angle de l’inclination du plan, (pour trouver la longueur du plan incliné ;) ou à la tangente du même angle, (pour avoir ſa profondeur perpendiculaire ;) ainſi la longueur horizontale A F eſt à une autre : car au premier cas il vient la longueur A C, & au ſecond cas la hauteur perpendiculaire F C, pour quatriéme terme.